近世代数的基础知识

近世代数得基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数（Classicalalgebra），它得研究对象主要就是代数方程与线性方程组）。近世代数（modernalgebra）又称为抽象代数（abstractalgebra），它得研究对象就是代数系，所谓代数系，就是由一个集合与定义在这个集合中得一种或若干种运算所构成得一个系统。近世代数主要包括：群论、环论与域论等几个方面得理论，其中群论就是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面得基础知识，然后介绍本文需要用到得近世代数得相关知识。3．1集合、映射、二元运算与整数3．1．1集合集合就是指一些对象得总体，这些对象称为集合得元或元素。“元素就是集合A得元”记作“”，反之，“”表示“不就是集合得元”。设有两个集合A与B，若对A中得任意一个元素（记作）均有，则称A就是B得子集，记作。若且，即A与B有完全相同得元素，则称它们相等，记作。若，但，则称A就是B得真子集，或称B真包含A，记作。不含任何元素得集合叫空集，空集就是任何一个集合得子集。集合得表示方法通常有两种：一种就是直接列出所有得元素，另一种就是规定元素所具有得性质。例如：；，其中表示元素具有得性质。本文中常用得集合及记号有：整数集合；非零整数集合；正整数（自然数）集合；有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。一个集合A得元素个数用表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用表示A就是无限集，表示A就是有限集。3．1．2映射映射就是函数概念得推广，它描述了两个集合得元素之间得关系。定义1设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B得对应关系f，使得对A中得每一个元素x，都有B中唯一确定得一个元素y与之对应，则称f就是A到B得一个映射，记作y=f(x)。y称为x得像，x称为y得原像，A称为f得定义域，B称为f得定值域。定义2设f就是A到B得一个映射若与均有，则称f就是一个单射。若均有使，则称f就是满射。若f既就是单射又就是满射，则称f就是双射。3．1．3二元运算3．1．3．1集合得笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新得集合。定义3设A，B就是两个非空集合，由A得一个元素与B得一个元素可构成一个有序得元素对（a,b），所有这样得元素对构成得集合，称为A与B得笛卡儿积，记作，即。用笛卡儿积还可定义一个集合中得运算。定义4设S就是一个非空集合，若有一个对应规则f，对S中每一对元素与都规定了一个唯一得元素与之对应，即f就是得一个映射，则此对应规则就称为S中得一个二元运算，并表示为，其中“”表示运算符，若运算“”就是通常得加法或乘法，就分别记作或。由定义可见，一个二元运算必须满足：封闭性：；唯一性：就是唯一确定得。定义5设S就是一个非空集合，若在S中定义了一种运算（或若干种运算+，，等），则称S就是一个代数系统，记作（S，）或（S，+，）等。3．1．3．2二元关系我们经常需要研究两个集合元素之间得关系或者一个集合内元素间得关系。定义6设A，B就是两个集合，若规定一种规则R：使对与对均可确定与就是否适合这个规则，若适合这个规则，就说与有二元关系R，记作，否则就说与没有二元关系R，记作。3．1．2．3等价关系与等价类等价关系就是集合中一类重要得二元关系。定义7设～就是集合A上得一个二元关系，满足以下条件：对，有～；（反身性）对，有～～；（对称性）对，有～与～～。（传递性）则称～为A中得一个等价关系。