高级运筹学课件

層次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又稱為層次分析法或多層次權重解析方法，是20世紀70年代初期由美國著名運籌學家、匹茲堡大學薩蒂(T·L·Saaty)教授首次提出來的。該方法是定量和定性分析相結合的多目標決策方法，能夠有效地分析目標準則體系層次間的非序列關係，有效地綜合測度決策者的判斷和比較。由於系統、簡潔、實用，在社會、經濟、管理等許多方面，得到越來越廣泛的應用。

**1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結構模型

首先要把問題條理化、層次化，構造出能夠反映系統內在聯繫的遞階層次結構模型。將具有共同屬性的元素歸併為一組，作為結構模型的一個層次。同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。這樣，構造了遞階層次結構模型。AHP的層次結構，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般來說，可以將層次分為三種類型：

①最高層。只包含一個元素，表示總目標層。

②中間層。包含若干層元素，表示實現總目標所涉及到的各子目標，稱目標層。

③最低層。表示實現各決策目標的可行方案，稱為方案層。

*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結構模型

層次結構中相鄰兩層次元素之間的關係用直線標明，稱為作用線，元素之間不存在關係，就沒有作用線。如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關係；如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關係，則稱為不完全層次關係。在實際操作中，模型的層次數由系統的複雜程度和決策的實際需要而定，不宜過多。每一層次元素一般不要超過9個，過多的元素會給主觀判斷比較帶來困難。構造一個合理而簡潔的層次結構模型，是AHP方法的關鍵。

G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第n層子目標方案層*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結構模型

[例1]構建科研課題決策的層次結構模型。決策往往涉及眾多因素：成果貢獻、人才培養、可行性、發展前景四個目標。和這四個目標相關的因素又有以下幾個：

①實用價值。研究成果給社會帶來的效益，包括經濟效益和社會效益。實用價值與成果貢獻、人才培養、發展前景等目標都有關系。

②科技水準。課題在學術上的理論價值以及在同行中的領先水準。科技水準直接關係到成果貢獻、人才培養、發展前景。

③優勢發揮。課題發揮本單位學科及人才優勢程度，體現與同類課題比較的有利因素。與人才培養、課題可行性、發展前景均有關系。

④難易程度。指課題本身的難度以及課題組現有人才、設備條件所決定的成功可能性。與課題可行性、發展前景相關聯。

⑤研究週期。課題研究預計所需時間，與可行性直接相關。

⑥財政支持。是指課題的經費、設備以及經費來源。與課題可行性、發展前景直接相關。科研課題決策，就是綜合上述各種目標和因素，確定各個課題的相對優劣次序，以供優選課題和安排科研力量參考。為此，建立科研課題決策的層次結構模型。模型從上到下，分為四個層次，層次之司的關聯情況均以作用線標明。

*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結構模型

綜合評價科研課題A課題1……成果貢獻B1人才培養B2可行性B3發展前景B4實用價值C1科技水平C2優勢發揮C3難易程度C4研究周期C5財政支持C6經濟效益C11社會效益C12課題N*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

AHP方法採用優先權重作為區分方案優劣程度的指標。優先權重是一種相對度量數，表示方案相對優劣的程度，其數值介於0和

1之間。在給定的決策準則之下，數值越大，方案越優，反之越劣。方案層各方案關於目標準則體系整體的優先權重，是通過遞階層次從上到下逐層計算得到。這個過程稱為遞階層次權重解析過程。

[例2]設有3個物體，它們的重量分別為g1，g2，g3。為了測出各物體的重量，現將每一物體與其它物體重量兩兩比較：第i個物體重量與其它物體重量相比較，得到3個重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。構成一個3行3列的矩陣A，稱為3個物體重量的判斷矩陣。

*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

設3個物體重量組成的向量為

根據線性代數知識，3是矩陣A的最大特徵值，G是矩陣A屬於特徵值3的特徵向量。因此，物體測重問題就轉化為求判斷矩陣的特徵值和對應的特徵向量，3個物體的重量，就是判斷矩陣最大特徵值3的特徵向量的各個分量。*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

判斷矩陣

產生問題：根據決策者主觀判斷所構造的判斷矩陣的最大特徵值是否存在，是否為單根?

