2024年南京市中考数学一轮模拟卷（二）

2024年南京市中考数学一轮模拟卷（二）一、单选题1．2022的倒数是（）A．2022 B． C． D．2．下列计算中，结果正确的是（

）A． B． C． D．3．估计介于（

）A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间4．如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若，则点表示的数为（

）A． B． C．2 D．45．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则为（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题7．的倒数是；的相反数是．8．若使分式有意义，则x的取值范围是．9．分解因式：2x2﹣8=10．计算的结果是．11．如图，在正五边形ABCDE中，M是AB的中点，连接AC，DM交于点N，则∠CND的度数是．12．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴上，且AO＝AB，若△OAB的面积为5，则k的值为．13．如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是．14．若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是．15．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．16．如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．三、解答题17．计算：（）÷．18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．19．某家电销售商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台）：(1)甲品牌冰箱1～6周销售量的中位数是，乙品牌冰箱1～6周销售量的众数是．(2)求该商店甲品牌冰箱1～6周销售量的平均数和方差；(3)经过计算可知，乙品牌冰箱1～6周销售量的平均数是10，方差是．根据上述数据处理的结果及折线统计图，对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议，并说明理由．20．甲、乙、丙三人分别从A，B，C这3个检票通道中随机选择1个通道进入游乐园．(1)求甲、乙选择同一通道的概率；(2)甲、乙、丙选择同一通道的概率是．21．甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？22．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H．(1)求证：四边形BHDG是平行四边形；(2)若AB＝4，BC＝8，当AE的长为时，四边形BHDG是菱形．23．如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73.）24．一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系．(1)轿车出发时，两车相距km；(2)若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；(3)若轿车出发1.6h，此时与货车的距离小于12km，直接写出轿车速度v的取值范围．25．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．(1)求证：AD与⊙O相切；(2)若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．26．已知二次函数（为常数，且）．(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若点，在函数图像上，比较与的大小；(3)当时，，直接写出的取值范围．27．解决问题常常需要最近联想，迁移经验．例如研究线段成比例时需要想到……(1)【积累经验】如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证．(2)如图②，已知线段a，b，c．用两种不同的方法作线段d，使得线段a，b，c，d满足．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．(3)【问题解决】如图③，已知线段a，b．AB是⊙O的弦．在⊙O上作点C，使得CA·CB＝ab．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．参考答案：1．C【分析】利用倒数的定义得出答案．【详解】解：，是2022的倒数，故选：C此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．2．D【分析】根据同类项的定义、同底数幂的乘法和除法，以及幂的乘方解答即可．【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能运算，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、a3÷a2=a，故D正确故选：D．此题考查了同类项的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．B【分析】先求出的范围＜＜，即可得出答案．【详解】解：∵9<10<16∴＜＜，，∴3＜＜4，∴在3与4之间，故选：B．本题考查了估计无理数的大小，找到＜＜是解题的关键．4．B【分析】根据相反数的性质，由a+b＝0，AB＝4得，解方程组得到a＝﹣2．【详解】解：∵AB＝4，∴b﹣a＝4，∵a+b＝0，∴，解得，∴a＝﹣2，即点A表示的数为﹣2．故选：B．本题主要考查数轴上点表示的数及解二元一次方程组，熟练掌握相反数的性质及二元一次方程组的解法是解决本题的关键．5．A【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，AD=acm，则DE=2rcm，AE=AB=（a-2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后计算即可．【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE=2rcm，AE=AB=（a-2r）cm，根据题意得，整理，得a=6r，则，即故答案为：A．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6．A【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可．【详解】解：设点的坐标为，∵点的坐标是，点的坐标是，∴由旋转的性质可得，，即，整理得，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意，故选：A本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．7．【分析】根据倒数与相反数的定义求解，乘积为的两数互为倒数，和为的两个数互为相反数．【详解】解：的倒数是；的相反数是．故答案为：；．此题考查了倒数、相反数，掌握倒数、相反数的定义是解决本题的关键．8．【分析】由分母不为零可得，从而可得答案．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得：，故答案为：．本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．9．2（x+2）（x﹣2）【分析】先提公因式，再运用平方差公式．【详解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．10．【分析】先化为最简二次根式，再进行计算即可．【详解】解：，故答案为∶．