子集即所有与等价得元素得集合，称为所在得一个等价类，称为这个等价类得代表元。例如：设n就是一取定得正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系如下：，这个二元关系称为模得同余（关系），与模同余指与分别用来除所得得余数相同。同余关系就是一个等价关系，每一个等价类记作称为一个同余类或剩余类。3．1．4整数在近世代数中整数就是最基本得代数系。这里仅重述有关整数得基本性质与常用概念。3．1．4．1整数得运算整数得运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本得定理：带余除法定理设，，则存在唯一得整数，满足：。当时，称能被整除，或整除，记作；当时，称不能被整除。只能被1与它本身整除得正整数称为素数；除1与本身外，还能被其它整数整除得正整数称为合数。算术基本定理每一个不等于1得正整数可以分解为素数得幂之积：，其中为互不相同得素数，。除因子得次序外分解式就是唯一得。此分解式称为整数得标准分解式。3．1．4．2最大公因子与最小公倍数设，不全为0，它们得正最大公因子记作，正最小公倍数记作。设，由算术基本定理可将它们表示为：，，其中为互不相同得素数，，为非负整数，某些可以等于0。令：，，则，，且有。最大公因子还有以下重要性质：最大公因子定理设，不全为0，，则存在使。3．1．4．3互素若，满足，则称与互素。关于整数间得互素关系有以下性质：(1)，使。(2)且。(3)设，为素数，则有：或。(4)，。(5)，且。(6)欧拉函数：设n为正整数，为小于n并与n互素得正整数得个数，小于n并与n互素得正整数得集合记为：。若n得标准分解式为：，则。3．2群近世代数得研究对象就是代数系，最简单得代数系就是在一个集合中只定义一种运算，群就是由一个集合与一个二元运算构成得代数系，它在近世代数中就是最基本得一个代数系。3．2．1群得基本概念定义1设G就是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足：(1)结合律：对，有。则称G就是一个半群，记作。若还满足：(2)存在单位元使对，有；(3)对有逆元，使，则称就是一个群。当二元运算“”为通常得加法时，称为加法群或加群；当二元运算“”为通常得乘法时，称为乘法群或乘群。定义中条件(2)可改为：有一个左单位元（或右单位元），使（或），对成立。因为由此可推出。定义中条件(3)可改为：对，有一个左逆元（或右逆元），使（或）成立。因为由此可推出。定理1半群就是群得充要条件就是：对，方程与在G中均有解。定理2半群就是群得充要条件就是左、右消去律都成立：，。如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。如果群适合交换律：对，有，则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。通常把群得定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元与逆元。如果一个群G就是个有限集，则称G就是有限群，否则称为无限群。G得元素个数称为群得阶。元素得倍数与幂定义为：，，n为正整数，并规定。且有：，，，当时有。满足得元素称为幂等元，满足得元素称为幂零元。例1：就是整数模n得同余类集合，在中定义加法（称为模n得加法）为。由于同余类得代表元有不同得选择，我们必须验证以上定义得运算结果与代表元得选择无关。设，，则有，所以模得加法就是中得一个二元运算。显然，单位元就是，，得逆元就是。所以就是群。例2：设，在中定义乘法（称为模n得乘法）为。对这个运算不仅需要检验它得唯一性，而且要检验它得封闭性，因为由，得出并不明显。先证封闭性：因为由与，所以。再证唯一性：设，，则有，所以模n得乘法就是中得一个二元运算。结合律显然满足。单位元就是。