元素aij＞0（稱為正矩陣），i,j=1,2,3，並且滿足下列三個條件：

標度定

義含

義1同樣重要兩元素對某準則同樣重要3稍微重要兩元素對某準則，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某準則，一元素比另一元素明顯重要7強烈重要兩元素對某準則，一元素比另一元素強烈重要9極端重要兩元素對某準則，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8相鄰標度中值表示相鄰兩標度之間折衷時的標度上列標度倒數反比較元素i對元素j的標度為aij，反之為l/aij*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

實際中，判斷矩陣的構造採用Saaty引用的1-9標度方法，各級標度含義如下表。

1-9標度法則符合人的認識規律，有一定科學依據。從人的直覺判斷能力看，在區分事物數量差別時，習慣使用相同、較強、強、很強、極端強等判斷語言。根據心理學實驗表明，多數人對不同事物在相同準則上的差異，其分辨能力介於5-9級之間，1-9標度反映了多數人的判斷能力。Saaty將l-9標度方法和其他標度方法進行對比，大量模擬實驗證明，1-9標度是可行的，與其它標度方法比較，能更有效地將思維判斷數量化。

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

[例3]設有3個元素A1，A2，A3，現在構造關於準則Cr的判斷矩陣

*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定義1:設如果滿足下列二個條件：則稱A

為互反矩陣。

定義2:設如果滿足下列三個條件：則稱A

為一致性矩陣。*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定理1(Perron):設則：①A

有最大的正特徵值

max，並且

max是單根，其餘特徵值的模均小於

max

定理2:設A

是互反矩陣。②A

的屬於

max的特徵向量X＞0

①若

max是A

的最大特徵值，則

max≥m

②若

1,

2,…,

m

是A的特徵值，則③A是一致性矩陣的充分必要條件是

max=m

*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性定理2:設A

是一致性矩陣，則：①一致性正矩陣是互反正矩陣；

②A的轉置矩陣AT也是一致性矩陣；③A的每一行均為任意指定一行的正數倍數；④A的最大特徵值

max=m，其餘特徵值均為0

；⑤若A的屬於

max的特徵向量為

產生問題：根據決策者主觀判斷所構造的判斷矩陣具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定滿足*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

儘管判斷矩陣不具有完全的一致性，仍希望它的最大特徵值

max略大於階數m，其餘特徵值接近於零，稱之為滿意的一致性。這樣，計算出的層次單排序結果才是合理的。因此，必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗，使之達到滿意的一致性標準。

設判斷矩陣A的全部特徵值為：

1=

max，

2，

，

m

由於A是互反矩陣，aii=1，(i=1，2，

，m)。由矩陣理論有

為達到滿意一致性，除了

max之外，其餘特徵值儘量接近於零。取作為檢驗判斷矩陣一致性指標。

階數12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性C.I越大，偏離一致性越大。反之，偏離一致性越小。判斷矩陣的階數m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大，反之，偏離一致性越小。當階數m≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全一致性。因此，必須引入平均隨機一致性指標R.I，隨判斷矩陣的階數而變化，如下表。這些R.I值是用隨機方法構造判斷矩陣，經過500次以上的重複計算，求出一致性指標，並加以平均而得到的。

一致性指標C.I與同階平均隨機一致性指標R.I的比較值，稱為一致性比率*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性用一致性比率C.R檢驗判斷矩陣的一致性，當C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認為，當C.R≤0.1時，判斷矩陣符合一致性標準，層次單排序的結果是可以接受的。否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。判斷矩陣的一致性檢驗步驟是：

第一步：求出一致性指標

第二步：查表得到平均隨機一致性指標R.I

第三步：計算一致性比率

當C.R≤0.1時，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解判斷矩陣A=(aij)m×m是決策者主觀判斷的描述，求解判斷矩陣並不要求過高的精度。有根法、和法及冪法，冪法適於在電腦上運算。

