2022年高考数学大复习小题课时练04 命题的形式及等价关系（解析版）

课时04命题的形式及等价关系

(基础题)

一、单选题

1.(2020・上海高三专题练习)下面是关于公差d>Q的等差数列｛♦,｝的四个命题

月：数列｛4｝是递增数歹U；：数列卜町,｝是递增数列；

P3：数列是递增数列；0：数列｛见+3M｝是递增数列；

其中的真命题为

A.〃|，〃2B.〃3，。4C.〃2，P3D.PT，PA

【答案】D

【详解】设。产l)d=d〃+(oi—d).递增,pi真.

On+3/7d=4dr)+(oi—d)递增，P4为真命题.

若｛为｝的首项01=-3d=l,则Qn=〃一4,

2

此时nan=n—4n不单调,则P2为假命题.

若等差数列｛斯｝满足。〃=n,则2=1为常数，P3错.因此Pl,P4正确；P2,P3错误.

n

2.(2018•上海市青浦高级中学高三月考)设集合A=｛(x,y)|x-yNl,or+y>4,x-ay42｝,贝IJ

A.对任意实数a,(2,1)eA

B.对任意实数a,(2,1)任A

C.当且仅当a<0时，(2,1)任A

3

D.当且仅当“<一时，(2,1)走A

2

【答案】D

【详解】分析：求出(2,l)w4及(2,l)eA所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

33

详解：若(2,l)eA,则a>—且即若(2,l)eA,则a〉一，

22

3

此命题的逆否命题为：若a<—,则有(2,1)£A,故选D.

2

点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的•种非常

有效的方法，根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设4=｛刈〃。)｝,3=｛刈式》)｝,若

AcB,则P=Q；若A=8，则。=4，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

二、填空题

3.（2019•上海高三一模）写出命题"若&m2Vbm2,则a<。"的逆命题.

【答案】"若a<b,则am2<bnr"

【分析】直接写出逆命题即可.

［详解］“若am2<bm2,则a<人的逆命题是"若a<b，则am2<bm2"，

故答案为："若a<b>则am2<hm2"■

【点睛】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题.

4.（2018•上海交大附中高三开学考试）命题："若a/,。成等比数列，则〃=ac"及其逆命题、否命题、

逆否命题中正确的个数是.

【答案】2

【分析】先判断原命题的真假性，由此判断逆否命题的真假性，写出原命题的逆命题，由此判断逆命题和

否命题的真假性.

【详解】根据等比中项的性质可知，原命题为真命题，故逆否命题也是真命题.原命题的逆命题为"若"=ac，

则a,ac成等比数列"，当。二人二0二。时，满足从=ac，但是”,仇c不成等比数列，故逆命题为假命题,

所以否命题为假命题.综上所述，正确的个数为2.

【点睛】本小题主要考查四种命题及其真假性判断，考查等比中项的性质，考查等比数列的概念，属于基

础题.

5.（2018•上海市七宝中学高三期中）命题"若实数a、〃满足a+8V5,则aV2或〃W3”是命题

（填"真"或"假"）

【答案】真

【分析】先考虑其逆否命题"a>2且b>3则a+b>5"的真假，即得原命题的真假.

【详解】由题得原命题的逆否命题为"a>2且b>3则a+b>5",由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真

命题，所以原命题是真命题.故答案为：真

【点睛】（］）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌

握水平和分析推理能力.（2）互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆

命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般

可以判断它的逆否命题的真假性.

技能专题练J

（能力题）

一、单选题

1.（2020・上海师大附中高三期中）下列命题中，正确命题的个数是（）

①丁二行以由工的反函数是y二立小；

@y=co5X,》6[—4,0]的反函数是丁=一。小。。.沅，xe[-l,l]:

（3）y^tanx,%€（_'，0）的反函数是＞=。*口玄，xe（-oo,x/3）；

④已知函数wc3?（x—l）|,若存在X1,x2G[«,/＞],且再＜々，使/（%）-/（七）成立，则。＜1・

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】直接利用函数的性质和反函数的应用判定①②③④的结论.

【详解】解：①尸诋挪（-啜k1）的反函数是尸sinx（-|融乡，故①错误；

（2）y=cosx,x€[-万，0]的反函数是＞=-arccosx,xe[-l,1],故②正确；

③卜=tanx,xe（W则函数＞的值域为yey,拘，所以函数的反函数是丁=arctanx,》€（-«）,我，

故③正确；

④已知函数/（x）=|arctan（x—1）|的图象可由y=|arctanx|的图象向右平移1个单位得到的，所以函数在

（TO,1]匕单调递减，函数在[1,+00）上单调递增，若存在演，々日“，勿，且西＜々，使/（7）-/（占）成

立，所以”,1,故④错误.

故选：C.

2.（2020・上海高三专题练习）给出以下四个命题：（1）若£_3x+2=0，则x=1或x=2；（2）若一2Mx＜3,

则（x-2）（x-3）,,0；（3）若x=y=O,则/+;/=0；（4）若x,yeN\x+y是奇数，则x,y中

一个是奇数，一个是偶数，则（）.