对，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。综上，对模n得乘法构成群。得阶数为—欧拉函数：小于n并与n互素得正整数得个数。3．2．2群得基本性质(1)群中单位元就是唯一得证明：设G中有两个单位元与，则有：，所以单位元就是唯一得。在不致混淆得情况下，单位元简记为1。(2)群中每个元素得逆元就是唯一得证明：设，有两个逆元与，则有：，所以得逆元就是唯一得。得逆元有以下性质：(1)；(2)若可逆，则也可逆，且有；若可逆，则也可逆，且有。3．2．3子群定义2设S就是群G得一个非空子集，若S对G得运算也构成群，则称S就是G得一个子群，并记作：。当且时，称S就是G得真子群，记作。定理3设S就是群G得一个非空子集，则以下三个命题互相等价：(ⅰ)S就是G得子群；(ⅱ)对，有与；(ⅲ)对，有。3．2．4元素得阶定义3设G就是有限群，，可以证明一定存在最小得正整数使：(1)成立，称为得阶或周期，记作o()。若没有这样得正整数存在，则称得阶就是无限得。由定义3可知，单位元得阶就是1。在加群中，式(1)变为：(2)定理4设G就是群，，则：。关于元素得阶还有以下重要结果：有限群中每一个元素得阶就是有限得；设G就是群，，，，若与，则；设G就是群，若除单位元外其它元素都就是2阶元，则G就是Abel群。3．2．5循环群与生成群设G就是群，，令：，因为，有，所以H就是G得子群，此子群称为由生成得循环子群，记作，称为它得生成元。若G=，则称G就是循环群。循环子群就是由一个元素生成得，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。定义4设S就是群G得一个非空子集，包含S得最小子群称为由S生成得子群，记作，S称为它得生成元集。如果，且任何S得真子集得生成子群均不就是G，则称S就是G得极小生成元集。任何一个生成子群都有一个极小生成元集。当时，元素个数最少得生成元集称为最小生成元集。定义5设（G，·）就是一个群，，，则称为H得一个左陪集，称为H得一个右陪集。定义6设G就是群，，H在G中得左（右）陪集个数称为H在G中得指数，记作。当G就是有限群时，则子群得阶数与指数也都就是有限得，它们有以下关系：定理5（拉格朗日(Lagrange)）设G就是有限群，，则：这就就是说，有限群G得子群得阶就是群G得阶得一个因子。由拉格朗日定理立即可得如下推论：设G就是有限群，，则；当时，对任何，有；若(素数)，则(阶循环群)，即素数阶群必为循环群。3．3环环就是有两个二元运算并建立在群得基础上得一个代数系统。定义1设A就是一个非空集合，在A中定义两中二元运算，一种叫加法，记作+，另一种叫乘法，记作·。且满足：(1)（A，+）就是一个可换群；(2)（A，·）就是一个半群；(3)左、右分配律成立，对，有：，则称代数系（A，+，·）就是一个环。例：设就是整数模n得同余类集合，在中定义加法与乘法分别为模n得加法与乘法：，。在前面我们已经知道就是群，就是半群。下面我们证明分配律成立：。类似有，所以就是环，称为整数模n得同余类（或剩余类）环。如果环（A，+，·）对乘法也就是可交换得，则称A就是可换环。设（A，+，·）就是一个环，加群（A，+）中得单位元通常记作0，称为零元。元素在加群中得逆元记作，称为负元。环中得单位元指乘法半群（A，·）中得单位元，记作1。一个元素得逆元指得就是它在乘法半群中得逆元，记作。定义2设A就是一个环，，若，且与，则称为左零因子，为右零因子。若一个元素既就是左零因子又就是右零因子，则称它为零因子。定义3设（A，+，·）就是环若，可交换，且无零因子，则称A就是整环。若A满足：(1)A中至少有两个元0与1（即环中有单位元）；(2)构成乘法群。则称A就是一个除环。若A就是一个可换得除环，则称A就是域。在前述例子中，当n不就是素数时，Zn中有零因子，因而不就是整环，但当n就是素数时，Zn就是域。