北京市重点中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷（含答案）

-2024学年北京重点中学高二上期末数学模拟试卷一．选择题（共10小题）1．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A． B．1 C．2 D．32．已知圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝4，点P为直线x＝1上任意一点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为点A，B，则|AB|的最小值为（）A． B． C． D．33．已知单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1 B．q＜0 C．q＞1 D．0＜q＜14．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A． B． C． D．6．圆x2﹣2x+y2+4y+2＝0到直线的距离为1的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个7．已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的顶角的正切值为（）A．2 B．3 C． D．9．已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2＝2外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A． B． C． D．10．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m．使得Sn＝am，下列正确命题的个数是（）①{an}可能为等差数列；②{an}可能为等比数列；③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，m≥1，使得an＝Sm．A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共5小题）11．在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革．某校高一、高二和高三学生人数如图所示．采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为．12．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知过坐标原点O的平面α的一个法向量是＝（0，0，﹣1），点P（3，﹣4，5）到平面α的距离为．13．能说明“若m（n+2）≠0，则方程+＝1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是．14．已知抛物线C的焦点为F，点A，B在C上，满足+＝，且•＝﹣16，点P是抛物线的准线上任意一点，则△PAB的面积为．15．下列关于曲线的说法，正确的有．①曲线C关于x轴对称；②曲线C关于原点都对称；③曲线C所围成的封闭图形的面积大于16；①曲线C所围成的封闭图形内部（含边界）的整点（横纵坐标均为整数的点）个数是17．三．解答题（共6小题）16．从①前n项和，②an＝an+1﹣3，③a6＝11且2an+1＝an+an+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{an}中，a1＝1，______，其中n∈N*．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1，an，am成等比数列，其中m，n∈N*，且m＞n＞1，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．已知点P（5，0）和圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0．（Ⅰ）写出圆C的标准方程，并指出圆心C的坐标和半径；（Ⅱ）设Q为C上的点，求|PQ|的取值范围．18．某单位工会有500位会员，利用“健步行APP”开展全员参与的“健步走奖励”活动．假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步）1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.91.41.21.51.60.91.21.20.50.81.01.40.61.01.10.60.80.90.81.10.40.81.41.61.21.00.61.51.60.90.71.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4频率分布表：分组频数频率[0.2，0.4）20.04[0.4，0.6）a0.06[0.6，0.8）50.10[0.8，1.0）110.22[1.0，1.2）80.16[1.2，1.4）70.14[1.4，1.6]bc合计501.00（Ⅰ）写出a，b，c的值；（Ⅱ）（i）绘制频率分布直方图；（ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值；（Ⅲ）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数．你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少30%的工会会员当日走步获得奖励吗？说明理由．19．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点，O为BE的中点．将△ABE沿BE折起到A'BE，使得平面A'BE⊥平面BCDE（如图2）（Ⅰ）求证：A'O⊥CD；（Ⅱ）求直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A'C上是否存在点P，使得OP∥平面A'DE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点P（t，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M？21．在各项均不为零的数列{an}中，选取第k1项、第k2项、…、第km项，其中m≥3，k1＜k2＜⋯＜km，若新数列为等比数列，则称新数列为{an}的一个长度为m的“等比子列”．