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文档简介

2024届河南省九师联盟高三下学期第四次模拟考试数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.122.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.3.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.充分不必要条件4.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.5.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为()A. B. C. D.7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为() A.45 B.60 C.75 D.1008.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.9.设,则复数的模等于()A. B. C. D.10.已知为等腰直角三角形,,,为所在平面内一点,且,则()A. B. C. D.11.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为,则()A., B.,C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y14.函数过定点________.15.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.16.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围有___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.18.(12分)已知函数f(x)=x(1)讨论fx(2)当x≥-1时,fx+a19.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面积的最大值.20.(12分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以交通业为例,当天气太冷时,不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位:℃)与网上预约出租车订单数(单位:份);日平均气温(℃)642网上预约订单数100135150185210(1)经数据分析,一天内平均气温与该出租车公司网约订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数;(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于,若把这5天的预测数据当成真实的数据,根据表格数据,则从这5天中任意选取2天,求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:21.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数,使得,证明:.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【题目详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【题目点拨】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的知识,是一道容易题.2、C【解题分析】

作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【题目详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【题目点拨】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.3、D【解题分析】

充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案.【题目详解】充分性:若存在正数,使得,则,,得证;必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立;所以是充分不必要条件故选:D【题目点拨】本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题.4、B【解题分析】

试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.5、B【解题分析】

化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【题目详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【题目点拨】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.6、A【解题分析】

设出A,B的坐标,利用导数求出过A,B的切线的斜率,结合,可得x1x2=﹣1.再写出OA,OB所在直线的斜率,作积得答案.【题目详解】解:设A(),B(),由抛物线C:x2=1y,得,则y′.∴,,由,可得,即x1x2=﹣1.又,,∴.故选:A.点睛:(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质,考查直线和抛物线的位置关系,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路,由于与切线有关,所以一般先设切点,先设A,B,,再求切线PA,PB方程,求点P坐标,再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标,计算量就大一些.7、B【解题分析】

根据程序框图中程序的功能,可以列方程计算.【题目详解】由题意,.故选:B.【题目点拨】本题考查程序框图,读懂程序的功能是解题关键.8、C【解题分析】

设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【题目详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【题目点拨】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.9、C【解题分析】

利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【题目详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【题目点拨】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.10、D【解题分析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系,结合向量的坐标运算,可求得点的坐标,进而求得,由平面向量的数量积可得答案.【题目详解】如图建系,则,,,由,易得,则.故选:D【题目点拨】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.11、B【解题分析】

令,则,由图象分析可知在上有两个不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解决.【题目详解】令,则,如图与顶多只有3个不同交点,要使关于的方程有六个不相等的实数根,则有两个不同的根,设由根的分布可知,,解得.故选:B.【题目点拨】本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中档题.12、B【解题分析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【题目详解】可能的取值为;可能的取值为,,,,故,.,,故,,故,.故选B.【题目点拨】离散型随机变量的分布列的计算,应先确定随机变量所有可能的取值,再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率,然后利用公式计算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解题分析】

直接利用柯西不等式得到答案.【题目详解】根据柯西不等式:2x-y2+4y当2x-y=2y,即x=328故答案为:2.【题目点拨】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.14、【解题分析】

令,,与参数无关,即可得到定点.【题目详解】由指数函数的性质,可得,函数值与参数无关,所有过定点.故答案为:【题目点拨】此题考查函数的定点问题,关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关,熟记常见函数的定点可以节省解题时间.15、【解题分析】

设正四面体的棱长为,求出底面外接圆的半径与高,代入体积公式求解.【题目详解】解:设正四面体的棱长为,则底面积为,底面外接圆的半径为,高为.∴正四面体的体积,圆柱的体积.则.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法,考查计算能力,属于中档题.16、或【解题分析】

函数的零点方程的根,求出方程的两根为,,从而可得或,即或.【题目详解】函数在区间的零点方程在区间的根,所以,解得:,,因为函数在区间上有且仅有一个零点,所以或,即或.【题目点拨】本题考查函数的零点与方程根的关系,在求含绝对值方程时,要注意对绝对值内数的正负进行讨论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)当G点横坐标为整数时,S不是整数.【解题分析】

(1)先求解导数,得出切线方程,联立方程得出交点G的轨迹方程;(2)先求解弦长,再分别求解点到直线的距离,表示出四边形的面积,结合点G的横坐标为整数进行判断.【题目详解】(1)设,则,抛物线C的方程可化为,则,所以曲线C在点A处的切线方程为,在点B处的切线方程为,因为两切线均过点G,所以,所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,即,将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,所以,,解得,因为直线AB的斜率,所以,且,线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:,所以E点坐标为(0,),直线AB的方程整理得,则G到AB的距离,则E到AB的距离,所以,设,因为p是质数,且为整数,所以或,当时,,是无理数,不符题意,当时,,因为当时,,即是无理数,所以不符题意,当时,是无理数,不符题意,综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.【题目点拨】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线中的切线问题通常借助导数来求解,四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题,表示出面积的表达式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.18、(1)见解析;(2)-∞,1【解题分析】

(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论,即可得出单调性.

(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,当x=-1时,0≤-1e+1恒成立.当x>-1时,a≤xe【题目详解】解法一:(1)f①当a≤0时,x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)单调递增.②当a>0时,f'(x)=0的根为x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上单调递增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上单调递增,在综上:当a≤0时,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增;当0<a<1e时,f(x)在(-∞,lna),自a=1e时,f(x)在当a>1e时,f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因为xex-ax-a+1≥0当x=-1时,0≤-1当x>-1时,a≤x令g(x)=xex设h(x)=e因为h'(x)=e即hx=e又因为h0=0,所以g(x)=xex则g(x)min=g(0)=1综上,a的取值范围为-∞,1.解法二:(1)同解法一;(2)令g(x)=f(x)+a所以g'当a≤0时,g'(x)≥0,则g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1当0<a≤1时,令h(x)=e因为h'(x)=2ex+x又因为h-1=-a<0,所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘极小值↗g==-e当a>1时,g(0)=-a+1<0,不满足题意.综上,a的取值范围为-∞,1.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.19、(1)(2)【解题分析】

(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面积的最大值.【题目详解】(1),,所以,所以,,,,.(2)由余弦定理得.,,当且仅当时取等,.所以的面积的最大值为.【题目点拨】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易.20、(1),232;(2)【解题分析】

(1)根据公式代入求解;(2)先列出基本事件空间,再列出要求的事件,最后求概率即可.【题目详解】解:(1)由表格可求出代入公式求出,所以,所以当时,.所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.(2)记这5天中气温不高于的三天分别为,另外两天分别记为,则在这5天中任意选取2天有,共10个基本事件,其中恰有1天网约订单数不低于210份的有,共6个基本事件,所以所求概率,即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为.【题目点拨】考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法,中档题.21、(1)当时,在上递增,在上递减;当时,在上递增,在上递减,在上递增;当时,在上递增;当时,在上递增,在上递减,

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