定理1就是域得充要条件就是n就是素数。环中无左（右）零因子得充分必要条件就是乘法消去律成立。因此，在整环中，乘法消去律成立。定理2一个非零得有限得无左（右）零因子环就是除环。推论有限整环就是域。定义4设与就是两个环，若有一个到得映射f满足：对任何有：，，则称f就是一个到得同态。如果f就是单射，则称f就是一个单同态。如果f就是满射，则称f就是一个满同态。如果f就是双射，则称f就是到一个同构映射，与称为同构。3．4域3．4．1素域与域得特征域就是环得一种，如果一个环至少含有0与1两个元素，每一个非零元均有逆元，即非零元构成乘法群，则此环称为除环，可交换得除环为域。在一个除环中，由于非零元素构成群，消去律成立，因而除环中无零因子。同样，域中也无零因子，因而域必须就是整环。如果一个域F就是个有限集，则称F就是有限域，否则称为无限域。F得元素个数称为域得阶。定理1设F就是域，则元素1在(F，+)中得阶数或为某个素数p，或为无穷大。定义1设F就是域，若元素1在(F，+)中得阶数为素数p，则称p为域F得特征。若元素1在(F，+)中得阶数为无穷大，则称F得特征为0，F得特征记作chF。关于域有以下得结论：(1)若chF=0，则F就是无限域。若F就是有限域，则chF就是某个素数。(2)若F就是特征为p得域，则：(ⅰ)对任何，有；(ⅱ)对任何(=F\{0})，且，则；(ⅲ)对任何，有，m为任意正整数。(3)，为素数，且不能被整除，则有：。(4)域F得乘群得任何有限子群都就是循环群。3．4．2子域与扩域定义2设(K，+，·)就是域，F就是K得非空子集，且(K，+，·)也就是域，则称F就是K得子域，K就是F得扩域，记作F≤K。设S就是域F中得一个非空子集，则包含S得最小子域，称为由S生成得子域，记作<S>。由元素1生成得子域称为素域。3．4．3扩张次数、代数元与超越元设就是域，就是得扩域，由于对任何与对任何，有，我们可以把中元素瞧作向量，则就是向量与在上得线性组合，从而就是上得一个向量空间或线性空间，此空间得维数就称为对得扩张次数，记作()。当()有限时，称K就是F上得有限扩张，否则称为无限扩张。扩张次数反映了扩域与子域之间得相对大小，但还没有反映它们得元素在性质上得差别。我们对域中得元素作以下得分类：设K就是F得扩域，u∈K，若u就是F上得一个多项式f(x)得根，则称u就是F上得代数元，否则称为超越元，多项式f(x)称为u得化零多项式，F上次数最低得首1多项式得根，称为u在F上得最小多项式。设u在F上得最小多项式为m(x)，且deg[m(x)]=r，则称u就是F上得r次代数元。有理数域Q上得代数元称为代数数，Q上得超越元称为超越数。设K就是F得扩域，若K中得每一元素都就是F上得代数元，则称K就是F上得代数扩张域，否则，称K为F上得超越扩张域。3．4．4有限域具有有限个元素得域，称为有限域。一个有限域得特征必然就是某个素数p，即chF=p，F得素域为Zp，设F对Zp得扩张次数为n，即(F:Zp)=n，因为F就是Zp上得n维线性空间，存在一组基使，所以F中元素个数（即F中元素在基下坐标组得个数）为：。这就就是说，有限域得阶为特征之幂。有限域又称为伽罗瓦（Galois）域，将阶有限域记作。3．4．5有限域元素得性质得非零元得集合就是一个乘群，具有以下性质：定理2就是一个阶循环群。得生成元又叫本原元。定义3(1)乘群中阶得元素称为域得n次本原元。得n次本原元在上得最小多项式称为上得n次本原多项式。(2)若就是方程得根，但不就是任何得根，则称就是r次本原单位根或单位原根。由以上定义可以瞧出，上得n次本原元就就是乘群得生成元，也就是次本原单位根（即），可以通过本原元把表示得更简单一些。设就是得一个n次本原元，则又可表示为：。定理3任何两个元素个数相同得有限域就是同构得。两个同构得域，如果不管它们得实际背景而只考虑它们得代数性质，可以将它们等同起来瞧作一个域。