A.（1）的逆命题为真B.（2）的否命题为真

C.（3）的逆否命题为假D.（4）的逆命题为假

【答案】A

【分析】对A,B,D选项，先写出对应命题，再判断真假，对C选项，先判断（3）的真假，再利用互逆命

题的真假关系，得出结论.

【详解】（1）的逆命题为：若X=1或X=2,则3x+2=0,为真命题，故A选项正确；

（2）的否命题为：若》<-2或工.3,则（x—2）（x—3）>0,为假命题，故B选项错误；

（3）为真命题，则其逆否命题为真命题，故C选项错误；

（4）的逆命题为：若x,y中一个是奇数，一个是偶数，则x,ywN*,x+N是奇数，是真命题，故D选

项错误.

故选：A.

【点睛】本题综合考查了四种命题以及命题真假的判断，难度不大.在判断命题真假时，利用"互为逆否的命

题真假性相同"这一性质，进行真假判断是比较常用的方法.

3.（2020・上海高三专题练习）设z”Z2为复数，则下列命题中一定成立的是（）

A.如果Z1一22>0,那么Z|>Z2B.如果|司=%],那么Z1=±z?

C.如果刍■>1,那么团>同D.如果z；+z；=0,那么ZI=z2=0

z?

【答案】c

【分析】根据复数定义，逐项判断，即可求得答案.

【详解】对于A,取Z]=3+i,Z2=1+i时,Z2>0,即3+i>1+i,但虚数不能比较大小，澈A错误;

对于B,由可得=02+42,不能得到4=±Z2,故B错误；

对于C,因为五〉1,所以闻>同，故C正确；

对于D,取Z|=1,Z2-i,满足Z；+Zj=0，但是ZI¥Z2X0,故D错误.

故选:C.

【点睛】本题解题关键是掌握复数定义，在判断时可采用特殊值法检验，考查了分析能力,属于基础题.

二、填空题

4.（2019•上海市行知中学高三月考）命题"如果X>2且y>2,那么x+y>4"的否命题是命题

（填真或假）

【答案】假

【分析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可.

【详解】"如果x>2且y>2,那么x+y>4"的逆命题是："如果x+y>4那么x>2且>>2”是假命题，例如

x=4,y=l,又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题

故答案为假

【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题.

5.(2020•上海市建平中学高三月考)设常数aeR,命题"存在xeR,使尤2+办一4aW0"为假命题，

则a的取值范围为.

【答案】(-16,0)

【分析】将条件转化为任意xeR,丁+融―4a>0恒成立，此时有/<0,从而解出实数。的取值范围.

【详解】命题："存在xeR,使Y+办—4。40"为假命题，

即犬+5—4a>0恒成立，必须/<0,

即：cr+16a<0>解得-16<a<0，

故实数a的取值范围为(-16,0),

故答案为：(-16,0).

【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.

6.(2019•上海市大同中学高三月考)在实数集R中，我们定义的大小关系">"为全体实数排了一个"序类

似的，我们在平面向量集。={〃|汗=(%,力％6/06/?}上也可以定义一个称"序"的关系，记为"演却定

义如下：对于任意两个向量［=(x「y|),用'=62/)，"当且仅当"X>々"或"为=々且X>为”•按

上述定义的关系"淘油"，给出如下四个命题：

①若5=(1,0)2=(0,1),0=(0,0),则家>>£>>0；

②若4>>a2M2»%，则4»。3；

③若q»的,则对于任意Me+〃》见+万；

④对于任意向量力>>0,0=(0,0),若qA〉外,则万•4.

其中真命题的序号为

【答案】①②③

—••••••.*--*—

试题分析：①因为1>0,所以，%»e2，»e3.e2»e3>所以有：»e2»0.①为真命题;

②设：%=（玉，％）,。2=（乙,%），％=（退，％）,

由I»Z得“%>%"或"％=々且y>y2"

由Z»%得"々>工3"或"x2=七且%>为”

若%>々>工3，则定义可知]»Z

若X]>工2且"工2=%3且%>%”，则司>七，所以，Z»2

若玉且X>%且Z>七，则玉>七所以，]»Z

若"X]=%且x>%"且"电=七且%>为”则，玉=当且乂>M，所以，I»%

综上所述：若q»4,4»/，则q»6正确；

③设：q=（%，％）,。2=（巧，％）方=（羽田，则+，=（%+x，X+y），4+万=（工2+工，％+）'）

由I»Z得："%>工2"或”玉=%2且*>%”

右"‘%>W,则X]+%>£+x，所以，q+a»ci~2+a

若X]=工2且X>%，则“仆嚣=•强小砥且购鲁解:咒典升理，从而有4+日》。2+日

综上所述，若4»。,，则对于任意彳+万》o,+M；命题③正确；

④设：=（xl,yl）,a2=（x2,y2）,a=（x,y）,

由1〉>0得“x>0"或"x=0且y〉0”

由4"»%得："X]>々"或"飞=々且X>y2"

若x=o且"y>。"，同时，玉且x<必贝『'玉》=工2%且xv<%y"，所以展1>无%不成立

所以，④不正确；

综上可知，只有①②③正确，所以答案应填：①②③.

