高一数学算术平均数与几何平均数

6.2几何平均数与算术平均数（第二课时）--利用均值不等式求最值引入请同学们帮我女儿解决这样一个难题：上周末，我女儿的数学老师布置了一个家庭作业，用20厘米长的铁丝制作一个矩形，并猜测怎样设计长和宽才能使做出的矩形的面积最大？我女儿做了如下几种情况的矩形

(1)(2)(3)（1）长为8，宽为2（3）长为6，宽为4

于是她就猜想出结果：矩形面积最大值为24

（2）长为7，宽为3

即x+y=10，因面积P=xy,由基本不等式得x+y≥2,即P=xy≤=25（定值）9162125xy

在周长给定后，长x和宽y的和x+y不变(定值)，但长和宽还可以在一定范围内变化，这样面积也在变，面积xy的取值构成一个集合，但集合中每个元素的数值不超过25，且在x=y=5时，即是正方形时面积等于25，所以面积的最大值为25例1、

已知x、y都是正数，(1)如果和x+y是定值S，积xy有最大值那么当x=y时，

(2)如果积xy是定值P，

那么当x=y时，和x+y有最小值2在两个证明中的关键步骤和都出现一端是定值，限定了另一端的变化的范围，这是用不等式求最值的重要依据。求证:例1、

例2、判断正误（1）函数y=x+的最小值为2（2）已知1≤x≤3,2≤y≤4,则当x=y=3时，xy有最大值9（3）函数y=的最小值为2利用均值不等式求最值应注意三点：

ⅰ）条件（或目标）式中各项必须都是正数;

ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）；

ⅲ）等号成立的条件必须存在.

例题1的变式例题3（1）已知m、n都是正数，且2m+n=3，求mn的最大值

（2）若正数x，y满足6x+5y=18，求xy的最大值．目标式练习1、（1）已知y=x(1-x),(0<x<1),求

y的最大值练习2、（1）求函数y=x+值域（2）y=x(1-2x),(0<x<),求y的最大值（2）求函数y=x+值域例题1的变式课堂小结：

利用均值不等式求最值应具备三个条件，简单概括就是三个字：正、定、等正：两项必须都是正数；

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.1．

作业4、5、6、7补充练习1．已知a、b是实数，且a+b=4,求2a+2b的最小值2．求函数y=x+的值域3．已知a、b是正数，且a2+=1，求a的最大值4．y=3x+的最小值5．y=2x,(0<x<1),求y的最大值作业与补充练习;养生hnq913dgk先进技术。有一个日本老板想自己酿造啤酒，但是，德国人对啤酒酿造技术严格保密。日本老板到了德国后想尽了各种方法仍旧无法进到啤酒厂内，实在没办法，他就天天到啤酒厂门口转悠，就发现这个啤酒厂的老板每天乘坐一辆黑色轿车进出工厂大门。有一天，当德国老板的黑色轿车驶过来时，日本老板从工厂门口装成横过马路突然跌倒的样子，故意将自己的一条腿伸到车轮下，结果腿被压断了。当时德国有一条法律，车祸肇事者要坐牢。这位德国老板为了不把车祸声张出去，便将日本老板送进医院抢救，十分抱歉地说：‘很对不起，你客居异乡又伤了腿，今后打算怎么办呢？我该怎样补偿你呢？’这位日本老板从容地说：‘没关系，等我的伤好了之后，你只要让我在你的工厂看大门，我就不追究你的责任了。’就这样，等腿好后他在那家啤酒厂看了三年的大门，偷偷学习了三年的技术，将啤酒的生产流程、工艺配方等一一了解透彻后才回到日本。“三年后，德国啤酒商发现日本人不再购买他的啤酒了，而且他们在东南亚的市场也在逐渐失去。一调查才知道是日本人抢了自己的生意，当这位德国老板到日本拜访他的同行时，才发现抢走他生意的日本老板正是被自己的车压断了腿的‘看门人’。咱们且不谈日本人利用苦肉计窃取啤酒技术机密是否合法，但是他的精神却是值得称道的。”“日本人就是精明。”张钢铁喝了口茶，感叹道。“1970年你们仅凭着一股热情就跑到上海去学习啤酒酿造技术，精神也不比日本人差，甚至还比他强。”马启明借机夸赞道，“70年，文化大革命还没有结束呢，你们一没技术设备，二没经验就办起了啤酒厂，真是了不起，太伟大了！”适当的时候人是不会反感别人的表扬。“我们是小人物，哪里谈得上伟大，当时就是凭着一股子干革命的热情。”“小人物也能做出伟大的事情！”马启明对花开啤酒厂职工有了一个新的认识。“从上海学习啤酒技术以后，最初，几个职工制作了现在看起来世界上独一无二的小型酵母罐，底下大，上面小，就像个大坛子，给酵母罐加上麦汁和酵母，上面用盖子塞紧，结果到第三天时，你猜，怎么着？”马启明疑惑地看着张钢铁，知道后面肯定还有戏剧性的故事，但张钢铁的话却戛然而止。马启明不知道到底发生了什么，往前凑了一下，问：“怎么了？”张钢铁喝了一口水，顿了顿，大笑道：“你肯定想不到，第三天，‘蹦’地一声盖子飞了，原来，大家都不知道发