2024届江苏省南京市天印高级中学高三5月阶段性测试数学试题试卷

2024届江苏省南京市天印高级中学高三5月阶段性测试数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE,BF所成的角为定值2．已知与之间的一组数据：12343.24.87.5若关于的线性回归方程为，则的值为（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.53．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．4．若复数z满足，则（）A． B． C． D．5．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95449．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知全集为，集合，则（）A． B． C． D．11．函数图像可能是（）A． B． C． D．12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设全集，集合，，则集合______.14．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；）15．已知一组数据，1，0，，的方差为10，则________16．若函数为偶函数，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）时，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范围．18．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分频数624（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．21．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.22．（10分）已知数列满足，且，，成等比数列．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，，求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

A．通过线面的垂直关系可证真假；B．根据线面平行可证真假；C．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D．根据列举特殊情况可证真假.【题目详解】A．因为，所以平面，又因为平面，所以，故正确；B．因为，所以，且平面，平面，所以平面，故正确；C．因为为定值，到平面的距离为，所以为定值，故正确；D．当，，取为，如下图所示：因为，所以异面直线所成角为，且，当，，取为，如下图所示：因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：D.【题目点拨】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.2、D【解题分析】

利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.【题目详解】利用表格中数据，可得又，．解得故选：D【题目点拨】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.3、C【解题分析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【题目详解】解：∵,,∴,故选：C.【题目点拨】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.4、D【解题分析】

先化简得再求得解.【题目详解】所以.故选：D【题目点拨】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、A【解题分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【题目点拨】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6、B【解题分析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.【题目详解】因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.故选：B【题目点拨】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.7、D【解题分析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【题目详解】因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，，所以，，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，，所以，故选D.【题目点拨】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.8、C【解题分析】

根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【题目详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【题目点拨】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.9、C【解题分析】

根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【题目详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【题目点拨】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10、D【解题分析】

对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【题目详解】,,.故选:D【题目点拨】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.11、D【解题分析】

先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.【题目详解】,,即函数为偶函数，故排除选项A,C，当正数越来越小，趋近于0时，，所以函数，故排除选项B,故选：D【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.12、B【解题分析】

计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【题目详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.【题目点拨】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.【题目详解】由题可知，集合A中集合B的补集，则故答案为：【题目点拨】本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.14、【解题分析】

根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【题目详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；因为，且由诱导公式可得，所以最短距离为，故答案为：.【题目点拨】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.15、7或【解题分析】

依据方差公式列出方程，解出即可．【题目详解】，1，0，，的平均数为，所以解得或．【题目点拨】本题主要考查方差公式的应用．16、【解题分析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数，将代入表达式即可求解【题目详解】由为偶函数，知其一次项的系数为0，所以，，所以，故答案为：-5【题目点拨】本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

(1)代入可得对分类讨论即可得不等式的解集;(2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于的不等式组解不等式组即可求得的取值范围【题目详解】（1）当时，不等式可化为，①当时，不等式为，解得；②当时，不等式为，无解；③当时，不等式为，解得，综上，原不等式的解集为．（2）因为的解集包含于，则不等式可化为，即．解得，由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.【题目详解】（1）设点，∵点到直线的距离等于，∴，化简得，∴动点的轨迹的方程为.（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，设点，过点的拋物线的切线方程为，联立，化简可得，∴，即，∴，.由，求得导函数，∴，，，∴，因为点满足，由圆的性质可得，∴，即直线斜率的取值范围为.【题目点拨】本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【题目详解】（1）证明：如图,取的中点,连接.又为的中点,则是的中位线.所以且.又且,所以且.所以四边形是平行四边形.所以.因为,为的中点,所以.因为,所以.因为平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为,所以点.则.设平面的法向量为,由,得,令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；设二面角的大小为,则.故二面角的余弦值是.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.20、（1）64，65；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，中位数；（2）设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，由条件概率公式可求出；（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为，“合格”的学生数为6；由题意可得