第03讲 相反数（解析版）

第03讲相反数课程标准学习目标①相反数的定义②相反数的性质③求相反数掌握相反数的定义。掌握相反数的性质，并能够利用相反数的性质求值。能够求出数或式子的相反数。知识点01相反数的定义相反数的定义：像2和﹣2，﹣5和5这样只有符号不同不同的两个数互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。相反数一定是成对出现，一个数不能说相反数。题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值【即学即练1】1．下列各组数中的两个数，互为相反数的是（）A．3和 B．3和﹣3 C．﹣3和 D．﹣3和﹣【解答】解：A、3和，互为倒数，故A错误；B、3和﹣3，是互为相反数，故B正确；C、﹣3和，绝对值不同，故C错误；D、﹣3和﹣，绝对值不同，不是相反数，故D错误；故选：B．【即学即练2】2．下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣（﹣3.2）与﹣3.2 B．2.3与2.31 C．﹣[+（﹣4.9）]与4.9 D．﹣（+1）与+（﹣1）【解答】解：A、﹣（﹣3.2）＝3.2与﹣3.2，互为相反数，故此选项正确；B、2.3与2.31两数相加不为零，故此选项错误；C、﹣[+（﹣4.9）]＝4.9与4.9，两数相等，故此选项错误；D、﹣（+1）＝﹣1与+（﹣1）＝﹣1，两数相等，故此选项错误；故选：A．知识点02相反数的性质相反数的性质：①数轴上互为相反数所对应的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。②任何数都有且只有1个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；规定0的相反数是0。所以若＞0，则﹣＜0，若＜0，则﹣＞0，若＝0，则﹣＝0（用“＞”“＜”和“＝”填空）③互为相反数的两个数和为0。即若数和数互为相反数，则。特别提示：数和数互为相反数还可表示为＝﹣或=﹣。数和数互为相反数且均不等于0时还可表示为或。④若或＝﹣或=﹣或或，则数和数互为相反数。题型考点：①考擦相反数在数轴上的位置关系。②【即学即练1】3．如图，数轴上表示互为相反数的两个点是（）A．点A和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点B和点D【解答】解：A表示﹣2，C表示2，故选：C．4．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．【解答】解：4÷2＝2，则这两个数是+2和﹣2．故答案为：﹣2．【即学即练2】5．相反数是它本身的数是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．不存在【解答】解：相反数是它本身的数是0，故C正确；故选：C．6．一个有理数和它的相反数的积（）A．符号必为正 B．符号必为负 C．一定不大于0 D．一定大于0【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，所以，一个有理数和它的相反数的积一定是负数或0，即一定不大于0．故选：C．【即学即练3】7．若a与1互为相反数，那么a+1＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2【解答】解：∵a与1互为相反数，∴a＝﹣1，∴a+1＝﹣1+1＝0．故选：B．8．已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（）A．p•q＝1 B． C．p+q＝0 D．p﹣q＝0【解答】解：根据互为相反数的性质，得p+q＝0．故选：C．知识点03求相反数求一个数的相反数：求一个具体数或一个字母或数字与字母的积的相反数时，只需要改变它前面的符号，其他不变即可得到它的相反数。求一个式子的相反数：方法一：把式子用括号括起来，在前面加“﹣”，然后去括号化简即可得到相反数。方法二：把式子中的每一个符号都变成相反的。即“+”变成“﹣”，“﹣”变成“+”。也可得其相反数。题型考点：求数与式子的相反数。【即学即练1】9．﹣的相反数是（）A．﹣ B． C． D．﹣【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．【即学即练2】10．a+2b﹣3c的相反数是．【解答】解：﹣（a+2b﹣3c）＝﹣a﹣2b+3c．故答案为：﹣a﹣2b+3c．知识点04加括号与去括号加括号：若在“－”后面加括号，则写在括号里面的每一项都需要变符号；若在“＋”后面加括号，则只需要把每一项照写。去括号：在去掉括号时，若括号前面是“－”，则去掉“－”和括号，把括号内的每一项改变符号，若括号前面是“＋”，则去掉“＋”和括号，把括号内的每一项照写。也可以利用乘法分配率，将括号前的符号与括号内的每一项进行符号化简。题型考点：求数与式子的相反数。【即学即练1】11．下列各算式中，从左到右变形正确的是（）A．a﹣b+c﹣d＝a﹣（b+c）﹣d B．a﹣b+c﹣d＝a﹣b﹣（c+d） C．a﹣b+c﹣d＝a﹣d+（b﹣c） D．