14.1整式的乘法（重难点突破）解析版

14.1整式的乘法（重难点）【知识点一、幂运算】1.同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n，（m，n为正整数）拓展：①am·an·ap=am+n+p，（m，n，p为正整数；②(a+b)n(a+b)m=a+b)m+n（m，n为正整数）.同底数幂的乘法技巧①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；②逆用法则：am+n=am×an2.幂的乘方运算法则幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数;

(am)n=amn=(an)m，其中m，n为正整数.((a+b)m)n=(a+b)mn，其中m，n为正整数.3.积的乘方运算法则积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm，其中m为正整数。【知识点二、整式乘法】1.单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。2.单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。3.多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。【知识点三、整式除法】1.同底数幂的除法运算同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。2.a0与a零指数幂：a0=1(a≠0)；负整数指数幂：a-p=1ap（注意：a≠0；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即a-p=1ap=1ap；在混合运算中3.单项式除单项式通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。4.多项式除单项式多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。考点1：同底数幂的乘法例1．计算-b3⋅-bA．-b4 B．b4 C．-b【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加即可得到答案．【详解】解：-b3故选：B．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，熟记同底数幂的乘法的运算法则是解本题的关键．【变式训练1-1】．下列各式中能用同底数幂乘法的运算性质进行运算的是（

）．A．x-y2⋅x+yC．x+y2+x+y【答案】B【分析】同底数幂乘法法则：am【详解】解：A．x-y2⋅B．-x-y2C．x+y2D．-x-y故选B【点睛】本题考查的是同底数幂乘法法则．解题关键点：理解运用同底数幂乘法法则计算时底数必须相同．【变式训练1-2】．下列算式中结果等于x A．(-x)2·(-x) 7 B．-x【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：A、-x2B、-xC、-x2D、x2故选：B．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的性质．此题难度不大，注意掌握符号的变化是解此题的关键．【变式训练1-3】．下列计算错误的是（

）．A．bm⋅bC．-a3⋅【答案】B【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断A，C，D选项运算正确；B选项不是同底数幂，所以无法运算，故运算错误．【详解】解：A．bmB．2mC．-aD．a-b2故选B．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，能熟练运用公式，进行计算是解决本题的关键．【变式训练1-4】．下列计算结果正确的是（

