2023年海南省重点高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填()

A.S>1B.S>2C.S>lg99D.S>lg98

2.已知定义在R上的偶函数/(x),当x»0时，/(x)=e'—手，设a=/(ln0),b=/(0),c=/(ln¥),

则()

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>hD.c>a>h

3.设等差数列｛〃“｝的前八项和为S"，若/=2,q+Q=5,则S6=()

A.10B.9C.8D.7

22

4.已知双曲线C:二—与=l(a>0/>0),点。(毛,%)是直线法一纱+4a=0上任意一点，若圆

ab.

(%-%)2+(y-%)2=1与双曲线。的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是()•

A.(1,2]B.(1,4]C.D.[4,+00)

V

5.已知正四面体的内切球体积为％外接球的体积为匕则一=()

A.4C.9D.27

6.函数〃x)=ln（x+l）的定义域为)

A.（2,+8）B.（—1,2）<J（2,+8）C.（—1,2）D.卜1,2］

7.某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都

有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种.

A.360B.240C.150D.120

8.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

-2，

正视图侧视图俯视图

13

A.—JTB.-KC.2"D.3%

22

9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并

创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”。如图是

利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的〃值为（）（参考数据:

V3x1.732,sinl5°工0.2588,sin75°«0.9659)

A.48B.36C.24D.12

10.已知函数/（x）的定义域为（0,+纥），且式孥，当0<x<l时，〃x）<°•若/⑷=2,则函数/（x）

在［1,16］上的最大值为（）

A.4C.3D.8

11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（)

r^~i

1122

6C.—D.

122T

12.过抛物线（p>0）的焦点且倾斜角为a的直线交抛物线于两点AB.\AF\^2\BF\,且A在第一象

限，则cos2a=()

3

A石R「7n2G

A.——B.—C.—D.-------

5595

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/（盼=0/1-。％2"+第臼+1_…+G（_I），X2"T+，+..C（_I）"X3,I,其中〃eN+且，>2,则

r（i）=.

14.如图,在梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=2,4）=4,E,厂分别是BC,8的中点，若亚.诙=-1，则

AF-CD的值为.

15.已知向量万=（加,4）,6=（3,—2）,且々〃5，则机=.

16.设全集U=R,A^{x\-3<x<\,xeZ},B={x\x2-x-2>Q,xeR},则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知非零实数“为满足a<b.

(1)求证：a3-/?3<2a2b-2ab21

(2)是否存在实数X,使得乌--恒成立？若存在，求出实数2的取值范围；若不存在，请说明理由

a'b-b)

18.(12分)在数列｛a“｝中，a,=l,at+2a2+3a3+...+nan=—^all+l,〃eN*

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若存在〃eN*，使得《,<(〃+1)丸成立，求实数4的最小值

19.(12分)已知奇函数“X)的定义域为R,且当xe(0,48)时，/(x)=d—x+1.

(1)求函数“力的解析式；

(2)记函数g(x)=/(x)一如+1,若函数g(x)有3个零点，求实数%的取值范围.

20.(12分)已知数列仅„｝满足2+旦=2(〃*2),且4x4，%=1，4,4,生成等比数列.

a>t+\an-\5

(1)求证：数列｛一｝是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

,1,1

⑵记数列｛一｝的前n项和为S,,b„=的,,+5-五，求数列电｝的前"项和Tn.

21.(12分)在四棱锥P—ABC。的底面ABC。中，BC//AD,CDLAD,PO_L平面ABC。，。是AO的中点,

且PO=AD=2BC=2CD=2

(I)求证：〃平面POC：

(D)求二面角O—PC-。的余弦值；

(m)线段PC上是否存在点E,使得若存在指出点E的位置，若不存在请说明理由.

22.(10分)在直角坐标系X0Y中，曲线G的参数方程为“―c°s”(夕为参数)，以原点。为极点，以X轴正

y=sina

7T

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕sin(e+二)=2.

(1)求曲线G的普通方程与曲线G的直角坐标方程;

TT

(2)设A8为曲线G上位于第一，二象限的两个动点，且乙4。6=1•，射线0A08交曲线G分别于D,C,求AAO8

面积的最小值，并求此时四边形ABCO的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg2+lg1=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg§=lg4,

・・・；

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

100

第九十九次，z=99,S=lg99+lg——=lgl00=2,

99

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

2.B

【解析】

Y+2x

根据偶函数性质，可判断a，C关系；由XNO时，土;,求得导函数，并构造函数g(x)=e，-x-l,

由g'W进而判断函数/(x)在x20时的单调性，即可比较大小.

