高一数学向量数乘及几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.abaabba+ba-b探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？aaOaaABC－a－a－aOMNPa＋a＋a

（－a）＋（－a）＋（－a）思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？

a＋a＋a记为3a，（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？aaOaaABC－a－a－aOMNP思考4：设a为非零向量，那么a和a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？aaa思考5：一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时,λa与a方向相同；

λ<0时,λa与a方向相反；

λ=0时,λa

=0.思考6：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？ABCDM探究二:向量的数乘运算性质

思考1：你认为－2×（5a），2a＋2b，

a可分别转化为什么运算？-2×

(5a)=-10a

；2a

＋2b=2(a+b)；(3＋)a=3a＋a.思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ)

a，λ(a＋b)分别等于什么？λ(μa)=(λμ)

a

；(λ＋μ)

a=λa

＋μa；λ(a＋

b)=λa＋λb.思考3：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？思考4：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.

若a＝0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？思考7：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？ABPO思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？

λ(xa±yb）=λxa±λyb.理论迁移

例1

计算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.2b3babO例2

如图，已知任意两个非零向量a，b，试作=a＋b，=a＋2b，

=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abABC例3

如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a,b表示向量、、、MABDCab小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：P90练习：3，4，5，6.地暖是地板辐射采暖的简称，英文为RadiantFloorHeating，是以整个地面为散热器，通过地板辐射层中的热媒，均匀加热整个地面，利用地面自身的蓄热和热量向上辐射的规律由下至上进行传导，来达到取暖的目的。水地暖是指把水加热到一定温度，输送到地板下的水管散热网络，通过地板发热而实现采暖目的的一种取暖方式。低温地面热媒在室内形成脚底至头部逐渐递减的温度梯度，从而给人以脚暖头凉的舒适感。地面辐射供暖符合中医“温足顶凉”的健身理论，是目前最舒适的采暖方式，也是现代生活品质的象征。；/郑州地暖jfh95mdg

从热媒介质上分为水地暖和电地暖两大类，从铺装结构上分为湿式地暖和干式地暖两种，干式地暖不需要豆石回填（属于超薄型）；从表面饰材上分为地板型地暖和地板砖型地暖；从功能上分为普通地暖和远红外地暖。道：“这些家仆们是哪里来的？”“是京城壹户人家，得知宝光寺遭难，怕顾不上今年的施粥，就自行做好带来，帮了寺里的大忙了。”“做好了自行带来的？”“是的，王爷。”闻听此言，王爷更是懊悔不已。这些日子太忙，居然忘记了宝光寺的事情，太惭愧了！忙问：“真是有心人，本王自愧不如。请问这是哪户人家？本王要好好感谢壹番才是。”“王爷真是客气了，您是做大事的贵人。不过，老纳也是要说感谢，可是那户人家死活不肯留名，老纳也不好强求，勉为其难不是出家人的本分。不过，那家的丫鬟也来了，现在还在后院歇息。王爷要是……”王爷壹听喜出望外，立即派秦顺儿去打探。秦顺儿回复得跟主持壹样，对方死活不肯留下府名。王府的人出马都被拒绝，他的脸上壹阵红壹阵白的，很是觉得面子上挂不住，秦顺儿这奴才干什么吃的，这么点儿小事儿还办不利落？这让爷的脸往哪儿搁？正待责问之际，忽见壹个丫鬟打扮的女子从眼前走过，这人怎么这么眼熟呢？好像在哪儿见过似的？噢，想起来了，这个人不就是，不就是……情急之下，话到嘴边，可就是说不出来个子丑寅卯！第壹卷第十壹章缘分唉，这不就是上次在寺院救火的时候见过的那个年家的丫头！王爷不知道她叫什么，又急着想拦住她，急得直哎哎。秦顺儿也看到了，自是明白主子的意思，赶快冲上前去。因为他也不知道怎么称呼这个丫环，又着急完成爷的吩咐，只好壹边口中称呼着：“姑娘，这边请，我家爷有话相问。”壹边不由分说，将含烟强行领到了王爷的面前。含烟本就因被壹个小太监强拉硬拽心里很是不满，待走上前来，才发现这位爷竟是前些日子遇见的那个王爷，气儿就更不打壹处来。虽然她知道这位自命不凡的人物就是那个“本王”，但是能把丫鬟气成那个样子，这“本王”在含烟的眼中，绝对是没有多少好感，虽然不像丫鬟那样，气得牙根痒痒。当然了，如果含烟知道这“本王”就是当今圣上的皇四子，和硕雍亲王的话，肯定不至于这么壹脸爱搭不理了。倒不是因为含烟势利，而是不想给丫鬟找麻烦而已。“请问这位王爷大人，这么急急火火地找来小女子有何贵干？”“本王只是想问壹下，今天这个施粥，是你们府上置备的？”“回大人，确实如此。”“为什么？”“