）A．-x-x5=C．-9⋅-35【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法法则求解．【详解】解：A，-x-xB，x3C，-9⋅D，x⋅x故选A．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．考点2：比较大小例2．已知a、b、c分别为8131、2741、961，则a、b、c的大小关系是A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b【答案】A【分析】把a、b、c的底数全部换成3，再比较大小即可得到答案．【详解】解：∵a=8131，b=27∴a=3431=3∴a>b>c，故选A．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，正确把a、b、c的底数全部换成3是解题的关键．【变式训练2-1】．已知a=8131,b=2741A．a>b>c B．a>c>b C．a<b<c D．b>c>a【答案】A【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．【详解】解：∵a=81b=27c=9则a>b>c．故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．【变式训练2-2】．已知a=255，b=344，c=533，则a、A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．b>c>a【答案】C【分析】利用幂的乘方法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：a=255=(2∵125>81>32，∴c>b>a，故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键．【变式训练2-3】．已知M=230，N=315，则M与A．M>N B．M<N C．M=N D．M≥N【答案】A【分析】把指数化成一样，再比较底数的大小即可．【详解】∵M=230=∴M>N，故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方的应用，主要考查学生能否灵活运用法则进行计算．【变式训练2-4】．已知a=3444,b=A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a【答案】D【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论．【详解】解：a=3∵34∴c<b<a；故选D．【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．考点3：逆用幂的乘方例3．已知am=2,aA．24 B．31 C．108 D．6【答案】C【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法的逆运算，进行计算即可求解．【详解】解：∵am∴a故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．【变式训练3-1】．已知3m=a,   3nA．2ab B．a2+b C．a【答案】C【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法即可求解．【详解】解：∵3m∴32m+n故选：C．【点睛】本题考查了逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．【变式训练3-2】．已知：3m=2，3n=5，那么A．200 B．33 C．129 D．500【答案】A【分析】根据幂的乘方的逆用可进行求解．【详解】解：∵3m=2，∴33m+2n故选A．【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练3-3】．已知3a=4，9b=2，则A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】根据3a+2b=【详解】解：由题意知，3a+2b故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练3-4】．已知10a=25，100b=400，则A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【分析】根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，求得a+2b=4，即可求解．【详解】解：由100b=40010∴a+2b=4∴3a+6b-5=3故选：B【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相关运算性质，正确求得a+2b=4．考点4：利用积的乘方运算例4．计算(0.125)2022×(-8)A．8 B．0.125 C．-8 D．【答案】C【分析】根据积的乘方的运算法则求解即可．【详解】解：0.125=-=-=-1×8=-8故选：C．【点睛】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是掌握积的乘方的运算法则．【变式训练4-1】．计算-5122023A．-125 B．-512 C．【答案】A【分析】逆用积的乘方和同底数幂的乘法法则解答即可.【详解】解：-====-12故选：A.【点睛】本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键.【变式训练4-2】．计算232021×A．-23 B．2 C．-3【答案】C【分析】利用积的乘方的逆用以及同底数幂乘方的逆用进行计算，即可解答．【详解】解：2====1×=-故选：C．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用以及同底数幂乘方的逆用，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．【变式训练4-3】．计算0.752022A．43 B．-43 C．0.75【答案】B【分析】根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则求解即可．【详解】0.75===1×=-4故选B【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算，正确将所求式子变形是解题的关键．【变式训练4-4】．计算-0.252024×-4A．-4 B．4 C．-14 D【答案】C【分析】利用积的乘方和有理数的乘方运算法则求解即可．【详解】解：-0.25=-=-=-=-1故选：C．【点睛】本题考查积的乘方和有理数的乘方，熟练掌握运算法则，利用积的乘方的逆运算法则简便运算是解答的关键．考点5：单项式乘单项式例5．计算：-3ab×4a2【答案】-12【分析】系数相乘结果作为积的系数，同底数幂相乘，所得结果作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，连同字母的指数作为积的一个因式；据此进行计算即可．【详解】解：原式=-12a故答案：-12a【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，理解法则是解题的关键．【变式训练5-1】．计算：3a2【答案】3【分析】根据积的乘方和单项式的乘法计算即可．【详解】解：3a故答案为：3【点睛】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练5-2】．计算：2x⋅-xy2【答案】2x3【分析】根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则计算即可．【详解】解：2x⋅==2x故答案为：2x【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是：正确熟练掌握积的乘方法则、单项式乘以单项式法则．【变式训练5-3】．计算：4a2【答案】12a3【分析】根据单项式乘以单项式进行计算即可求解．【详解】解：4a2故答案为：12a【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．【变式训练5-4】．计算：2a2【答案】-48【分析】先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可．【详解】解：2=8=-48a故答案为：-48a【点睛】本题主要考查积的乘方运算、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．考点6：整体代人例6．已知x2-x-2=0，则代数式-x【答案】2019【分析】由已知的式子可得x2=x+2，【详解】解：∵x2∴x2=x+2，∴-=-x=-==2+2017=2019；故答案为：2019．【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法运算，正确降次、灵活应用整体思想是解题的关键．【变式训练6-1】．若x2+3x-2=0，则2x(3x+2)-(2x+1)(2x-2)=【答案】6【分析】先根据单项式乘多项式法则，多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，再由x2+3x-2=0，得【详解】解：2x(3x+2)-(2x+1)(2x-2)，=6x=6x=2(x由x2+3x-2=0，得原式=2×2+2=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，以及整体代入方法，熟练掌握运算法则及整体代入方法是解本题的关键．【变式训练6-2】．若有理数x满足x2+2x-1=0，则2x【答案】2028【分析】把x2+2x-1=0化为：x2【详解】解：由x2+2x-1=0得：所以：2=2x(-2x+1)+7=3=3(=3×1+2025=2028．故答案为：2028．【点睛】本题考查的是代数式的求值，利用整体代入进行降次是解题的关键．【变式训练6-3】．若x2-3x+2=0，则x【答案】2019【分析】由x2-3x+2=0，可得x2-3x=-2，【详解】解：∵x2∴x2-3x=-2，∴2x∴x=3x=2x=-4+2023=2019．故答案为：2019【点睛】本题考查的是求解代数式的值，整式的乘法运算，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．【变式训练6-4】．已知x2+2x=-8，则代数式3+xx+2【答案】-5【分析】先用单项式乘以多项式法则展开3+xx+2【详解】解：∵x2∴3+x=-8+3=-5故答案为：-5．考点7：单项式乘多项式例7．计算：(-4xy)2【答案】12【分析】先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：(-4xy)＝16x＝12x【点睛】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以多项式，合并同类项，熟记各自的运算法则是解本题的关键．【变式训练7-1】．计算：-【答案】-【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可．【详解】解：-1=-=-=-9【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键．【变式训练7-2】．计算：2ab【答案】b-3a【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【详解】解：2ab=4=b-3ab【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练7-3】．计算：-9xy【答案】-18【分析】用单项式乘以多项式的每一项，求解即可．【详解】解：-9x=-9x=-18【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式训练7-4】．计算：a2【答案】a【分析】单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．【详解】解：原式=2a=2=a【点睛】本题考查单项式与多项式相乘，积的乘方，单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握以上运算法则．考点8：多项式乘多项式化简求值例8．先化简，再求值：2aa2+a-1【答案】a2-a【分析】先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到化简的结果，再把a=-2【详解】解：2a==2=a当a=-23时，原式=-【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，掌握整式的乘法运算的运算法则是解本题的关键．【变式训练8-1】．先化简