（1）根法

第一步：計算A的每一行元素之積Mi

第二步：計算Mi的m次方根ai

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特徵值對應的特徵向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特徵值

max*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法取算述平均值：

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（2）和法

第一步：判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理得到矩陣Q

第二步：將矩陣Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特徵值對應的特徵向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特徵值

max*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法取算述平均值：

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代計算定理：設則，其中E=(1,1,…,1)T，C為常數

第k+1步：迭代計算（k=0,1,2,3,…）*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第三步：精度檢查，當|mk+1-mk|<

，轉入第四步；否則令k=k+1，轉入第二步

第四步：求最大特徵值和對應的特徵向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。精度=0.0001

解：任取初始正向量

當k=7時，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代終止。得到

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A不滿足一致性檢驗。

*1.2遞階層次結構權重解析過程

一、遞階權重解析公式G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第2層子目標方案層……第n層子目標┆*1.2遞階層次結構權重解析過程

一、遞階權重解析公式第一層n1個子目標關於總目標G的優先權重向量（第一層子目標判斷矩陣最大特徵值對應的特徵向量）第二層n2個子目標關於總目標G的優先權重向量

第二層n2個子目標關於第一層第1個元素優先權重向量第二層n2個子目標關於第一層第2個元素優先權重向量第二層n2個子目標關於第一層第n1個元素優先權重向量*1.2遞階層次結構權重解析過程

一、遞階權重解析公式第三層n3個子目標關於總目標G的優先權重向量

第三層n3個子目標關於第二層第1個元素優先權重向量第三層n3個子目標關於第二層第2個元素優先權重向量第三層n3個子目標關於第二層第n2個元素優先權重向量*1.2遞階層次結構權重解析過程

一、遞階權重解析公式第n層nn個子目標關於總目標G的優先權重向量

第n層nn個子目標關於第n-1層第1個元素優先權重向量第n層nn個子目標關於第n-1層第2個元素優先權重向量第n層nn個子目標關於第n-1層第nn-1個元素優先權重向量*1.2遞階層次結構權重解析過程

二、AHP方法的基本步驟①建立層次結構模型：對決策對象調查研究，將目標體系所包含的因素劃分為不同層次。

②構造判斷矩陣：按照層次結構模型，從上到下逐層構造判斷矩陣。每一層元素都以相鄰上一層次各元素為準則，按1-9標度方法兩兩比較構造判斷矩陣。也可以用其他改進的標度方法構造。③層次單排序及一致性檢驗：求解判斷矩陣最大特徵值和對應的特徵向量，經過歸一化處理，即得層次單排序權重向量。層次單排序要進行一致性檢驗，檢驗不合格的要修正判斷矩陣，直到符合滿意的一致性標準。

④層次總排序。層次總排序是從上到下逐層進行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。*1.2遞階層次結構權重解析過程

[例4]某市中心有一座商場，由於街道狹窄，人員車輛流量過大，經常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題，經過有關專家會商研究制定出三個可行方案：

c1：在商場附近修建一座環形天橋；

c2：在商場附近修建地下人行通道；

c3：搬遷商場。決策的總目標是改善市中心交通環境。根據當地的具體條件和有關情況,專家組擬定五個目標作為對可行方案的評價準則：

b1：通車能力；

b2：方便群眾；

b3：基建費用不宜過高；

b4：交通安全；

b5：市容美觀。試對該市改善市中心交通環境問題作出決策分析。

*1.2遞階層次結構權重解析過程

[解]用AHP方法對此問題作出決策分析

(1)構建層次結構模型

改善交通環境A總目標準則層方案層通車能力B1方便群眾B2基建費用B3交通安全B4市容美觀B5天橋C1地道C2搬遷C3*(2)層次單排序及其一致性檢驗①第一層：對於總目標A，準則層各準則構造判斷矩陣A(1)，求解最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量(權重)所以，判斷矩陣A(1)滿足一致性檢驗。

*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A1(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B1(通車能力)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A2(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B2(方便群眾)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A3(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B3(基建費用)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A4(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B4(交通安全)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A5(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B5(市容美觀)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗●第二層權重向量（此時為層次總排序）這說明三個可行方案的排序結果是C1＞C2＞C3，即是修建天橋是最滿意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬遷商場。

