2024届河南省八市学评第五次月考高三数学试题

2024届河南省八市学评第五次月考高三数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．2．已知，，由程序框图输出的为（）A．1 B．0 C． D．3．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（）A． B．C． D．4．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A． B．C． D．5．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（）．A． B． C． D．7．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95449．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A． B． C． D．10．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了11．设为非零实数，且，则（）A． B． C． D．12．已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A．内切 B．相交 C．外切 D．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.14．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.15．已知平面向量与的夹角为，，，则________.16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.18．（12分）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的值；（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．19．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．20．（12分）[选修4-5：不等式选讲]设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.21．（12分）如图，已知，分别是正方形边，的中点，与交于点，，都垂直于平面，且，，是线段上一动点.（1）当平面，求的值；（2）当是中点时，求四面体的体积.22．（10分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【题目详解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系，本题是一道中档题.2、D【解题分析】试题分析：，，所以，所以由程序框图输出的为.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．3、B【解题分析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.【题目详解】为定义在上的奇函数，.当时，，，为奇函数，，由得：或；综上所述：若，则的解集为.故选：.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.4、B【解题分析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【题目详解】如图，，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，，；在中，，；在中，，，.故选：B【题目点拨】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.5、B【解题分析】

画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【题目详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【题目点拨】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.6、C【解题分析】

由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．【题目详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间，上单调递增，在区间，上，，，则当最大时，，求得，故选：C．【题目点拨】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．7、B【解题分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【题目详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.8、C【解题分析】

根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【题目详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【题目点拨】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.9、D【解题分析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【题目详解】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.【题目点拨】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.10、C【解题分析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【题目详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【题目点拨】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.11、C【解题分析】

取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【题目详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【题目点拨】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.12、B【解题分析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据图象利用，先求出的值，结合求出，然后利用周期公式进行求解即可．【题目详解】解：由，得，，，则，，，即，则函数的最小正周期，故答案为：8【题目点拨】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．14、【解题分析】

先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.【题目详解】剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.【题目点拨】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.15、【解题分析】

根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.【题目详解】由可得，则，所以.故答案为:【题目点拨】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.16、【解题分析】

根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【题目详解】设F（x），则F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解为故答案为：【题目点拨】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解题分析】

(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【题目详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.【题目点拨】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）求出导数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值即可求解；（2）分别设切点横坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【题目详解】（1），函数在上单调递增等价于在上恒成立．令，得，所以在单调递减，在单调递增，则．因为，则在上恒成立等价于在上恒成立；又，所以，即．（2）设的切点横坐标为，则切线方程为……①设的切点横坐标为，则，切线方程为……②若存在，使①②成为同一条直线，则曲线与存在公切线，由①②得消去得即令，则所以，函数在区间上单调递增，，使得时总有又时，在上总有解综上，函数与总存在公切线．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.19、(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解题分析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．【题目详解】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为；；；所以随机变量的分布列为：所以的期望【题目点拨】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．20、(1)(2)【解题分析】

（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a即可.【题目详解】（1）不等式，即等价于或或解得，所以原不等式的解集为；（2）当时，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．【题目点拨】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.21、（1）.（2）【解题分析】

（1）利用线面垂直的性质得出，进而得出，利用相似三角形的性质，得出，从而得出的值；（2）利用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出四面体的体积，计算出，，即可得出四面体的体积.【题目详解】（1）因为平面，平面，所以又因为，都垂直于平面，所以又，分别是正方形边，的中点，且，所以.（2）因为，分别是正方形边，的中点，所以又因为，都垂直于平面，平面，所以因为平面，所以平面所以，四面体的体积，所以.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.22、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点