a﹣b+c﹣d＝a+c﹣（b+d）【解答】解：A．a﹣b+c﹣d＝a﹣（b﹣c）﹣d，原计算错误，故此选项不符合题意；B．a﹣b+c﹣d＝a﹣b﹣（﹣c+d），原计算错误，故此选项不符合题意；C．a﹣b+c﹣d＝a﹣d+（﹣b+c），原计算错误，故此选项不符合题意；D．a﹣b+c﹣d＝a+c﹣（b+d），原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．【即学即练2】12．﹣[a﹣（b﹣c）]去括号应得（）A．﹣a+b﹣c B．﹣a﹣b+c C．﹣a﹣b﹣c D．﹣a+b+c【解答】解：﹣[a﹣（b﹣c）]＝﹣[a﹣b+c]＝﹣a+b﹣c．故选：A．题型01根据相反数的定义判断【典例1】下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣4和 B．4和﹣4 C．﹣4和﹣ D．和4【解答】解：A、﹣4和中的符号不同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；B、4的相反数是﹣4，故本选项符合题意；C、﹣4和中的数都不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；D、4和中的符号相同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意．故选：B．变式1：下列各对数中，互为相反数的是（）A．﹣2与3 B．﹣（+3）与+（﹣3） C．﹣（﹣4）与﹣4 D．5与﹣（﹣5）【解答】解：A、﹣2与3，不是互为相反数，故此选项错误；B、﹣（+3）＝﹣3与+（﹣3）＝﹣3，不是互为相反数，故此选项错误；C、﹣（﹣4）＝4与﹣4是互为相反数，故此选项正确；D、5与﹣（﹣5）＝5，不是互为相反数，故此选项错误；故选：C．下列四组数中互为相反数的是（）A．﹣（+3）和+（﹣3） B．+（﹣2）和﹣2 C．+（﹣4）和﹣（﹣4） D．﹣（﹣1）和1【解答】解：A．﹣（+3）＝﹣3，+（﹣3）＝﹣3，相等，不是互为相反数，故本选项不合题意；B．+（﹣2）＝﹣2，与﹣2相等，不是互为相反数，故本选项不合题意；C．+（﹣4）＝﹣4，﹣（﹣4）＝4，互为相反数，故本选项符合题意；D．﹣（﹣1）＝1与1相等，不是互为相反数，故本选项不合题意．故选：C．变式2：下列各组代数式中，互为相反数的有（）①a﹣b与﹣a﹣b；②a+b与﹣a﹣b；③a+1与1﹣a；④﹣a+b与a﹣b．A．①②④ B．②④ C．①③ D．③④【解答】解：②a+b与﹣a﹣b互为相反数；④﹣a+b与a﹣b互为相反数．故选：B．题型02求式子的相反数【典例1】a+1的相反数是（）A．﹣a+1 B．﹣（a+1） C．a﹣1 D．【解答】解：A、﹣a+1的相反数是a﹣1；B、﹣（a+1）的相反数是a+1正确；C、a﹣1的相反数是﹣（a﹣1）＝1﹣a；D、的相反数是；故选：B．【典例2】用式子表示“x与y的和的平方的相反数”是（）A．﹣（x+y）2 B．x﹣y2 C．﹣x2+y2 D．（﹣x+y）2【解答】解：x与y的和的平方的相反数是：﹣（x+y）2，故选：A．【典例3】代数式a+b﹣c的相反数是．【解答】解：a+b﹣c的相反数﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c．故答案为：﹣a﹣b+c．题型03相反数与数轴【典例1】数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4，则这两个数是．【解答】解：设两个数是x和﹣x（x＞0），则有x﹣（﹣x）＝4，解得：x＝2．则这两个数分别是2和﹣2．故答案为：2，﹣2．变式1：在数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，点A在点B的右边，则点A表示的数为，B表示的数为．【解答】解：∵点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，∴A、B到原点的距离都是8÷2＝4，∵点A在点B的右边，∴点A表示的数为4，B表示的数为﹣4．故答案为：4，﹣4．:变式2：数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是．【解答】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5，∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5．故答案为1或5．题型04相反数的性质【典例1】已知a、b互为相反数，则a+b的值为．【解答】解：a、b互为相反数，则a+b的值为0，故答案为：0．变式1：若a、b互为相反数，则a﹣（5﹣b）的值为．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∴a﹣（5﹣b）＝a+b﹣5＝0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．变式2：已知a、b互为相反数，则＝．