*習題一

1、某單位需要建立一個蓄水池，有南區方案和北區方案，按照投資合理、效益顯著、運行可靠、管理方便的原則選擇最優方案，各項比較準則所需的相關資料如下，試用確定最佳方案。

目標方案A工程投資B1工程效益B2施工條件B3開挖量C11地基條件C12施工條件C12進水C21管理條件C22影響環境C23蓄水量C24施工條件C31南區方案D1北區方案D2*判斷矩陣：

模糊集合2.0引論一、模糊集合產生的原因

1、現實世界中存在大量的模糊現象和模糊概念。如“青年人”、“高個子”等。

2、研究模糊性具有重要的現實意義。如“做化學實驗”、“炒萊”等。

3、資訊科學和人工智慧的發展促進了模糊數學的產生。如“電視圖像的調節”等。人腦思維活動的特點之一：就是能對模糊事物進行識別和判斷。如：要找一個人，只知道他是“高個子，大鬍子”，無須知道他的身高究竟具體是多少米，以及臉上有多少根鬍子、平均有多粗。二、模糊性與隨機性的區別

1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。

2、隨機性：事物的概念本身是明確的，只是發生的條件不充分，使條件與事物的發生無因果關係，從而事物的發生與否表現出不確定性，但有統計規律。三、起源

1965年，(美)著名控制論教授紮德(L.A.Zadeh)發表論文“模糊數學(fuzzy)”。

給定量研究客觀世界中的模糊性開闢了新途徑。*2.1模糊集合的定義

一、普通集合論知識：確定概念→普通集合→特徵函數

1、集合的概念：符合某個確定概念的對象的全體。常用字母A、B、C

等表示。因此，確定概念可用集合來表示，集合是確定概念的外延。

2、論域：某議題範圍內被討論的全部對象。常用字母U、V、X、Y

等表示。論域中的每個對象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大學的學生}就可以成為一個論域。

⑴有限論域：元素個數為有限個或可列個的論域。

⑵無限論域：元素個數為無限個的論域。

3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個集合。

用A、B、

等表示。如論域U={中南大學的學生}，則A={中南大學的男學生}就是論域U中的一個集合。二、模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數給定論域

U，稱A是論域

U上的模糊子集(記為Ã)：如果對x∈U，都有一個確定的數

A(x)∈[0,1]與之對應。此時，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)稱為

A的隸屬函數；數

A(x)稱為論域U中的元素x對模糊子集A的隸屬度，表示x屬於A的程度。

特例：當

A(x)=0、1時，模糊子集Ã蛻化為普通集合A；

Ã的隸屬函數

A(x)蛻化為A特徵函數CA(x)，即

*

例2-1組成一個100人的評比小組，對五種商品X1,X2,X3,X4,X5進行評比。結果是：認為商品X1“品質好”的有81人，占81%=0.81；認為商品X2“品質好”的有53人，占53%=0.53；認為商品X3“品質好”的有100人，占100%=1；認為商品X4“品質好”的有0人，占0%=0；認為商品X5“品質好”的有24人，占24%=0.24。對論域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個元素均規定了一個隸屬度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它們確定了U中的一個模糊子集A，表示商品“品質好”這一模糊概念。

*

例2-2考查某商店商品銷售利潤的經濟效益論域U=[0，k](無限論域)表示該商品銷售利潤額的範圍，則表示商品銷售利潤的“經濟效益好”這一模糊概念的模糊子集Ã，用以下隸屬函數表示：

其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤效益最好時刻的利潤率。

*

例2-3取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=30歲，則

2.2模糊子集的運算：Ã仍記為

A(除非特別申明)

1.關係運算：對論域U

⑴模糊空集

：對xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：對xU，均有

E(x)=1⑶模糊冪集(U)：U中的全體模糊子集(含普通子集)構成的普通集合(其元素是模糊子集)。

⑷A=B：對xU，均有

A(x)=B(x)⑸A

B：對xU，均有

A(x)≤B(x)