本题考查二次根式的计算，二次根式的化简，解决问题的关键是化简二次根式．11．【分析】连接BD，AD，根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC＝108°，证明△BCD≌△AED，根据全等三角形的性质得到BD＝AD，根据等腰三角形的性质得到DM⊥AB，求得∠AMN＝90°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，AD，在正五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC＝＝108°，∴＝36°，在△BCD与△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴BD＝AD，∵M是AB的中点，∴BM＝AM，∴DM⊥AB，∴∠AMN＝90°，∴∠CND＝∠ANM＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．本题考查了正多边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．【分析】过点作轴，设点，可得出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：过点作轴，设点，，，，点，顶点在反比例函数的图象上，，的面积为，，即，，即．故答案为：．本题考查了反比例函数的系数的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数图象上的点一定满足．13．【分析】根据直角三角形的性质求出AE和∠AEM，根据勾股定理求出AM，根据扇形面积公式计算，得到答案．【详解】解：由题意得，AE＝AB＝ME＝，∵∠A＝90°，∴∠AME＝30°，AM＝，∴∠AEM＝60°，同理，∠BEN＝60°，∴∠MEN＝60°，阴影部分的面积＝=9-，故答案为：9-．本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．14．【分析】由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论．【详解】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，∴（m﹣2）2＝，∵（m﹣2）2≥0，∴≥0，解得：，∴c的最小值是．故答案为：．本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．15．【分析】设PQ与AC交点为O，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线，然后根据和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出，得到PQ的最小值．【详解】解：设PQ与AC交点为O，∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵，，∴△CAB∽△，∴，∴，∴＝，∴则PQ的最小值为2＝，故答案为：．本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作垂线段，构建相似三角形．16．【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝＝4，FC＝FD，∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），设P（2，m），则F（0，m），连接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝（舍正），∴F（0，），∴CF＝DF＝＝，∴OD＝OF+DF＝＝4，∴D（0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．17．a【分析】首先提出负号使括号内变为，然后根据平方差公式、除法法则进行化简即可．【详解】原式本题考查了平方差公式、分式的化简，重点是掌握乘法公式在分式化简中的计算方法．18．，见解析【分析】分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解集为，∴将不等式组的解集在数轴上表示为：本题考查解不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键．19．(1)10；9(2)平均数是10，方差为(3)答案不唯一，见解析【分析】（1）利用中位数的定义，众数的定义即可求解；（2）利用平均数的公式以及方差计算公式即可求解；（3）根据（1）中计算结果及折线统计图的变化趋势，说明哪种进货多，哪种少即可，答案不唯一．【详解】（1）解：甲品牌的销售量分别为7、10、8、10、12、13，重新排列为7、8、10、10、12、13，处于中间的两个数都是10，则甲品牌冰箱1～6周销售量的中位数是10，乙品牌的销售量分别为9、10、11、9、12、9，9出现次数最多，则乙品牌冰箱1～6周销售量的众数是9，故答案为：10，9；（2）解：甲品牌冰箱周销售量的平均数为=×(7+10+8+10+12+13)=10，S2甲=×[(7-10)2+(10-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-10)2]＝；（3）解：甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数相同，乙品牌冰箱周销售量的方差较小，说明乙品牌冰箱销售量比较稳定，可建议商家多采购乙品牌冰箱；从折线统计图的变化趋势看，甲品牌冰箱的周销售量呈上升趋势，可建议商家多采购甲品牌冰箱；（答案不唯一）本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20．(1)(2)【分析】（1）先画出树状图，从而可得甲、乙随机选择1个通道的所有等可能的结果，再找出甲、乙选择同一通道的结果，然后利用概率公式计算即可得；（2）先画出树状图，从而可得甲、乙、丙随机选择1个通道的所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙选择同一通道的结果，然后利用概率公式计算即可得．【详解】（1）解：画树状图如下：由图可知，甲、乙随机选择1个通道共有9种等可能的结果，其中，甲、乙选择同一通道有3种结果，则甲、乙选择同一通道的概率为，答：甲、乙选择同一通道的概率为．（2）解：画树状图如下：由图可知，甲、乙、丙随机选择1个通道共有27种等可能的结果，其中，甲、乙、丙选择同一通道有3种结果，则甲、乙、丙选择同一通道的概率为，故答案为：．本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．21．甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩.【分析】根据题意可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时可做（x+5）面采旗，根据甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用的时间相等的等量关系，可列方程求解.由于是分式方程，解完后一定要检验．【详解】试题分析：解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，根据题意，得，解这个方程，得x=25，经检验，x="25"是所列方程的解，∴x+5=30，答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩．考点：列分式方程解应用题．22．(1)见解析(2)3【分析】（1）、由矩形的性质可证得：△AGE≌△CHF，进而可得BG＝DH，再由即可证得；（2）、设AG=x，由矩形性质可得，在直角三角形ADG中，由勾股定理可得AG长，再证，由对应线段成比例列方程即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴

AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴

∠AGE＝∠CHF，∵

∠BAD＋∠GAE＝∠BCD＋∠HCF＝180°，∴

∠GAE＝∠HCF＝90°，

∵

AE＝CF，∴

△AGE≌△CHF，∴

AG＝CH

，∴

AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH，

∵

AB∥CD，∴

四边形BHDG是平行四边形；（2）∵四边形BHDG是菱形，∴BG=GD，设AG=x，∵AB＝4，BC＝8，∴DG=BG=AB+AG=4+x，由（1）可知：，，，，解得：，，，设AE=m，则CF=m，BF=8-m，，，，，解得：，．故答案为：3．本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键．23．11.2m【分析】过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．根据三角函数求出DG＝AD·sin30°＝2．AG＝AD·cos30°＝2．在Rt△ABC中，利用锐角正切三角函数求出BC＝tan37°·AC．，然后列方程BC－2＝tan26.7°(AC＋2)．代入数据计算即可．【详解】解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．∴∠DGC=∠DHC=∠HCG=90°，∴四边形DGCH为矩形，∴DG=CH，DH=CG，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AD=4m，∵sin30°＝，cos30°＝，

∴DG＝AD·sin30°＝2．AG＝AD·cos30°＝2．在Rt△ABC中，∵tan37°＝，∴BC＝tan37°·AC．在Rt△BDH中，∵tan26.7°＝，∴∴BC－2＝tan26.7°(AC＋2)．∴tan37°·AC－2＝tan26.7°(AC＋2)．即0.75AC－2≈0.5(AC＋2)．∴AC＝4＋8．∴BC＝0.75×(4＋8)＝3＋6≈11.2m．答：大树BC的高度为11.2m．本题考查解直角三角形，矩形判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义，以及矩形的判定方法与性质是解题关键．24．(1)84；(2)yBC＝100x－140；3.5；(3)105＜v＜120.【分析】（1）先求出货车的速度，再乘以轿车晚出发的时间即可；（2）先写出点C的坐标，再由待定系数法求函数解析式，再联立两个解析式求解即可得到a的值；（3）轿车出发1.6h，则货车出发3小时，此时，货车距离甲地的距离为（千米），轿车距离甲地的距离为千米，分别讨论货车在轿车前方，若货车在轿车后方，求解即可．【详解】（1）由图可知，货车的速度为（千米／小时），（千米），故答案为：84；（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C(4.4，300)．根据题意得，＝＝100．将(1.4，0)代入y＝100x＋b，得b＝－140．．，∴100x－140＝60x，解得x＝3.5，即a的值为3.5．（3）轿车出发1.6h，则货车出发3h，此时，货车距离甲地的距离为（千米），轿车距离甲地的距离为千米若货车在轿车前方，则，解得，若货车在轿车后方，则，解得，轿车速度v的取值范围为105＜v＜120．本题考查了函数的应用，求一次函数的解析式及解不等式，熟练掌握知识点并能够从图像中获取信息是解题的关键．25．(1)见解析(2)2.5【分析】（1）连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，根据矩形的性质等先证明△ABE≌△DCE，再由全等三角形的性质及垂直平分线的判定证明EF⊥AD，再利用切线的判定得出结论即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为F，连接OE、ON，先判断四边形OEDF是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°．∵E为AD的中点，∴AE＝DE．∴△ABE≌△DCE．∴EB＝EC．∵OB＝OC，∴EF垂直平分BC，即∠EFC＝90°．∴∠DEF＋∠EFC＝180°，∴∠DEF＝180°－∠EFC＝180°－90°＝90°，即EF⊥AD．∵点E在⊙O上，∴AD与⊙O相切．（2）过点O作OF⊥CD，垂足为F，连接OE、ON，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°．∵AD切⊙O于点E，∴∠OED＝90°．∵∠OFD＝90°，∴四边形OEDF是矩形．∴OF＝ED，DF＝OE＝r．∵E是AD的中点，∴OF＝ED＝0.5AD＝2．在Rt△OFN中，由勾股定理得：OF2＋NF2＝ON2，即22＋(r－1)2＝r2．∴解得r＝2.5．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定、切线的判定及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．26．(1)证明见解析(2)当或时，；当时，；当时，(3)，且【分析】（1）令，可得出的两个解，且两个解不相等即可得出结论；（2）先求出，然后分三种情况讨论即可；（3）先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分和两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．【详解】（1）证明：令，即，∴或，即，，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴该函数的图像与轴总有两个公共点．（2）解：∵点，在函数图像上，∴当时，，当时，，∴，∴当或时，，当时，，当时，