【详解】

/(x)为定义在R上的偶函数，

所以c=/In与=f-ln^^j=/(lnV2)

所以a=c；

f+2x

当xNO时，/(x)=e「；,

贝!)f\x)=e'-x-\,

令g(x)=e*-x-1

则g'(x)=，-l,当x»0时，g'(x)="—12O,

则g(x)="-x-1在x»()时单调递增，

因为g(O)=e0-0-1=0,所以g(x)=e'—无一INO,

即f'(x)=e'-x-l>Q,

X2-4-2艾

则f(x)=ex-三名在x2()时单调递增，

而O<ln0<0，所以

/(lnV2)</(V2),

综上可知，=夜)

<)

即。=C<。，

故选：B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

3.B

【解析】

根据题意%=4+2"=2,q+%=2q+3d=5,解得《=4,d=-\,得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,q+/=2q+3d=5,解得q=4,d=-1,故§6=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

4.B

【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx-ay+2a=()与直线bx—ay=O的距离d,根据圆

(x-Xo)2+(y-yo)2=l与双曲线C的右支没有公共点，可得dNl,解得即可.

【详解】

22人

由题意，双曲线C:t—4=l9>0,13〉0)的一条渐近线方程为丫=一*,即bx-ay=(),

ab~a

■:P(x0,y0)是直线bx-ay+4a=0上任意一点，

14a4a

则直线bx—ay+4a=0与直线bx—ay=O的距离d=.不——片一,

Va+bc

•.•圆(x-X。)2+(y—y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点，则d21,

4-cic

>1,即e=—<4,又e>l

ca

故e的取值范围为(1,4],

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C的右支没有公

共点得出dNl是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取的中点为O,连接AO,作正四面体的高为PM,首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RfMMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1，取8c的中点为O,连接AO,

作正四面体的高为

PM=y/pA2-AM2=—

,xz_1V3V6_V2

..v=-XX=9

P~ARBC34312

设内切球的半径为广，内切球的球心为。,

1G

则VP-ABC=4%_ABC=4X§X彳r,

解得：r=旦;

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

贝！||肱V|=|PM—H|或囚一AN=R,

在RZVVWN中，由勾股定理得：

AM2+MN2AN2,

=火,解得R二史,

334

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

6.C

【解析】

2-x>0

函数的定义域应满足

l+x>0

故选C.

7.C

【解析】

可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老

教师带一个新教师，分别计算后相加即可.

【详解】

分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有仁用=60种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教

师，有空过=90.

2!

二共有结对方式60+90=150种.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再

计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为生

2!

8.B

【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.

【详解】

根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，

把该几何体补成如下图所示的圆柱，

I

3

其体积为万xfx3,故原几何体的体积为二万.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关

系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.

9.C

【解析】

由〃=6开始，按照框图，依次求出s,进行判断。

【详解】

”=6=s=—x6sin60°«2.598,n=12=s=—xl2sin30°=3,

22

n=24^s=-x24sinl5°«3.1058,故选C.

2

【点睛】

框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。

10.A

【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数募运算，可得/（：）+/（〃）=/（，”）；利用定义可证明函数/（X）的单调

性，由赋值法即可求得函数/（X）在［1,16］上的最大值.

【详解】

函数/（x）的定义域为（0,+纥），且2d：）,2小）=4孥，

则/［，1+/(〃)=/(加)；

任取€(0,一)，且西＜*2，贝(1°〈五＜1，

X2

故/㈤＜0，

\X2)

(\

令，”=%，〃=々，则/—+/(%)=/(%),

\x27

(\

即/(5)-/(工2)=/—＜。，

\X2)

故函数/(X)在((),+力)上单调递增，

故/(x)a=/(16)，

令m=16,n=49

故/(4)+/(4)=/(16)=4,

故函数/(x)在［1,16］上的最大值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了指数幕的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.

11.D

【解析】

用列举法，通过循环过程直接得出S与〃的值，得到〃=8时退出循环，即可求得.

