第21章-圆(上)导学案

第二十一章圆(上)21.1圆的有关概念（第1课时）学习目标:1、理解圆、圆弧（优弧、）劣弧）、弦、同心圆、等圆、等弧、直径、半径、圆心角等概念.2、探索并理解点与圆的位置关系.重点：点与圆的位置关系;难点：对与圆有关概念的理解导学过程:自主学习,看书完成106页-109页发生定义：平面内_____________________________________________叫做圆,定点O称为____________,线段OP称为.以点O为圆心的圆记作__________,读作__________-.2.集合定义：在平面内,圆是____________________________________________圆的内部可以看作______________________________________________圆的外部可以看作______________________________________________3.圆的有关概念(1)同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。如：弦AB经过圆心的弦叫做直径。如CD(4)弧:________________________________叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以AB为端点的弧记作：，读作“圆弧AB”或弧AB。（5）优弧、劣弧：小于半圆的弧又称为劣弧，如劣弧AB，记作：大于半圆的弧又称为优弧，如优弧AmB，记作：（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。（7）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。如∠AOB4、点与圆的位置关系:(1)点P在⊙O上___________(2)点P在⊙O内___________(3)点P在⊙O外__________二、练一练1．已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系．（1）若PO=5.5，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO=，则点P在圆上．2．求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上.三、回顾与思考:1、什么是圆？2、如何确定一个圆？3、点和圆的位置关系？四、达标检测：1、下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等2、以点为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个3、确定一个圆的条件为（）A．圆心B．半径C．圆心和半径D．以上都不对.4、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的直径是（）A．2.5cm或6.5cmB．2.5cmC．6.5cmD．5cm或13cm21.1圆的有关概念（第2课时）学习目标:知道弧长公式、扇形面积公式的两种形式经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程，会计算圆的弧长、扇形的面积.3、会用弧长公式、扇形面积公式解决问题.重点：会用弧长公式、扇形面积公式解决问题学习过程：复习引入:1、圆周长公式：2、圆面积公式：二、新知导学：（一）探索弧长公式：问题：设⊙O的半径为r。（1）圆周长为多少?（2）圆周角为360°，则1°的圆心角所对的弧长为多少？（3）n°的圆心角所对的弧长为多少?在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=。（如图1）如图1如图2（二）探索扇形面积公式：问题：设⊙O的半径为r。圆面积为多少?圆周角为360°，则1°的圆心角所对的扇形面积为多少？n°的圆心角所对的扇形面积为多少?如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形的面积的计算公式为:S扇形=如图2（三）探索弧长与扇形面积的关系:比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗?S扇形=应用新知：例1:扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)四、巩固新知练习1:如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径.练习2:如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm,求这个扇形的面积和周长.练习3:扇形的面积是,它的半径是3,求这个扇形圆心角的度数和弧长.练习4：如图，在同心圆中，两圆的半径分别为2,1，，求阴影部分的面积。21.2过三点的圆学习目标:了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等概念掌握过不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法会利用尺规作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆学习过程:一、问题导入：想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？1、作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?动手画一画2、作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?动手画一画3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上),你能作出几个这样的圆?（1）你准备如何(确定圆心,半径)作圆？（2）其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？这样的圆可以作出几个?为什么?.形成定理:定理不在一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做.这个三角形叫做外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.三、四边形与圆的位置关系如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形.我们可以证明圆内接四边的两个重要性质:1.圆内接四边形对角互补.2.圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角.3.对角互补的四边形内接于圆.四、三角形与圆的位置关系分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况结论:锐角三角形的外心位于,直角三角形的外心位于,钝角三角形的外心位于课堂小结:21.3圆的对称性（第1课时）一学习目标1、理解圆是轴对称图形，掌握垂径定理，能运用它进行有关计算和证明。2、通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。3、培养学生探索发现的精神。二情景引入后勤刘师傅遇到了一件麻烦事，因为我校一处圆形下水道破裂，他准备要换新管道，但只知道污水水面宽为60cm，水面至管底距离为10cm，你能帮助刘师傅计算一下他应该准备内径多大的管道吗？三探究新知问题：什么是轴对称图形？等腰三角形是轴对称图形吗？圆呢？在你的圆形纸片上：（1）作直径CD（2）在直径上任取一点E（3）过点E作弦AB⊥CD（4）将圆形纸片沿着直径CD对折,比较图中的线段和弧,你有什么发现？四学习新知1、垂径定理：2、符号语言：小试牛刀：在下列图形中，能否用垂径定理，若能，指出相等的弦和弧，若不能，说明理由。你有什么收获？五典型例题例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。变式一：如图，已知在⊙O中，半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，求弦AB长变式二：如图，已知在⊙O中，半径为5cm，弦AB长为8cm，求圆心O到弦AB的距离？变式三：如图，已知在⊙O中，弦AB长为8cm，OC⊥AB，CE为2cm.求圆的半径长？六归纳小结1垂径定理的内容和基本图形？2方法问题：通过学习今天的知识，你能帮助咱们学校刘师傅解决问题吗？21.3圆的对称性（第2课时）学习目标:理解圆的旋转不变形；认识圆心角、弧、弦之间的关系定理；能运用它进行有关计算和证明。2、通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。3、培养学生探索发现的精神。学习过程：复习回顾:什么是垂径定理？新课导入：将⊙O围绕圆心O分别旋转180°,90°,120°,50°,200°，旋转前后会出现什么现象？结论:圆具备旋转不变性。圆是中心对称图形。知识探究：如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？结论：归纳总结：同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。∵∴3、圆心角、弧、弦定理整体理解：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．（2）如果AB=CD，那么___________，_________________．(3)四、典例分析：例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.例2.如图所示，在⊙O中，AC=DB，求证：例3.已知：如图所示，AD=BC，求证：AB=CD五、课堂小结：1.圆心角，弧，弦，弦心距的关系定理。2.转化和数形结合的数学思想。21.4圆周角（第1课时）学习目标：1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、圆周角定理及简单应用。2理解由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法。重点：圆周角的概念和圆周角定理。难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．学习过程：一、导入新课1、复习：（1）什么是圆心角？（2）圆心角、弧、弦三个量之间关系？2、探究问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？二、讲授新课（一）圆周角定义1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角◆圆周角的特征：①顶点在圆上②两边都和圆相交2、圆周角定义的应用：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由（图略）（二）圆周角定理1、用测量法（几何画板）验证同弧所对的圆周角和圆心角的关系。⑴问题情景：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？⑵得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。用几何证明的方法验证同弧所对的圆周角和圆心角的关系。⑴在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．（在教师引导下完成）⑵分别进行证明。①当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系。证明:(圆心在圆周角上)②另外两种情况，圆周角与相应圆心角的关系：当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.◆说明：ⅰ这体现了数学中的分类方法；ⅱ在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.⑶得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。三、巩固练习1、点A、B、C在⊙O上，且知∠ABC=50°，则∠AOC=（）A、50°B、80°C、90°D、1002、如图，在⊙O中，∠APB=120°则∠ACB=（）A、30°B、60°C、90°D、45°3、已知A、B是⊙O上的两点，如果∠AOB=70°，C是⊙O上不与点A、B重合的任一点，那么∠ACB的度数为___________。(分类讨论思想)4、已知△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是。四、课堂总结知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容．五、课堂反馈精确制导105页1-6六、课堂作业P106页11-18题21.4圆周角（第2课时）学习目标:1、理解圆周角定理的4个推论2、能熟练应用圆周角定理及推论进行有关的证明或计算学习过程：课前测验1.如图，在⊙O中，,则度。2.如图，在⊙O中，,则度。3.一条弧所对的圆心角等于100°，它所对的圆周角等于度。4.A、B是⊙O上的两点，如果,点C是⊙O上不与点A、