数学建模公选课第一讲

数学这门历史悠久的科学，在第二次世界大战以来的半个世纪中出现了空前的繁荣。在各分支的研究取得许多重大突破的同时，数学各分支之间、数学与其它学科之间的新的联系不断涌现，从而显著地改变了数学科学的面貌。而意义最为深远的，则是数学在社会生活中的作用已经发生了革命性的变化。第一页第二页，共49页。当前突飞猛进发展的数学应用:数学和各门学科的发展,高技术的出现.经济的快速发展,社会的飞跃进步.计算机的发展和普及,人类进入了数字化的时代.第二页第三页，共49页。玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征我们常见的模型

一.从现实对象到数学模型第三页第四页，共49页。你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第四页第五页，共49页。数学模型（Mathematical

Model）

对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构.

数学建模（MathematicalModeling）

应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。（包括表述、求解、解释、检验等）

二.数学模型与数学建模

第五页第六页，共49页。模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’

三.数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用第六页第七页，共49页。航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第七页第八页，共49页。数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)现实世界数学世界表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践第八页第九页，共49页。

四.数学建模的常用软件常见的通用数学软件包包括Matlab和Mathematica、WQSB、SAS、LINDU、LINGO和Maple。其中Matlab是一个高性能的科技计算软件，广泛应用于数学计算、建模、仿真和数据分析处理及工程作图，Mathematica是数值和符号计算的代表性软件，Maple以符号运算、公式推导见长。第九页第十页，共49页。1.电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。

2.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；3.在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。4.帮助同学进一步地了解数学的广泛应用性为实际问题提供分析,预报,决策或控制5.数学建模顺应了当前的教育改革的需要

五.数学建模的重要意义第十页第十一页，共49页。

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼

六.数学建模的具体应用第十一页第十二页，共49页。模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点

七.数学模型的特点和分类第十二页第十三页，共49页。数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第十三页第十四页，共49页。分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等第十四页第十五页，共49页。数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进别人作过的模型亲自动手，认真作几个实际题目

八.怎样学习数学建模第十五页第十六页，共49页。①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。九.数学建模与能力的培养开设数学建模课的主要目的为了提高学生的综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。第十六页第十七页，共49页。例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？十.一些简单实例

似乎条件不够哦。。第十七页第十八页，共49页。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？第十八页第十九页，共49页。

显然是由于节省了从相遇点到约会点，又从约会点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到约会点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达约会点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

第十九页第二十页，共49页。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往约会地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？第二十页第二十一页，共49页。例2

餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。第二十一页第二十二页，共49页。不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

第二十二页第二十三页，共49页。那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

第二十三页第二十四页，共49页。盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样的?……不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗。

第二十四页第二十五页，共49页。不妨可以提出以下简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）第二十五页第二十六页，共49页。根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

第二十六页第二十七页，共49页。可见，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。

第二十七页第二十八页，共49页。例3

将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n块砖受到的两个力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面n块砖向右推出的总距离为，第二十八页第二十九页，共49页。故砖块向右可叠至任意远

，这一结果多少有点出人意料。

第二十九页第三十页，共49页。系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021例4:席位分配问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021第三十页第三十一页，共49页。“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对不公平A

p1/n1–p2/n2=5第三十一页第三十二页，共49页。公平分配方案应使rA

,rB

尽量小设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定义第三十二页第三十三页，共49页。1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况初始p1/n1>p2/n2

问：p1/n1<p2/(n2+1)

是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),则这席应给B第三十三页第三十四页，共49页。当rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB的定义该席给A否则,该席给B定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q

值方法计算，第三十四页第三十五页，共49页。三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系第三十五页第三十六页，共49页。进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知:m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,…,nm(自然应有n1+n2+…+nm=N)，记qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni应是N和p1,…,pm

的函数，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均为整数，显然应ni=qi第三十六页第三十七页，共49页。

qi=Npi/P不全为整数时，ni

应满足的准则：记[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即当总席位增加时，ni不应减少“比例加惯例”方法满足1），但不满足2）Q值方法满足2）,但不满足1）。令人遗憾！第三十七页第三十八页，共49页。例5:商人们怎样安全过河问题3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人掠货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)第三十八页第三十九页，共49页。模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题第三十九页第四十页，共49页。模型求解穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况xy3322110s1sn+1d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第四十页第四十一页，共49页。背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长例6如何预报人口的增长第四十一页第四十二页，共49页。指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r是常数今年人口x