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文档简介

2024届浙江省慈溪市三山高级中学高考冲刺模拟(四)数学试题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()A. B. C. D.2.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()A. B. C. D.3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l相交4.已知向量,夹角为,,,则()A.2 B.4 C. D.5.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()A.56 B.72 C.88 D.406.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.7.已知菱形的边长为2,,则()A.4 B.6 C. D.8.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势9.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()A. B. C. D.11.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.12.设正项等差数列的前项和为,且满足,则的最小值为A.8 B.16 C.24 D.36二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设为正实数,若则的取值范围是__________.14.甲,乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛,甲队有编号为1,2,3的三名运动员,乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员,若两队各出一名队员进行比赛,则出场的两名运动员编号相同的概率为______.15.边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.16.若复数(是虚数单位),则________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在正四棱锥中,,,为上的四等分点,即.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.(12分)数列满足,是与的等差中项.(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)函数(1)证明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范围.20.(12分)设函数.(1)时,求的单调区间;(2)当时,设的最小值为,若恒成立,求实数t的取值范围.21.(12分)已知数列的通项,数列为等比数列,且,,成等差数列.(1)求数列的通项;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)P是圆上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形;(2)过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

画出函数的图像,函数对称轴方程为,由图可得与关于对称,即得解.【题目详解】函数的图像如图,对称轴方程为,,又,由图可得与关于对称,故选:A【题目点拨】本题考查了正弦型函数的对称性,考查了学生综合分析,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.2、D【解题分析】

列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【题目详解】因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有共37个,满足的整数点有7个,则所求概率为.故选:.【题目点拨】本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.3、D【解题分析】

通过条件判断直线l与平面α相交,于是可以判断ABCD的正误.【题目详解】根据直线l不平行于平面α,且l⊄α可知直线l与平面α相交,于是ABC错误,故选D.【题目点拨】本题主要考查直线与平面的位置关系,直线与直线的位置关系,难度不大.4、A【解题分析】

根据模长计算公式和数量积运算,即可容易求得结果.【题目详解】由于,故选:A.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算,模长的求解,属综合基础题.5、B【解题分析】

,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【题目详解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故选:B.【题目点拨】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道容易题.6、C【解题分析】

根据,两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【题目详解】因为平面向量,满足,且,所以,所以,所以,所以,所以与的夹角为.故选:C【题目点拨】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.7、B【解题分析】

根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【题目详解】如图所示,菱形形的边长为2,,∴,∴,∴,且,∴,故选B.【题目点拨】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..8、D【解题分析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.【题目详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【题目点拨】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.9、C【解题分析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【题目详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【题目点拨】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10、C【解题分析】

如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,,,根据勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,,故,在中,,故,故,,根据勾股定理:,解得.故选:.【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11、D【解题分析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【题目详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12、B【解题分析】

方法一:由题意得,根据等差数列的性质,得成等差数列,设,则,,则,当且仅当时等号成立,从而的最小值为16,故选B.方法二:设正项等差数列的公差为d,由等差数列的前项和公式及,化简可得,即,则,当且仅当,即时等号成立,从而的最小值为16,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

根据,可得,进而,有,而,令,得到,再用导数法求解,【题目详解】因为,所以,所以,所以,所以,令,,所以,当时,,当时,所以当时,取得最大值,又,所以取值范围是,故答案为:【题目点拨】本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值,还考查了运算求解的能力,属于难题,14、【解题分析】

出场运动员编号相同的事件显然有3种,计算出总的基本事件数,由古典概型概率计算公式求得答案.【题目详解】甲队有编号为1,2,3的三名运动员,乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员,出场的两名运动员编号相同的事件数为3,出现的基本事件总数,则出场的两名运动员编号相同的概率为.故答案为:【题目点拨】本题考查求古典概率的概率问题,属于基础题.15、【解题分析】

取基向量,,然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将,表示为基向量后再相乘可得.【题目详解】如图:设,又,且存在实数使得,,,,,,故答案为:.【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题.16、【解题分析】

直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.【题目详解】,.【题目点拨】本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析.(2)【解题分析】

(1)根据题意可得,在中,利用余弦定理可得,然后同理可得,利用面面垂直的判定定理即可求解.(2)以为原点建立直角坐标系,求出面的法向量为,的法向量为,利用空间向量的数量积即可求解.【题目详解】(1)由由因为是正四棱锥,故于是,由余弦定理,在中,设再用余弦定理,在中,∴是直角,同理,而在平面上,∴平面平面(2)以为原点建立直角坐标系,如图:则设面的法向量为,的法向量为则,取于是,二面角的余弦值为:【题目点拨】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角,属于基础题.18、(1)见解析,(2)【解题分析】

(1)根据等差中项的定义得,然后构造新等比数列,写出的通项即可求(2)根据(1)的结果,分组求和即可【题目详解】解:(1)由已知可得,即,可化为,故数列是以为首项,2为公比的等比数列.即有,所以.(2)由(1)知,数列的通项为:,故.【题目点拨】考查等差中项的定义和分组求和的方法;中档题.19、(1)证明见详解;(2)或或【解题分析】

(1)(2)首先用基本不等式得到,然后解出不等式即可【题目详解】(1)因为所以(2)当时所以当且仅当即时等号成立因为存在,且,使得成立所以所以或解得:或或【题目点拨】1.要熟练掌握绝对值的三角不等式,即2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.20、(1)的增区间为,减区间为;(2).【解题分析】

(1)求出函数的导数,由于参数的范围对导数的符号有影响,对参数分类,再研究函数的单调区间;(2)由(1)的结论,求出的表达式,由于恒成立,故求出的最大值,即得实数的取值范围的左端点.【题目详解】解:(1)解:,当时,,解得的增区间为,解得的减区间为.(2)解:若,由得,由得,所以函数的减区间为,增区间为;,因为,所以,,令,则恒成立,由于,当时,,故函数在上是减函数,所以成立;当时,若则,故函数在上是增函数,即对时,,与题意不符;综上,为所求.【题目点拨】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性,由最值的定义得出函数的最值,本题中第一小题是求出函数的单调区间,第二小题是一个求函数的最值的问题,此类题运算量较大,转化灵活,解题时极易因为变形与运算出错,故做题时要认真仔细.21、(1);(2).【解题分析】

(1)根据,,成等差数列以及为等比数列,通过直接对进行赋值计算出的首项和公比,即可求解出的通项公式;(2)的通项公式符合等差乘以等比的形式,采用错位相减法进行求和.【题目详解】(1)数列为等比数列,且,,成等差数列.设数列的公比为,,,解得(2),,,,.【题目点拨】本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用,难度一般.判断是否适合使用错位相减法,可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.22、(1)点M的轨迹C的方程为,轨迹C是以,为焦点,长轴长为4的椭圆(2)【解题分析】

(1)设,根据可求得,代入圆的方程可得所求轨迹方程;根据轨迹方程可知轨迹是以

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