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文档简介

安徽省蚌埠市2024届高考总复习单元滚动测试卷高三数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.2.已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,则球O的表面积为()A. B. C. D.3.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.04.已知实数满足约束条件,则的最小值为()A.-5 B.2 C.7 D.115.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()A.16 B.17 C.18 D.196.集合,,则()A. B. C. D.7.已知为抛物线的准线,抛物线上的点到的距离为,点的坐标为,则的最小值是()A. B.4 C.2 D.8.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.9.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a5=16,a3a4=﹣32,则S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣8510.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},则=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}11.一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.已知平面向量,,,则实数x的值等于()A.6 B.1 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是:_____.14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.15.若,则__________.16.已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合,则双曲线的离心率为_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,且满足,证明:.18.(12分)已知满足,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)19.(12分)已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,,切点分别,,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,,求的值.20.(12分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知函数(1)若,求证:(2)若,恒有,求实数的取值范围.22.(10分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由可得;由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【题目详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【题目点拨】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.2、D【解题分析】

由题意画出图形,找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径,则答案可求.【题目详解】如图;设AB的中点为D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB为直角三角形,且斜边为AB,故其外接圆半径为:rAB=AD=2;设外接球球心为O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2⇒R2=(R)2+r2⇒R;∴球O的表面积为:4πR2=4π.故选:D.【题目点拨】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,考查思维能力与计算能力,属于中档题.3、C【解题分析】

根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【题目详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.【题目点拨】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.4、A【解题分析】

根据约束条件画出可行域,再将目标函数化成斜截式,找到截距的最小值.【题目详解】由约束条件,画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线,为在轴的截距,最小的时候为过点的时候,解得所以,此时故选A项【题目点拨】本题考查线性规划求一次相加的目标函数,属于常规题型,是简单题.5、B【解题分析】

计算,故,解得答案.【题目详解】当时,,即,且.故,,故.故选:.【题目点拨】本题考查了数列的相关计算,意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.6、A【解题分析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【题目详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.7、B【解题分析】

设抛物线焦点为,由题意利用抛物线的定义可得,当共线时,取得最小值,由此求得答案.【题目详解】解:抛物线焦点,准线,过作交于点,连接由抛物线定义,

当且仅当三点共线时,取“=”号,∴的最小值为.

故选:B.【题目点拨】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.8、D【解题分析】

用诱导公式和二倍角公式计算.【题目详解】.故选:D.【题目点拨】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.9、D【解题分析】

由等比数列的性质求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通过解该方程求得它们的值,求首项和公比,根据等比数列的前n项和公式解答即可.【题目详解】设等比数列{an}的公比为q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,则,则,故选:D.【题目点拨】本题主要考查等比数列的前n项和,根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键,属于基础题.10、B【解题分析】

按补集、交集定义,即可求解.【题目详解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故选:B.【题目点拨】本题考查集合间的运算,属于基础题.11、D【解题分析】

因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线可解得.【题目详解】因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线方程得:,即,由得.故选:.【题目点拨】本题考查了双曲线的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、A【解题分析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【题目详解】,,,,即,故选:A【题目点拨】本题主要考查了向量平行的坐标运算,属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解题分析】

根据程序框图直接计算得到答案.【题目详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示:是否继续循环ix循环前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循环,所以打印纸上打印出的结果应是:1故答案为:1.【题目点拨】本题考查了程序框图,意在考查学生的计算能力和理解能力.14、2【解题分析】

由题意知:,,,.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.【题目详解】不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点∴,.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,∴,故答案为:2.【题目点拨】本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.15、【解题分析】

因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.16、【解题分析】

双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,可得一条渐近线的斜率为1,即,即可求出双曲线的离心率.【题目详解】解:双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,一条渐近线的斜率为1,即,,,故答案为:.【题目点拨】本题考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,确定一条渐近线的斜率为1是关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解题分析】

将化简可得,由柯西不等式可得证明.【题目详解】解:因为,,所以,又,所以,当且仅当时取等号.【题目点拨】本题主要考查柯西不等式的应用,相对不难,注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.18、见解析【解题分析】

选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.【题目详解】选择①时:,,故.根据正弦定理:,故,故.选择②时,,,故,为钝角,故无解.选择③时,,根据正弦定理:,故,解得,.根据正弦定理:,故,故.【题目点拨】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、(1);(2).【解题分析】

(1)因为点在椭圆上,所以,然后,利用,,得出,进而求解即可(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为,分别联立方程:和,利用韦达定理,再利用,,即可求出的值【题目详解】(1)由椭圆的长半轴长为,得.因为点在椭圆上,所以.又因为,,所以,所以(舍)或.故椭圆的标准方程为.(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为.据得.据题意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【题目点拨】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题,联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参,属于中档题20、(1),(1,2);(2)存在,【解题分析】

(1)由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为,求出抛物线的方程,再由直线与抛物线相切,即可求得切点的坐标;(2)直线与抛物线方程联立,利用根与系数的关系,求得直线PA,PB的斜率,求出斜率之和为定值,即存在实数使得斜率之和为定值.【题目详解】(1)由题意,直线变为2x+1-m(2y+1)=0,所以定点Q的坐标为抛物线的焦点坐标,由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为,可得,解得或(舍去),故抛物线C的方程为又由消去y得,因为直线与抛物线C相切,所以,解得,此时,所以点P坐标为(1,2)(2)设存在满足条件的实数,点,联立,消去x得,则,依题意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在实数=满足条件.【题目点拨】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21、(1)见解析;(2)(﹣∞,0]【解题分析】

(1)利用导数求x<0时,f(x)的极大值为,即证(2)等价于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函数g(x)的最小值得解.【题目详解】(1)∵函数f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)内递增,在(﹣,0)内递减,在(0,+∞)内递增,∴f(x)的极大值为,∴当x<0时,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,则g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,且

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