2.並、交、餘運算：對論域U

⑴並(A∪B)：設A,B(U),對xU，則A∪B是由下列隸屬函數確定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）

⑵交(A∩B)：設A,B(U),對xU，則A∩B是由下列隸屬函數確定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）

⑶餘(Ac)：設A(U),對xU，則Ac是由下列隸屬函數確定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示“商品品質好”這個模糊概念的模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，“商品品質差”這個模糊概念的模糊子集為：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。則：①表示“商品品質或好或差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；

②表示“商品品質又好又差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；

③表示“商品品質不好”這個模糊概念的模糊子集為：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；**例2-5年齡論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”,對應的模糊子集Y與O,隸屬函數為

0150

100x0125

100x

則：表示“又老又年輕”這個模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數為

0125

100x

50x*

3.運算性質：

⑴對偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵冪等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺兩極律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻還原律：(

Ac)c=A

⑼不滿足互補律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽偽補律：

A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥½

；

A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤½

例2-6設有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

則：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，並且其隸屬度均大於1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，並且其隸屬度均小於1/2

*

4.幾種常用的模糊算子：須同時滿足對偶律、交換律、結合律、兩極律

⑴普通實數乘法

與最大∨算子M(

,∨)：

A∪B(x)=A(x)∨B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)⑵普通實數乘法

與有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中有界和⊙：對a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通實數乘法

與概率和△算子M(

,△)：

A∪B(x)=A(x)△B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中概率和△：對a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界積☆與有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)☆

B(x)

其中有界積☆：對a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7設有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。採用算子M(☆,⊙)，得：則：A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}

*2.4模糊集合與普通集合的關係：模糊集合是普通集合的推廣

1.模糊子集A的

水準截集A

給定模糊子集A(U)，對[0,1]，稱普通集合A

={x|xU,且

A(x)≥}為模糊子集A的

水準截集。

即：A

由U中哪些隸屬度大於或等於

的元素組成，其特徵函數為：*1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“品質好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，進一步研究：有50%以上的人認為“品質好”，稱為“合格”，則“合格”商品的集合為

A0.5={X1,X2,X3}，=0.5

有80%以上的人認為“品質好”，稱為“優良”，則“優良”商品的集合為

A0.8={X1,X3}，=0.8

A0.5與A0.8

均是A按一定水準

確定的普通子集(截集)。

2.水準截集A

的性質

①(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；

③設

1,2[0,1]，且

1≤2，則A1

A2

*3.模糊子集A的核A1、支撐架SuppA、邊界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；

②A的支撐架SuppA

={x|A(x)＞0}

；

③A的邊界SuppA-A1={x|0＜

A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五種商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，則

A的核

A1={X3}；

A的支撐架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的邊界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA114.由A

生成的模糊子集設A(X)，其

水準截集為A

，*

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隸屬函數

結論：任何模糊數學問題，均可通過分解定理用經典集合論方法處理；從概念上講，模糊數學是經典數學的推廣和發展；

A(x)xoA

U12.5實數域上的模糊集

論域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隸屬函數稱為模糊分佈。

1.戒上型：

*1

，x＜a

0

，x≥a

①降半矩形分佈

②降半

分佈

,x＞a

1,x≤a

，其中k＞0

③降半正態分佈

,x＞a

1,x≤a

④降半柯西分佈

,x＞a

1,x≤a

,其中k,

＞0

⑤降半梯形分佈

0,x≥a1

1,x＜a2

,a2＜x≤a1

2.戒下型：

*0

，x≤a

1

，x＞a

①升半矩形分佈

②升半

分佈

0,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

③升半正態分佈

0,x≤a

,x＞a

④升半柯西分佈

0,x≤a

,x＞a

,其中k,

＞0

⑤升半梯形分佈

0,x≤a1

1,x＞a2

,a1＜x≤a2

3.對稱型：

*①矩形分佈

②尖

分佈

③正態分佈

④柯西分佈

⑤梯形分佈

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

由擴張原理有

*

解：U={0,2,4,6,8,10}，V={a,b,c,d}

a

，x=0,2,4b

，x=6,8

c

，x=10

模糊關係

3.1模糊關係的定義

從普通集合A到普通集合B的一個模糊關係R是指：以笛卡爾積

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個模糊子集

R，

記作R：AB，或R∈(A×B)