【详解】

1113

执行程序框图，可得S=0,n=2,满足条件，5=-,“=4,满足条件，S=-+-=-,n=6,满足条件，

2244

S=-+-+!=—,〃=8,由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为旦X8=N.

24612123

故选D.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S与"的值是解题的关键，难度较易.

12.C

【解析】

作A4_U,BB,1/;BE1AA,,由题意sina=—,由二倍角公式即得解.

AB

【详解】

由题意，准线/：y=—g

作A41_U,BB.ll；BE1AA,,

设忸尸|=忸4|=乙

故|AB|=|A4,|=2r,|AE|=r,

AE1i-27

sina=——■=-=>cos2a=1-2sina=—.

AB39

故选：C

【点睛】

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0

【解析】

先化简函数/(X)的解析式，在求出了'(X),从而求得/'⑴的值.

【详解】

由题意，函数/(X)=C%2”T—C52"+C52"+-…+c：(_l)“2"T"+…£；(_1)"户1

可化简为/*)=pi[c-CJ+UR-…+c;(—+…+ex]=(1一%)",

所以/'(X)=(2〃-1)%2-2(1一X)"_x2,,-1rt(l-x)"T=x2n-2(l-x)”T[2〃—1一(3〃—l)x],

所以尸⑴=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解

导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

14.2

【解析】

7T

建系，设设NA=e,由荏.怎=T可得e=进一步得到C、尸的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.

【详解】

以A为坐标原点，AO为x轴建立如图所示的直角坐标系，设NA=8,则

£)(4,0),8(2cos2sin。),E(1+2cos0,2sin。),C(2+2cos6,2sin8),

所以通=(l+2cosa2sin。)，潴=(2cos。-3,2sin。)，由屈.丽=T，

得(1+2COS6)(2COS6—3)+4sin2e=—1,即cos6=’,又所以

2

故c(3,8)，尸(：,小)，丽=(1,一6),而=((,《)，

【点睛】

本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

15.-6

【解析】

由向量平行的坐标表示得出-2m-4x3=0,求解即可得出答案.

【详解】

因为〃〃5，所以-2,"-4x3=0,解得/〃=—6.

故答案为：-6

【点睛】

本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

16.{0,1}

【解析】

先求出集合A，8,然后根据交集、补集的定义求解即可.

【详解】

解：A={-2,T,0,l},8={X|X4-1或XN2}；

...加5={x|—l<x<2}；

二AndyB={0,l}.

故答案为：{0,1}.

【点睛】

本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)存在，2e[-l,3]

【解析】

(1)利用作差法即可证出.

(2)将不等式通分化简可得"+24,讨论a力>()或,活〉0,分离参数，利用基本不等式即可求解.

【详解】

(1)a3-Z?3-(2a2b-2ab2)=(a-Z>)(a2+ab+h2^-2ah^a-b^

a<b,.\a-b<0

+-b2>0

a3—6<2crb-2ab2

即小等

即勺f(*)

①当心。时，(*)即人止步=9%|恒成立

ba八ba-

v-+->2.一•一=2

abab

(当且仅当。=匕时取等号)，故2W3

②当时"<0,(*)/N正善且=2+@+1恒成立

a~h~ab

baha

•/—+—+

aba、b

(当且仅当4=-分时取等号)，故XN-1

综上，4/1,3]

【点睛】

本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.

1,«=1

1

18.(1)。〃=〈2”2:(2)-

"-x3,,-2,n>23

【解析】

(1)由q+2g+3q+...+=---an+l得q+2a2+3q+,两式相减可得｛皿"｝是从第二项

开始的等比数列，由此即可求出答案；

(2)-+D'o北悬,分类讨论，当》时，念二器,作商法可得数列信｝为递增数列,

由此可得答案,

【详解】

解：(1)因为4+2%+3/+...+〃％=

曲会如皆短〃+1n日nS+l)"〃+iQ

两式相减得：nan-----an+l一一an,即----------=3,

22nan

・•・｛田/是从第二项开始的等比数列，

4=1,

n2

a2=1,则nan=2x3~,

l,n=1

'2X3"-2,"N2；

13

(2)an<(/7+1)22>,

当"=1时，—=—5

22

设-“)=上,,3='>『.

n(n+1)/(n)〃+2

••/(,2)min~于Q)--,

所以实数a的最小值g.