已知等差数列{an}，其各项与公差d均不为零．（1）若在数列{an}中，公差d＝2，n≤4，且存在项数为3的“等比子列”，求数列{an}的通项公式；（2）若，数列为{an}的一个长度为n的“等比子列”，其中k1＝1，公比为q．当q最小时，求kn的通项公式；（3）若公比为q的等比数列{bn}，满足a1＝b1，a2＝b2，b3＝ai（i≥3，i∈N*），证明：数列{bn}为数列{an}的“等比子列”．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【答案】D【解答】解：抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离是p＝3，故选：D．2．【答案】B【解答】解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝4，其圆心C（﹣2，1），半径r＝2，过点P引圆C的两条切线，切点分别为点A，B，如图：在△PAC中，有S△PAC＝×|CA|×|AP|＝××|CP|，即|AP|＝×|CP|，变形可得|AB|＝，设|CP|＝x，则|AB|＝＝4，当|CP|的值即x最小时，的值最大，此时|AB|取得最小值，而|PC|的最小值为C到直线x＝1的距离，即|PC|min＝3，故|AB|min＝4×＝，故选：B．3．【答案】D【解答】解：单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是0＜q＜1．故选：D．4．【答案】B【解答】解：设l是直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l与β平行或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D正确．故选：B．5．【答案】B【解答】解：设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Bc，Ca），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），共6个，田忌获胜包含的基本事件有：（Ac，Ba，Cb），只有1个，∴田忌获胜的概率为p＝．故选：B．6．【答案】B【解答】解：化x2﹣2x+y2+4y+2＝0为（x﹣1）2+（y+2）2＝3，得圆心坐标为（1，﹣2），半径为，∵圆心到直线的距离d＝＝＞，说明直线与圆相离，∵﹣∈（0，1），圆上有2个点到直线l的距离为1．故选：B．7．【答案】B【解答】解：∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t,①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，②当{an}和{Sn}都有最小项，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t),Sn＝na1+t＝n2+(a1﹣)n,则或t＞0,∴t≥0,∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，故选：B．8．【答案】A【解答】解：如图所示：设正四棱锥的底面边长AB＝2a，则OM＝a，设侧面三角形的顶角为2α，因为侧面与底面所成角的余弦值为，则，则，在Rt△PAM中，，∴．故选：A．9．【答案】A【解答】解：设动圆M的半径为r，又圆C1与圆C2的半径均为，则由已知得|MC1|＝r+，|MC2|＝r﹣，所以|MC1|﹣|MC2|＝2，又点C1（﹣4，0），C2（4，0），则|C1C2|＝8，所以2＜|C1C2|，根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以C1（﹣4，0），C2（4，0）为焦点的双曲线的右支，因为a＝，c＝4，所以b2＝c2﹣a2＝14，于是点M的轨迹方程为（x≥）．故选：A．10．【答案】C【解答】解：对于①：取an＝0，则Sn＝0，满足题设，故①正确；对于②：假设存在，a1＝a，公比为q，若q＝1，an＝a，an＝an，当n≥2时，不存在正整数m，使得Sn＝am，若q≠1，，，要使Sn＝am，则需即1＝qn+qm﹣1﹣qm，q为有理数．由于q≠1，我们有：1+q+…+qn﹣1＝qm﹣1，由高次方程有理数根的判别法，此方程无有理数根．故②错误；对于③：由题意，对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则存在正整数P使得Sn﹣1＝ap（n≥2），则an＝Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap（n≥2），故③正确．对于④：令an＝2﹣n，则，S1＝S2＝1＝a1，当n≥3时，由于n，3﹣n必有一个为偶数，则Sn是非正整数，一定等于{an}中某一项．但a3＝﹣1，不是{Sn}中的项，故④错误．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【答案】12．【解答】解：根据直方图知，抽样比例为＝，所以应该抽取高三人数为600×＝12（人）．故答案为：12．12．【答案】5．【解答】解：根据题意，点P（3，﹣4，5），则＝（3，﹣4，5），平面α的一个法向量是＝（0，0，﹣1），则点P（3，﹣4，5）到平面α的距离d＝＝＝5，故答案为：5．13．【答案】m＝4，n＝2．【解答】解：方程+＝1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值满足：m＝n+2＞0即可，可取m＝4，n＝2，故答案为：m＝4，n＝2．14．【答案】16．【解答】解：不妨设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），因为+＝，所以F是线段AB的中点，则AB与x轴垂直，•＝﹣p2＝﹣16，故p＝4，所以点P到AB的距离为p＝4，所以×8×4＝16．故答案为：16．15．【答案】①②④．