其隸屬函數為

R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關係R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，則稱

R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

為A上的模糊關係。

例3-1設A={品質好,品質一般,品質差}，B={價格高,價格中等,價格低}是兩個普通集合，則表示“質價相符”這個模糊關係R，就是笛卡爾積A×B上的一個模糊子集，其隸屬函數為：

*R價格高價格中等價格低品質好10.70品質一般0.810.5品質差00.61

例3-3設X，Y為兩個坐標軸，則表示“x遠遠大於y”這個模糊關係R，就是笛卡爾積X×Y上的一個模糊子集，其隸屬函數為：

*0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，則x遠遠大於y的程度是：

例3-2設A={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}，則表示這五種幾何圖形“相似關係”R，就是笛卡爾積A×A上的一個模糊子集，其隸屬函數為：

R直線園橢圓雙曲線拋物線直線100.10.20.3園010.90.50.4橢圓0.10.910.70.6雙曲線0.20.50.710.8拋物線0.30.40.60.81

3.2模糊矩陣一、概念

當論域A、B為有限集時，模糊關係R可用矩陣表示，記為R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“質價相符”這個模糊關係的模糊矩陣為：*

五種幾何圖形“相似”這個模糊關係的模糊矩陣為：

特例：當隸屬度為0和1時，模糊矩陣變為普通矩陣。如:

二、幾種特殊的模糊矩陣：

①表示A×B上的“零關係”的零矩陣O：

*(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A與B中任意元素之間具有關係O的程度為0。

②表示A×A上的“恒等關係”的恒等矩陣I：

(a,b)A×A，當a=b時,I(a,b)=1；當a≠b時,I(a,b)=0。即A中任意元素自己與自己具有關係I的程度為1，與其餘元素具有關係I的程度為0。

③表示A×B上的“全稱關係”的全矩陣E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A與B中任意元素之間具有關係E的程度均為1。

三、模糊矩陣的運算：設有模糊矩陣R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R與S的並：R∪S=(rij∨sij)；

②R與S的交：R∩S=(rij∧sij)；

③R的餘：Rc=(1-rij)；

④R與S相等：R=S，i,j，均有rij=sij

；

⑤R包含於S：R

S，i,j，均有rij≤sij

。

*例如：

*

四、模糊矩陣的運算性質：

⑴冪等律：R∪R=R，R∩R=R；

⑵交換律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；

⑶結合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；

⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；

⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；

⑹兩極律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺還原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；

⑼R

S

Rc

Sc

；

⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩陣R的

截矩陣R

：是一個普通矩陣設R=(rij)，對[0,1]，稱R

=(rij(

))為R的

截矩陣。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的運算性質：

⑴對[0,1]，有R

S

R

S

；

⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。*

例3-4設有模糊矩陣：

則：

例3-5商品“質價相符”模糊關係的模糊矩陣為：

若參加者都認為“質價相符”,則記為100%=1；無人認為“質價相符”,則記為0%=0；有70%的人認為“質價相符”,則記為70%=0.7。而質檢和物價部門確定商品“質價關係”時，把全部的人認為“質價相符”定為“完全相符”;80%以上的人認為“質價相符”定為“相符”;50%以上的人認為“質價相符”定為“基本相符”。

取=1，0.8，0.5得

截矩陣：

3.3模糊關係的合成

1、模糊關係合成的概念：

設有論域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，則Q對R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一個由X到Z的模糊關係，其隸屬函數定義為：

*

特例：若X=Y=Z，則對X上的一個模糊關係R，記R

R=R2

2、對有限論域，模糊關係的合成可用模糊矩陣的運算表示：設論域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，則Q對R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，並且*

例3-7設有模糊矩陣：

則：

*3、模糊矩陣合成的運算性質：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8設有模糊矩陣：取=0.6

則：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；

⑶Rm+n=Rm

Rn

；

⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

*⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9設有模糊矩陣：

則:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10設有模糊矩陣：

則:

Q

R≠R

Q

3.4幾種常見的模糊關係

1、模糊倒置關係：

設R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x,y)，則RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊關係，稱為R的倒置關係，其隸屬函數定義為：

*

特例，對有限論域X、Y，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，則RT的模糊矩陣為RT=(rji)n×m

例3-11商品“質價相符”模糊矩陣為：則商品“價質相符”模糊矩陣為：2、模糊對稱關係：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若對x1,x2

X

，均滿足

則稱R是模糊對稱關係。特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若滿足RT=R，則R為模糊對稱矩陣。

例3-12模糊矩陣

則由RT=R，知R為模糊對稱矩陣。*3、模糊自反關係：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若對xX

，均滿足

則稱R是模糊自反關係。特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R主對角線上的元素均為1，則模糊矩陣R為模糊自反矩陣。

例3-13模糊矩陣

則R為模糊自反矩陣。4、模糊相似關係：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若R既是對稱關係又是自反關係，則稱R是X上的模糊相似關係，其隸屬函數滿足：對x1,x2,xX

，均有

特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R對稱且主對角線上的元素均為1，則R為模糊相似矩陣。*

例3-14論域U={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}上的模糊矩陣因為R既是模糊對稱矩陣又是模糊自反矩陣，所以R為U上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。

轉置模糊矩陣運算性質：

⑴(RT)T=R；

⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶R

Q

RT

QT

；

⑷(RT)

=(R

)T；

⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；

⑹對

模糊矩陣R：R∪RT必是對稱矩陣,

且R∪RT被所有包含R的對稱矩陣所包含。

*5、模糊傳遞關係：

⑴普通傳遞關係R：對x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如幾何中的平行關係

就普通傳遞關係：若ab,bcac⑵模糊傳遞關係R：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞關係，其隸屬函數滿足：對x1,x2,x3

X

，均有

特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)n×n，其隸屬度為rij

，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：

例3-15影響企業經濟效益的主要因素構成論域

U={銷售額(X1),購銷費用(X2),零售利潤(X3)},

它們彼此影響的模糊關係矩陣為：即RR

R，所以R為模糊傳遞矩陣。*⑶模糊關係R的

截關係

R

：

設R∈(X×Y)，即R是X到Y上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x,y)，

對[0,1]，R的

截關係R

是X到Y上的普通關係，其特徵函數為

特例，當X=Y時，稱R

是X上的

截關係。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊傳遞關係與普通傳遞關係的聯繫：

[定理]：設R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊關係，則：

R是模糊傳遞關係

對[0,1]，R的

截關係R

均是普通傳遞關係。*6、模糊等價關係：

⑴普通等價關係R：若普通關係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是普通等價關係。

⑵模糊等價關係R：若模糊關係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是模糊等價關係。特例，對有限論域，模糊等價關係R可表示為模糊等價矩陣R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊關係矩陣：為模糊自反、對稱、傳遞矩陣。故R為模糊等價矩陣。[定理]模糊矩陣R是模糊等價矩陣

對[0,1],R的

截矩陣R

均是普通等價矩陣。

模糊综合评判

4.1模糊綜合評判數學模型及其應用一、綜合評判數學模型

設有二個論域：X={X1,X2,…,Xn}表示綜合評判多種因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示評語集合，則模糊變換AR=B稱為綜合評判數學模型。其中：R(X×Y)，是X×Y上的模糊關係矩陣；

A是X上的模糊子集，即各評判因素的權重，

B是Y上的模糊子集，即評判結果。二、綜合評判步驟

1、確定R：對因素集X中各個因素，用各種可行方法分別作出對評語集Y中各個評語的單因素評判，進而得到一個實際上表示X和Y間模糊關係的模糊矩陣R。

2、確定A：對因素集X中各個因素，確定其在被評判事物中的重要程度(權重)，且權重之和為1。

3、確定B：作模糊變換B=AR，則B正好表示被評判事物在評語集Y上的綜合評判結果。*R輸入A輸出BAR=B*

例4-1市場調查與銷售預測時，欲知某商品受歡迎的程度。現確定顧客從品質、價格、花色、式