【点睛】

本题主要考查地推数列的应用，属于中档题.

x2-x+l,x>0

19.(1)/(%)=<0,x=0•(2)仅④-1,+8

———X—1,X<0

【解析】

(1)根据奇函数定义，可知/(0)=0；令xe(-8,0)贝！|-xw(O,T8),结合奇函数定义即可求得(-8,0)时的解

析式，进而得函数/(X)的解析式；

(2)根据零点定义，可得〃”=如-1,由函数图像分析可知曲线y=/(x)与直线y=1在第三象限必1个交

点，因而需在第一象限有2个交点，将y=〃ix-l与y=/-尤+1联立，由判别式/>0及两根之和大于0,即可求得

m的取值范围.

【详解】

(1)因为函数/(x)为奇函数，且xeR,故/(0)=0；

当XG(-OO,0)时，一xe(0,+oo),

/(—X)=(—%)'—(―x)+l=x2+x+l=—/(x),

贝!=-％-1；

X?-X+l,X>0

故/(x)=，O,x=O.

—x2—x-1,x<0

(2)令g(x)=f(力―mx+l=O,

解得了(力=/您-1，画出函数关系如下图所示，

要使曲线y=/(x)与直线y=，nxT有3个交点，

"2

y二尸一x+1

则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立)

y=mx-\

化简可得M-(l+m)x+2=0,

A>0(/n+1)2-8>0

令4

+x2=1+m>0m>-1

解得tn>26—1，

所以实数团的取值范围为(20-1,+8).

【点睛】

本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用,

属于中档题.

n

20.(1)见解析；(2)Tn=-——

8n+4

【解析】

aa112

(1)因为―•+—J=2(〃Z2),所以a“H0,所以——+——=—

“向a，i4+1an

,1,

所以数列｛一｝是等差数列,

,1.

设数列｛一｝的公差为d,由4工4,可得〃工0,

an

因为4,%,。5成等比数列，所以。臼=婚，所以','=1，所以(L-2d)('+2d)=(-5--d)2,

%%〃2%〃3〃3

因为%=(，所以(5-2")(5+2")=(5-疗，

解得d=O(舍去)或。=2,所以-3”=2〃-1,所以4=--------.

ana32〃一1

1c几(1+2几—1)2

(2)由(1)知。=-----,S=------------=rT9

"2n-\n2

b…o1n211I,1］、

aS

所以2=册I、"八--=~—I、”=-(-~~~T——),

,^n--4=~(2—〃-1)(2〃+।1)44(2〃-1)(2〃+1)82n-\2n+\

bi、.111111、1八1、〃

所以工=-X(1----1----------F…H-------------------)=-X(1---------)=---------・

”83352n-l2〃+182〃+18〃+4

2i.(I)详见解析；(II)巫；(in)存在，点£为线段PC的中点.

5

【解析】

(1)连结0。，BC=AO,BC//AD,则四边形ABC。为平行四边形，得到证明.

(II)建立如图所示坐标系，平面PCD法向量为1=(0,2,1),平面尸OC的法向量后=8方=(一1,1,0),计算夹角

得到答案.

(W)设E(x,y,z),计算方=(4/1_1,2—2㈤，荏=(1,1,0),根据垂直关系得到答案.

【详解】

(I)连结OC,BC=AO,BC//AD,则四边形ABC。为平行四边形.

AB//OC

<AB(Z平面POC=>AB//平面POC.

OCU平面POC

CDLAD

(II)P01平面ABC。，《。。§。。。二四边形088为正方形.

一n.•CD=0一

设平面PC。法向量为4=(%,%z),贝匹上一二"=(0,2,1),

n{-PD=0

连结80,可得BOLOC,又8DJ_PO所以，5。1_平面。。。，

平面POC的法向量%=BD=(—1,1,0)，

设二面角O—PC—。的平面角为9,则cos6>=¥,2-=型.

|4|•|%|5

(HI)线段PC上存在点E使得AB_LDE,设E(x,y,z),~PE=APC(x,y,z-2)=2(1,1,-2)=>£(Z,Z,2-22)

D£=(A,2-1,2-22),AB=(1,1,0),AB，£>E=而诙=0=2=g,

所以点E为线段PC的中点.

【点睛】

本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2QOQ

22.(1)—+/=