【解答】解：根据题意，曲线，当x≥0，y≥0时，为+y＝2，即y＝2﹣，当x≥0，y＜0时，为﹣y＝2，即y＝﹣2，当x＜0，y≥0时，为+y＝2，即y＝2﹣，当x＜0，y＜0时，为﹣y＝2，即y＝﹣2，其大致图形如图，其中A（﹣4，0），B（0，﹣2），C（4，0），D（0，2）；对于①，曲线，有+|﹣y|＝+|y|＝2，则曲线C关于x轴对称，①正确；对于②，曲线C：+|y|＝2，有+|﹣y|＝+|y|＝2，则曲线C关于原点对称，②正确；对于③，由图形可得：曲线C所围成的封闭图形在菱形ABCD的内部，而S菱形ABCD＝16，故有曲线C所围成的封闭图形的面积小于16，③错误；对于④，当y＝2时，曲线C所围成的封闭图形内部有1个整点：（0，2），当y＝1时，曲线C所围成的封闭图形内部有3个整点：（1，1），（0，1），（﹣1，1），当y＝0时，曲线C所围成的封闭图形内部有9个整点：（﹣4，0），（﹣3，0），（﹣2，0），（﹣1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）；当y＝﹣1时，曲线C所围成的封闭图形内部有3个整点：（1，1），（0，﹣1），（﹣1，﹣1），当y＝﹣2时，曲线C所围成的封闭图形内部有1个整点：（0，﹣2），共有17个整点，④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共6小题）16．【答案】见试题解答内容【解答】解：方案一：选择条件①（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝1＝S1＝12+p，解得p＝0，则Sn＝n2，n∈N*．当n≥2时，由Sn＝n2，得，∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1（n≥2），经检验，a1＝1符合上式，∴．（Ⅱ）依题意，由a1，an，am成等比数列，可得，即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），化简，得，∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，∴当n＝2时，m有最小值5．方案二：选择条件②（Ⅰ）依题意，由an＝an+1﹣3，可得an+1﹣an＝3，故数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴．（Ⅱ）依题意，由a1，an，am成等比数列，可得，即（3n﹣2）2＝1×（3m﹣2），化简，得，∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，∴当n＝2时，m取到最小值6．方案三：选择条件③（Ⅰ）依题意，由2an+1＝an+an+2，可得an+1﹣an＝an+2﹣an+1，故数列{an}是等差数列，又∵a1＝1，a6＝a1+5d＝1+5d＝11，即d＝2，∴．（Ⅱ）依题意，由a1，an，am成等比数列，可得，即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），化简，得，∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，∴当n＝2时，m有最小值5．17．【答案】（Ⅰ）圆心C的坐标为（2，2），半径r＝；（Ⅱ）|PQ|的取值范围是[，]．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，∴圆心C的坐标为（2，2），半径r＝；（Ⅱ）∵P（5，0），∴|PC|＝，∴|PC|+r＝，|PC|﹣r＝．∵|PC|﹣r≤|PQ|≤|PC|+r，∴|PQ|的取值范围是[，]．18．【答案】（Ⅰ）a＝3，b＝14，c＝0.28；（Ⅱ）（i）画图见解析，（ii）1.088万步；（Ⅲ）1.3万步，能．【解答】解：（Ⅰ）因为0.04+0.06+0.10+0.22+0.16+0.14+c＝1，∴c+0.72＝1，∴c＝0.28，因为共50人，∴b＝0.28×50＝14，a＝0.06×50＝3，∴a＝3，b＝14，c＝0.28．（Ⅱ）（i）频率分布直方图如下图所示（ii）设平均值为，则有＝0.012+0.03+0.08+0.198+0.176+0.182+0.42＝1.088，则该单位所有会员当日步数的平均值为1.088万步．（Ⅲ）∵70%×50＝35，∴70%分位数为第35和36个数的平均数，∵[1.4，1.6]共有14人，且1.3有2个，∴第35和第36个数均为1.3，∴70%分位数为1.3，设x为会员步数，则x⩾1.3万时，人数不少于30%，∴能保证30%的工会会员获得奖励．19．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（Ⅰ）如图，在矩形ABCD中，∵AB＝2，BC＝4，E为AD中点，∴AB＝AE＝2，∵O为BE的中点，∴AO⊥BE，由题意可知，A'O⊥BE，∵平面A'BE⊥平面BCDE，平面A'BE∩平面BCDE＝BE，A'O⊂平面A'BE，∴A'O⊥平面BCDE，∵CD⊂平面BCDE，∴A'O⊥CD．解：（Ⅱ）取BC中点为F，连结OF，由矩形ABCD性质，AB＝2，BC＝4，可知OF⊥BE，由（Ⅰ）可知，A'O⊥BE，A'O⊥OF，以O为原点，OA'为z轴，OF为x轴，OE为y轴建立坐标系，在Rt△BAE中，由AB＝2，AE＝2，则，∴，，，，，设平面A'DE的一个法向量为则，，令y＝z＝1，则x＝﹣1，∴，设直线A'C与平面A'DE所成角为θ，，∴直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值为．（Ⅲ）假设在线段A'C上存在点P，满足OP∥平面A'DE，设由，∴，，若OP∥平面A'DE，则，∴，解得，所以．20．【答案】（1）．（2）t＝时以AB为直径的圆恒过M．【解答】解：（1）由题意可知，解得b＝c＝，∴a2＝b2+c2＝4，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知M（2，0），若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t（﹣2＜t＜2），此时A（t，），B（t，﹣），由得（t﹣2，）•（t﹣2，﹣）＝0，解得t＝或t＝﹣2（舍去），即t＝，若直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得（1+2k2）x2﹣4k2tx+（2k2t2﹣4）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，由题意知，，即（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，∴＝0，∴（1+k2）（2k2t2﹣4）﹣（2+k2t）（4k2t）+（4+k2t2）（