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0即a＝﹣b，∴＝2022（a+b）+＝0+（﹣）＝﹣，故答案为：﹣．变式3：已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式2（a+b）﹣3cd的值为（）A．2 B．﹣3 C．﹣1 D．0【解答】解：已知a、b互为相反数∴a+b＝0c、d互为倒数∴cd＝1把a+b＝0，cd＝1代入2（a+b）﹣3cd得：2×0﹣3×1＝﹣3．故选：B．题型05加括号去括号【典例1】下列去括号正确的是（）A．﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b B．﹣（﹣a﹣b）＝a+b C．﹣（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b D．﹣（﹣a﹣b）＝﹣a+b【解答】解：A．﹣（﹣a﹣b）＝a+b，A选项不符合题意；B．﹣（﹣a﹣b）＝a+b，B选项符合题意．C．﹣（﹣a﹣b）＝a+b，C选项不符合题意；D．﹣（﹣a﹣b）＝a+b，D选项不符合题意．故选：B．变式1：下列各项中，去括号正确的是（）A．﹣（2x﹣y）＝﹣2x﹣y B．﹣3（m+n）＝﹣3m﹣n C．3（a2﹣2a+1）＝3a2﹣6a D．2（a﹣2b）＝2a﹣4b【解答】解：A、﹣（2x﹣y）＝﹣2x+y，选项错误，不符合题意；B、﹣3（m+n）＝﹣3m﹣3n，选项错误，不符合题意；C、3（a2﹣2a+1）＝3a2﹣6a+3，选项错误，不符合题意；D、2（a﹣2b）＝2a﹣4b，选项正确，符合题意．故选：D．【典例2】下列各式中添括号正确的是（）A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y） B．2x﹣y＝﹣（2x+y） C．8m﹣m2＝8m（1﹣m） D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3）【解答】解：A、﹣x﹣3y＝﹣（x+3y），选项错误，不符合题意；B、2x﹣y＝﹣（﹣2x+y），选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、3﹣4x＝﹣（4x﹣3），选项正确，符合题意；故选：D．1．的相反数是（）A． B．﹣5 C．5 D．【解答】解：﹣的相反数为，故选：A．2．化简﹣（﹣20）的结果是（）A．﹣ B．20 C． D．﹣20【解答】解：﹣（﹣20）＝20．故选：B．3．下列说法中正确的是（）A．正数和负数互为相反数 B．任何一个数的相反数都与它本身不相同 C．任何一个数都有它的相反数 D．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数【解答】解：A、例如1与﹣2，它们一个是正数和一个是负数，但是他们不是互为相反数，故本选项错误；B、0的相反数是0，故本选项错误；C、根据相反数的概念，任何一个数都有相反数，故本选项正确；D、数轴上原点两旁的两个点表示的数﹣5，4，但﹣5，4不是互为相反数，故本选项错误．故选：C．4．如果a与1互为相反数，那么a＝（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数，所以a＝﹣1，故选：D．5．已知a与b互为相反数，则下列式子：①a+b＝0，②a＝﹣b，③b＝﹣a，④a＝b，其中一定成立的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①a+b＝0，正确；②a＝﹣b，正确；③b＝﹣a，正确；④a＝b，两数相等，故错误；故选：C．6．a﹣（﹣b+c）的相反数是（）A．a+b+c B．a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a+b+c【解答】解：a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c，它的相反数是：﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c．故选：C．7．如图，O为原点，数轴上A，B，O，C四点，表示的数与点A所表示的数是互为相反数的点是（）A．点B B．点O C．点A D．点C【解答】解：由数轴有，点A，B到原点O的距离相等，并且位于原点两侧，故选：A．8．已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左边，则点A、B表示的数分别是（）A．﹣4，4 B．4，﹣4 C．8，﹣8 D．﹣8，8【解答】解：由A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左边，得点A、B表示的数是﹣4，4，故选：A．9．若一个负整数的相反数小于2，则这个负整数是．【解答】解：负整数的相反数是正数，且小于2，∴这个正数是1，∴这个负整数是﹣1．故答案为：﹣1．10．若（m﹣3n）的相反数是7，则（5﹣m+3n）的值为．【解答】解：由题意得，m﹣3n＝﹣7，∴5﹣m+3n＝5﹣（m﹣3n）＝5﹣（﹣7）＝12，故答案为：12．11．若a与b