高一数学向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示平面向量应用举例向量加法三角形法则

a+b=(x1+x2,y1+y2)

向量减法三角形法则

a

–

b=(x1–

x2,

y1–

y2)

数乘（实数与向量的积）

ma=(mx1,my1)

aa+bba-babamaθbaθ内积（向量的数量积）

a∙b=|a||b|cos

(x1,y1)∙(x2,y2)=x1x2+y1y2

a∥b(a≠0)，即a、b共线

存在实数m，使b=ma

x1y2=x2y1

a

b

a∙b=0

x1x2+y1y2=0

例1已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).

（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；

（2）求∠DAB的大小.(1)证明：∴AB//DC.AB=(1–(-1),1–3)=(2,-2),BC=(4–1,4–1)=(3,3).DC=(4–3,4–5)=(1,-1),∵AB=2DC,xABCDy∴

AB⊥BC.∵

AB·BC=2×3+(-2)×3=0,∴ABCD是直角梯形.又∵AB≠DC,xABCDy（2）解：|AB|=√(1–(-1))2+(1–3)2=2√2,AD=(3–(-1),5–3)=(4,2),|AD|=√(3–(-1))2+(5–3)2=2√5,AD·AB=4×2+2×

(-2)=4,cos∠DAB===,

AD·AB|AD||AB|42√5·2√2√1010∴∠DAB=arccos.√1010例2

M是∆OAB中AB边上的中点，且|OA|=|OB|，

利用向量证明:OM⊥AB.

AMBO证明：设OA=a,OB=b,ab则AB=b–a,OM=(a+b).12∵|OA|=|OB|,∴|a|=|b|.∴OM⊥AB.∴OM·AB=(a+b)(b–a)=(b2–a2)=0,1212OABCxyDM例3

已知正方形ABCD的两个顶点坐标:A(0,1)、C(4,3)，且A、B、C、D按逆时针排列，求顶点B、D的坐标.分析一：|AC|=√2

|AD|?>>AC⊥DM?分析二：>AD⊥DC?>AD·AC=|AD||AC|cos45◦

?解法一：设D(x,y),AC中点M(xo,yo),则

xo==2,yo==2.0+421+32|AC|=√42+(3–1)2=2√5,|AD|=√x2+(y–1)2

,由AC=√2|AD|,

得2√5=√2√x2+(y–1)2

，①由AC⊥DM,AC·DM=4(2–x)+(2–y)=0.②由①、②解得x=1,y=4y=0.x=3,{或{∴D、B坐标分别是（1，4）、（3，0）.得OABCxyDM又

AC=(4,2),DM=(2–x,2–y).解法二：（略写）AD⊥DC>x(4–x)+(y–1)(3–y)=0.>AD·AC=|AD||AC|cos45◦

4x+2(y–1)=|AC|2.√22√22OABCxyDMABCPabp

例4∆ABC内有一点P，设CA=a,CB=b,CP=p

(1)用a,b,p表示AP2+BP2+CP2;

(2)求AP2+BP2+CP2的最小值，并求取得最小值时P点的位置.

AP2=AP·AP=(p–a)2;∴AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2.解:(1)BP2=BP·BP=(p–b)2;CP2=p2.(2)AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2

∴AP2+BP2+CP2的最小值为(a2+b2–a·b)，

取得最小值时P点为ΔABC的重心.23=3(p–)2+(a2+b2–a·b),23a+b3ABCPabp(1)

若P分线段AB为1:k

,试以k表示点P的坐标;

(2)

求AB∙CP;

(3)若CP

AB,

求P点的坐标.练习

已知A、B、C的坐标分别为(3,4)、(9,1)和(7,7)，OABxyPCP解:(1)则x=,9+3k1+ky=.1+4k1+k即P点坐标为（，）.9+3k1+k1+4k1+k由已知，点P分BA的比为k,设P(x,y)，AB·CP=–.6(2–4k)1+k3(-6–3k)1+k(3)∵CP⊥AB,∴AB·CP=0,解得k=2,∴P点坐标为（5，3）.OABxyPCP(2)AB=(6,-3),CP=(–7,–7),1+4k1+k9+3k1+k已知正方形ABCD两顶点的坐标A(1,0)、B(4,1),求C、D坐标.2.等腰梯形ABCD的三个顶点坐标为A(-1,0)、B（2，1）、C（2，5），求点D的坐标.3.

由三角形ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE、ACFG,EG中点为M,求证：AM⊥BC.

MGFEDABC作业;/平行进口车美规车hnq892dgk大的树，还有历史悠久的古龙王庙，太不可思议了，今后我们可以烧香拜佛了。”马启明一眼望不到树顶，须仰视才可以，剩下的就是马启明发出的感叹声了,它们确实算得上绿溪镇的奇迹和悠久历史的见证了。突然，“叽”的一声，嘹亮的长啸声猛地在白果树尖响起，一只鸟儿如一支利箭直冲云端，留下一道残影，逐渐与发白的天空白云融为一体，不见了踪影。一进入新糖化工段二楼，就看见五只崭新的不锈钢大锅环绕在宽敞明亮的半圆形车间内，北面正中央是半圆形的控制室，操作屏上红绿LED灯闪亮一片，操作工从容地按着这些红绿按钮，和刚才老糖化形成了鲜明地对比，就像一位年轻貌美的漂亮姑娘和一位老掉牙的老太婆一样，不可同日而语。离开了糖化工段，来到发酵工段，马启明看到一排排崭新的不锈钢管道整齐有序地排列在走道两侧，一只只锥形发酵大罐下半部悬空立在水泥圈梁上，通体用银粉刷成银灰色，像整装列队的士兵倒立，马启明觉得他像在检阅仪仗队一样，不由得挺胸抬头。初次进入发酵工段就像进入了迷魂阵一样,分不清东南西北。发酵温度仪表控制室内，两台计算机上正显示着每个发酵罐的温度、压力、发酵周期等控制参数，比起自己原来实习的西安啤酒厂要先进许多。整个车间干净、整洁、凉爽，但有一种让马启明胸口喘不过气来的感觉，好像一个肺不够用的。上到发酵工段二楼，一个个高高的圆柱形大罐整齐地排列成三个方阵。东边则是清酒间，成熟混浊的鲜啤酒在这里经过硅藻土过滤机过滤后，变成了清亮透明的清酒，晶莹剔透金黄耀眼的琼浆就在这里形成了。张钢铁讲道：“最早是用棉饼过滤啤酒，一次过滤量比较少，不足一百吨，而且劳动强度大。前几年改成了硅藻土过滤机，一次过滤量能达到四五百吨，而且啤酒质量有了大幅度提高，特别是外观质量。以前没有浊度计，灌装车间班长只凭眼睛看一下认为可以就灌装了。现在不行了，要用浊度计测量清亮度，如果浊度超过0.4EBC就得复滤，现在过滤好的啤酒从三角瓶里看，能清清楚楚地看到对面的手指指纹。”张钢铁像个讲师一样，口才得到了极大的发挥，给马启明讲