考点：1、新定义；2、命题真假性的判断.

3

核心素养练

维J

（真题/新题）

一、单选题

1.（2021•上海市实验学校高三开学考试）已知集合肌夕都是非空集合，若命题中的元素都是产中的

元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（）

A.McP=@B.〃中至多有一个元素不属于产

C.尸中有不属于材的元素D.材中有不属于尸的元素

【答案】D

【分析】命题”中的元素都是〃中的元素”是假命题，则命题的否定是真命题，即可得出结论.

【详解】因为命题“秋中的元素都是户中的元素”是假命题，

则命题的否定％在“中的元素，不是尸中的元素”是真命题，

即"中有不属于〃的元素.

故选D

【点睛】本题主要考查了命题与命题的否定，命题真假的判断，属于中档题.

2.（2021•上海交大附中高三其他模拟）关于x的方程/+办+8=0,有下列四个命题：甲：x=l是该

方程的根；乙：X=3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2;丁：该方程两根异号.如果只有一个假命

题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程％2+必+。=0的两根，进而

可得出结论.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程£+℃+/,=0的一根为3,

由于两根之和为2,则该方程的另•根为-1，两根异号，合乎题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则X=1是方程=。的一根，

由于两根之和为2,则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于大的方程/+奴+6=0的两根为1和3,两根同号，不合乎题

意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于%的方程/+以+6=0的两根为1和3,

两根之和为4,不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分

类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

二、填空题

3.（2021•贵州毕节市•高三三模（文））命题“若sina=sin〃，则a=£”的否命题为命题.（填

“真”或"假”）

【答案】真

【分析】根据否命题的定义写出否命题，再判断真假.

【详解】命题“若sina=sin耳，则尸”的否命题为“若sinawsin△，则a。夕”，这是真命题，

因此它等价的命题“若a=B，则sina=sin£”是真命题.

故答案为：真.

4.（2021•福建高三三模）能够说明“若幺>@,a<0,则%>了”是假命题的一组整数x,>的值依次

%y

为.

【答案】一1,1（答案不唯一）

aa11

【分析】若一>一，a<0,可得一<一，分X，>同号和异号讨论即可求得答案.

尤yxy

aa11

【详解】解：当一>一，a<0,可得一〈一，

xyxy

①当x,y同号时，可得x>y,

②当x,y异号时，y>O>x.

故取整数％,y满足y>o>x即可.

故答案为：一1,1.

5.（2021•四川成都市•川大附中高三二模）给出以下命题：

（1）已知回归直线方程为亨=1.2x+3样本点的中心为（4,5）,贝觞=0.2；

（2）已知p：7B<0，qi与坂的夹角为钝角，则。是夕的充要条件；

(3)函数/(x)=sin(2尤+图象关于点(二,0)对称且在(―二，2)上单调递增；

612126

(4)命题“存在/?,x2-x>0”的否定是“对于任意7?,x2-x<0”；

2%>m

(5)设函数/(x)=42,；，若函数y=/(x)-X恰有三个零点，则实数0的取值范围为

x+4x+2,x<m

(-1,2).

其中不无硕的命题序号为.

【答案】(2)(4)(5)

【分析】根据线性回归直线的性质、充分必要条件的定义、正弦型函数的性质、命题的否定、函数的零点

等知识对各个命题进行判断.

【详解】(1)根据回归直线恒过样本的中心点，可得6=0.2,故正确；

(2)由H=|£|.|B|COS6<0有8S6<0，£与5的夹角为钝角或平角，所以根据充要条件的定义可判

断错误.故错误；

⑶把“=笆代入函数/(x)=sin(2x+J)=0,函数值为0,所以函数了。)关于(学,0)对称，由

12612

~rj]r~iyz-jL'ji

2kn--<2xd——<227rH——,kGZ，可得攵"----<x〈k"——,kGZ所以函数在

26236

(br—工，攵»+^),ZeZ上是递增的.所以函数在(-2,乡)上是递增的.故正确；

36126

(4)命题“存在xwR,工2一%>0，，的否定是“对于任意X£R,%2一%«0”故错误；

2—xx>加

(5)构造函数g(x)=12\,要使函数y=/(x)-x恰有三个零点，必须使函数y=2-x有

x+3x+2,x<m

零点，并且函数y=/+3x+2有两个零点，而函数y=x?+3x+2在R上的两个零点为一1和一2,从而

得到一1W加<2,故是错误的.

故答案为：(2)(4)(5).

【点睛】本题考查命题的真假判断，要求较高，需对所有命题进行判断，必须掌握对应的知识与方法，本

题属于中档题.

6.(2021•全国高三专题练习(文))给出以下四个命题：

①设a,b,c是空间中的三条直线,若a，>人，c,则a〃c.

S3

②在面积为S的A/LBC的边AB上任取一点P，则APBC的面积大于-的概率为一.

44

③已知一个回归直线方程为丁=1.5工+45(为6{1,5,7,13,19}7=1,2,...,5),则7=585

④数列{《,}为等差数列的充要条件