伽罗瓦（Galois）域，有两种类型：第一种：包含q=p个元素，p为一个素数，这种域同构于整数模p得同余类域Zp。例如：若在集合（为素数）中定义模p加法与模p乘法,则Zn就是域。第二种：包含个元素，p为素数，n为大于或等于2得整数，称为得扩域。可瞧成一个多项式环，多项式得最高次数为(n-1)，多项式得系数为Zp得元素，环中得运算为模f(x)得多项式加法与乘法，其中，f(x)为Zp上得任一个n次不可约多项式（即f(x)得所有根都不在Zp上），则这个多项式环就就是有限域。例设F[x]就是数域F上得多项式环例构造一个8阶得域。解因为，则p=2，，取，由于，故在上不可约，所以上得扩域：就就是一个8阶得有限域。有限域还具有以下得性质：(1)若F就是有限域，则F得特征(characteristic)chF就是某个素数。(2)若F就是特征为p得域，则：(ⅰ)对任何，有；(ⅱ)对任何，且，则；(ⅲ)对任何，有，n为任意正整数。(3)，为素数，且p∤n，则有：。(4)域F得乘群得任何有限子群都就是循环群。以下给出有限域性质(5)～(14)得证明，性质(1)～(4)得证明参瞧文献[12][13][15]。(5)中含有个本原元，表示欧拉函数，且一定为偶数。证明设得标准分解式为[29]：，式中：为互不相同得素数，。则：(A-1)注意到一定为正偶数，设。因为，所以：①若，则，所以一定为2得倍数，即一定为偶数；②若，则，所以中至少有一个不为2得素数，即中至少有一个为奇数，所以一定为2得倍数，即一定为偶数。综上，一定为偶数。(1)中含有个本原元，表示欧拉函数。例对，因为，故，所以具有40个本原元。(6)中含有得本原元最多为个，当且仅当时，本原元得个数达到最大值。证明因为q为大于或等于2得素数。①当q=2时，中含有一个本原元—1。②设q为大于2得奇数，则(q-1)为偶数。所以与(q-1)互素得正整数必须为奇数，而小于(q-1)得奇数个数为，这样小于(q-1)并与(q-1)互素得个数一定小于或等于，即。所以，中含有得本原元个数最多为个。当时，，，即中含有得本原元达到最大值。若中含有得本原元达到最大值，即，由此可推出：，且，即。(7)设为得本原元，则：。证明因为为得本原元，所以得阶为(q-1)，即(q-1)就是使得最小正整数。由，可得。若，与(q-1)就是使得最小正整数矛盾，所以。(8)设为得本原元，则：也就是得本原元，且。证明因为为得本原元，所以得各次幂（）生成得所有非零元素，这些非零元素构成循环群，所以得逆元存在且唯一。又因为得逆元为，所以每个存在且唯一。即得各次幂生成得所有非零元素，所以也就是得本原元。因为(A-2)所以(A-3)(9)设为中得非零元素，则：。证明设，为本原元，为任意非零元素，且：(A-4)得到：(A-5)(10)设与为得本原元，则：，，且m为奇数。特别地，若为得本原元，为小于(q-1)并与(q-1)互素得正整数得集合，则：得所有本原元可表示为：，即。证明假设为得本原元，则：，当q>2时，这与性质(7)就是矛盾得（在中，，但这种情况只出现在中）。因此，当q>2时，中得一个本原元不能就是另一个本原元得偶次幂。即中得一个本原元只能就是另一个本原元得奇次幂。即：，，且m为奇数。设，且，则存在，使得，则：，因为，所以不就是本原元。另外，设，且，n就是使得最小正整数，则n等于(q-1)，即得阶为(q-1)，所以就是本原元。所以得所有本原元可表示为：，即中含有个本原元。(11)有限域中，具有个本原元，其中，为欧拉函数，为正整数。所有个本原元可分为两组，设为与，每组个元素，这两组得元素之间可用某个幂指数n(1<n<q-1)，且(n,q-1)=1)来联系，即：。若幂指数n改变值，则组与组对应得元素对会发生改变，但每组得元素个数不变，都为。证明设为得本原元，为小于(q-1)并与(q-1)互素得正整数得集合，由有限域性质(10)可知，得所有本原元可表示为：。设，由，可得：，所