专题10.3 二项式定理（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第十章概率专题10.3二项式定理能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考点一通项公式的应用考点二二项式系数与项的系数问题考点三二项式定理的综合应用1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用结论1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).题型一通项公式的应用1．的展开式中不含项，则实数a的值为（

）A． B． C． D．2．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项3．二项式的展开式为（

）A． B．C． D．4．二项式的展开式的第3项为（

）A． B． C． D．5．已知的二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（

）A．1120 B． C．70 D．题型二二项式系数与项的系数问题6．设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（

）A． B． C． D．7．已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（

）A．81 B．64 C．27 D．328．已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（

）A．270 B． C．330 D．9．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（

）A．1 B． C．0 D．3210．若的二项式系数之和为，则展开式中含的项是（）A． B． C． D．题型三二项式定理的综合应用11．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）A．B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．记第n行的第个数为，则D．第20行中第8个数与第9个数之比为12．设，则被除的余数是（

）A．5 B．6 C．7 D．813．已知，则下列描述正确的是

（

）A． B．除以5所得的余数是1C． D．14．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为（

）15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026一、单选题1．二项式的展开式中，含项的系数是（

）A． B．462 C．792 D．2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（

）A． B． C． D．3．在的展开式中，含项的系数为（

）A． B．20 C． D．154．若的展开式中的系数为40，则（

）A．2 B． C．4 D．5．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（

）A．6 B．8 C．28 D．566．在的展开式中，所有有理项的系数之和为（

）A．84 B．85 C．127 D．1287．的展开式中，的系数为（

）A．200 B．40 C．120 D．808．若，则下列计算错误的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项10．已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．设，则.12．的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数之和为.四、解答题13．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).14．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出_____．(2)的展开式中项的系数是_____．(3)利用上述规律求的值，写出过程．15．在二项式的展开式中，________________．给出下列条件：①所有项的二项式系数的和为64；②若展开式中第2项系数为12试在上面二个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：(1)求展开式的常数项；(2)求的展开式中的系数．16．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．中国共产党第二十次全国代表大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标