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数学第一册（修订版）观察如图24所示的是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图而设计的，体现了数学研究的继承和发展.2.2算术平均值与几何平均值的性质观察如图2-5所示的正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，直角三角形两条直角边长分别为a，b.求：正方形ABCD的面积S＝__________；四个直角三角形的面积之和S′＝__________；当a≠b时，S和S′的大小关系是__________；当a＝b时，S和S′的大小关系是__________.通过上面的观察过程，我们得到一个重要不等式：观察如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号).证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，(a－b)2>0；当a＝b时，(a－b)2＝0.所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.探究如果用分别替代上面不等式中的a，b，那么能得到什么结论？此时的a，b需要满足什么条件？均值定理：若a>0，b>0，则(当且仅当a＝b时，等号成立).证明因为a>0，b>0，所以a＋b＝所以思考此定理用作差比较法该如何证明？结论我们把叫作正数a，b的算术平均值，叫作正数a，b的几何平均值．均值定理说明，任何两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.不难发现，a2＋b2≥2ab和成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.应用例1已知x，y都是正数，求证：(1)如果xy是定值9，那么当x＝y时，x＋y有最小值6；(2)如果x＋y是定值2，那么当x＝y时，xy有最大值1.证明(1)因为xy＝9，所以所以x＋y≥6.当且仅当x＝y＝3时取等号，所以，当x＝y＝3时，x＋y有最小值6.应用(2)因为x＋y＝2，所以所以xy≤1.当且仅当x＝y＝1时取等号，所以，当x＝y＝1时，xy有最大值1.应用例2当x取何值时，x＋＋1(x>0)的值最小？最小值是多少？❶解因为x>0，所以>0，所以x＋≥＝2，所以x＋＋1≥3.当且仅当x＝(x>0)，即x＝1时，取到等号，所以，当x＝1时，x＋＋1的最小值为3.❶因为两个正数x和的积是定值，所以根据均值定理，它们的和x＋就应该有最小值.应用例3已知0<x<1，求y＝的最大值．❷解因为0<x<1，所以1－x>0，所以当且仅当x＝1－x，即x＝时，取到等号，所以，当x＝时，y＝的最大值为.❷因为两个正数x和1

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