高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第十一节 离散型随机变量的均值与方差习题 理试题

第十一节离散型随机变量的均值与方差[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X=2)等于 ()A. B. C. D.1.C【解析】由分布列的性质可得=1,a=3,所以P(X=2)=.2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=2,4,6,8,10),则Dξ= ()A.5 B.8 C.10 D.162.B【解析】因为Eξ==6,所以Dξ=×(42+22+02+22+42)=8.3.(2015·山东沂水一中质检)某班有14名学生数学成绩优秀,如果从该班随机找出5名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数X~B,则E(2X+1)= ()A. B. C.3 D.3.D【解析】因为X~B,所以EX=,则E(2X+1)=2EX+1=2×+1=.4.袋中有3个“文洛克”,1个“福娃贝贝”,从中任取2个,取得1个“文洛克”得0分,取得1个“福娃贝贝”得2分,则所得分数X的均值EX= ()A.0 B.1 C.2 D.44.B【解析】由题意可得X的可能取值为0或2,其中X=0表示取得2个“文洛克”,X=2表示取得1个“文洛克”,1个“福娃贝贝”,所以P(X=0)=,P(X=2)=,故X的均值EX=0×+2×=1.5.设随机变量ξ的分布列为下表所示且Eξ=1.6,则a-b= ()ξ0123p0.1ab0.1A.0.2 B.-0.2 C.0.8 D.-0.85.B【解析】由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,又由Eξ=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.二、填空题(每小题5分,共5分)6.(2015·兰州一中月考)随机变量ξ的分布列如下,其中a,2b,c成等差数列,若Eξ=,则Dξ=.

ξ-101Pabc6.【解析】由题意可得a+b+c=1,Eξ=c-a=,a+c=4b,联立解得a=,b=,c=,所以Dξ=.三、解答题(共25分)7.(12分)(2016·肇庆检测)某商店根据以往某种玩具的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)估计日销售量的众数;(2)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另外1天的日销售量低于50个的概率;(3)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望EX及方差DX.7.【解析】(1)依据日销售量的频率分布直方图可得众数为=125.(2)记事件A1:“日销售量不低于100个”,事件A2:“日销售量低于50个”,事件B:“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另外1天的日销售量低于50个”.则P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(3)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,P(X=3)=×0.63=0.216,则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以EX=3×0.6=1.8,DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.8.(13分)(2015·河南八校联考)现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.8.【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为,设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4,由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,所以ξ的分布列为ξ024P所以Eξ=0×+2×+4×.[高考冲关]1.(5分)某篮球运动员进行投篮训练,若投进的概率是,用ξ表示他投篮3次的进球数,则随机变量ξ的标准差= ()A. B. C. D.1.D【解析】由题意可知,ξ服从二项分布B,所以方差Dξ=3×,故标准差.2.(5分)(2015·浙江重点中学协作体联考)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望Eξ为 ()A. B. C. D.2.B【解析】依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,故Eξ=2×+4×+6×.3.(5分)(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒:(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则 ()A.p1>p2,Eξ1<Eξ2 B.p1<p2,Eξ1>Eξ2C.p1>p2,Eξ1>Eξ2 D.p1<p2,Eξ1<Eξ23.A【解析】解法1(特值法):取m=n=3估算即可.解法2(标准解法):取一个球,红球个数为ξ:0,1;P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,∴Eξ1=P(ξ=0)×1+P(ξ=1)×2=+1,p1=+1,取两个球时,红球个数为ξ:0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,∴Eξ2=P(ξ=0)×1+P(ξ=1)×2+P(ξ=2)×3=+1,p2=,∴比较得A.4.(5分)(2015·上海十三校联考)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,令取到白球的个数为ξ,且ξ的数学期望Eξ=,则口袋中白球的个数为.

4.3【解析】设口袋中白球有n个,则由超几何分布的概率公式可得Eξ=,解得n=3.5.(12分)(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.5.【解析】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.综上知,X的分布列为X012P故EX=0×+1×+2×(个).6.(13分)(2015·重庆巴蜀中学三诊)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.(1)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;(2)将上述人口分布的频率视为该城市在20~80年龄段的人口分布的概率.从该城市20~80年龄段市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.6.【解析】(1)