概率论全套课件

r.v及其分佈outline§1r.v§2離散r.v的概率分佈§3r.v的d.f§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)§5r.v函數的分佈§1r.v如拋擲硬幣，凡出現正面時，用數1表示，出現反面用0表示，也可以用如下記號表示：

S=｛，｝定義：設E是隨機試驗，基本事件（樣本）空間為S，如對每一，有一個數與之對應，這樣的在S上的變數稱為一個r.v。§1r.v當取複數時，稱它為複r.v；當取實數時，稱它為實r.v。

r.v與普通函數本質區別是：r.v的取值是有一定的概率。比如：P(=1)=P(出現正面)=P(=0)=P(出現反面)=§1r.v

一般，對已給概率空間(，F，P)，如果在其上定義一個，，並且對任意實數，有

F

則稱是定義在(，F

，P)上一個r.v。§2離散r.v的概率分佈如果r.v僅取有限多個或可列多個值，則稱它為離散型r.v。假定r.v可能取值為xk，k=1,2,…，且P(X=xk)=pk，k=1,2,…則稱｛p1，p2，…｝是r.vX的概率分佈或分佈律，有時也用列表法給出分佈律。

Xx1，x2，…，xk…Pp1，p2，…，pk…分佈律｛pk，k1｝的性質為：

(1)1pk0，k1；(2)§2離散r.v的概率分佈若干個重要的離散r.v的概率分佈：1．0-1分佈當r.vX只取0、1兩個值時，而且記P(X=1)=p，P(X=0)=1-pq(0＜p＜1)，則稱r.vX服從0-1分佈或列表為

X10Pp1-p§2離散r.v的概率分佈2．二項分佈（Bernoulli試驗）設隨機試驗E的樣本空間只含有A與兩個基本事件，並且P(A)=p，P()=1-pq(0＜p＜1)。若將試驗E獨立地、重複進行n次（或可列無限多次），就稱n重Bernoulli試驗（或可列重Bernoulli試驗），記為En（或記為）。比如n=3，則3重貝努利試驗的樣本空間S一共含有23=8個基本事件：

000，001，010，011，100，101，110，111

依此類推，n重貝努利試驗的樣本空間S一共含有2n個基本事件。§2離散r.v的概率分佈

現在，求En中事件A：“n次試驗中恰好出現k次1”的概率Pn(k)=P(X=k)=

顯然故稱r.vX服從參數為n,p的二項分佈，記為（或b(n，p)），這裏X：n次試驗中出現1的次數。§2離散r.v的概率分佈例1：假定彩顯管使用超過1.5萬小時為一等品，已知一等品率為80%，今在一批管子中隨機抽取20只做檢驗，求其中恰有k只為一等品的概率。解：由題意知它是20重貝努利試驗，而且p=0.8∴所求概率為；k=0,1,…,20例2：若將每次射擊看作一次試驗，分擊中和不擊中兩種可能，設作400次射擊，每次擊中概率為98%，記擊中次數為X，則X～B(400，98%)，求擊中次數≥2的概率§2離散r.v的概率分佈例2（續）解：方法1：

方法2：

例3：如X～B(400，0.02)，則

P(X≥2)=1-(0.98)400-400×0.02×(0.98)399

試求其近似值，為此介紹Poisson定理。3.泊松分佈設r.vXn，n=1,2,…，服從二項分佈B(n，pn)，即，k=0,1,…,n

又假定＞0為常數，n=1,2,…，則證明：∵，∴，於是

§2離散r.v的概率分佈

泊松定理說明，對充分大n，有對於例3來說，此時=400×0.02=8，∴稱P(X=k)=，k=0,1,…，為r.vX服從參數為的泊松分佈。顯然，此時，記（或）。§2離散r.v的概率分佈例4：設有同種機床300臺，各臺工作獨立，已知各臺故障率為0.01，通常一維修工可排除一臺出故障機床，問至少備多少維修工，保證機床出故障而不能及時維修的概率小於1%？解：設需備N個維修工，記同一時刻出故障機床台數為X，則X～B(300，0.01)，按題意

P(X＞N)＜0.01，=3

由Poisson定理得P(X＞N)=1-P()

查泊松分佈表，可得N=8§2離散r.v的概率分佈4．幾何分佈（補充）

設每次試驗E中，事件A（表現為成功）出現概率p=P(A)，在多重Bernoulli試驗中，令X為首次成功的等待時間，則“X=k”“前k-1次試驗全不成功且第k次成功”，即P(X=k)=，q=1-p，顯然，則X12…k…Ppqp…qk-1p…稱為幾何分佈。§2離散r.v的概率分佈命題：X服從幾何分佈P(X＞m+n︱X＞m)=P(X＞n)(無記憶性)5．超幾何分佈（補充）一批產品共有n件正品，m件次品，現在(n+m)件中任抽k件檢查，記其中次品數為X，則

，§2離散r.v的概率分佈例：設魚塘中共有魚N條，一段時間後，從中捕出

t條，加上標誌後放回，再經一段時間後，從中捕出n條，問其中有s條帶有標誌的概率。

解：§2離散r.v的概率分佈6．巴斯卡分佈（補充）

考察可列重貝氏試驗中第r次()成功的等待時間

Xr，Xr取值為k=r，r+1，…(Xr=k)=(前k-1次試驗中恰有r-1次成功，且第k次也成功)

稱Xr服從參數為r，p的巴斯卡分佈，或稱負二項分佈。§2離散r.v的概率分佈概率論中著名的例子：Banach火柴問題某人口袋中有兩盒火柴，開始時每盒各有n根，每次他從口袋任取一盒火柴只使用其中一根火柴，求他掏出一盒發現為空盒，而另一盒中剩餘r根的概率p。解：記事件A：“掏出甲盒已空而乙盒剩餘r根”由對稱性知p=P(A)×2=2P(A)

記以取出甲盒為“成功”，由題意知這是p=0.5的多重

Bernoulli試驗。又因為A=｛第n+1次成功（掏出甲盒）出現在第2n-r+1次試驗中｝故由巴斯卡分佈得到§2離散r.v的概率分佈火柴問題（續）：

r可取0到n，故必有（利用，）

或寫令k=n-r，注意到r從0變到n，則k從n變到0

故有此式就是某些書中要證明的利用概率論想法欲證的恒等式。

§3r.v的d.f

定義：設X是一r.v，，則稱

F(x)=P(Xx)=P(X)為r.vX的d.f。它具有如下性質：

(1)F(x)是單調不減，即若，則事實上，F(x2)-F(x1)=P()-P()=P()0

(2)F(x)是右連續，即§3r.v的d.f性質(2)的證明：∵F(x)單調不減∴只須對一列單調下降數列x0＞x1＞…＞xn

成立即可。∵F(x0)-F()=P(＜X≤x0)

∴

即F(x)在每一處右連續，由任意性知F(x)是右連續。注：有的書定義F(x)=P(X＜x)，它是左連續。§3r.v的d.f

(3)0F(x)1，且

有d.f定義，可用它表示某些事件的概率：

(a)(b)若，則

(c)(d)(e)§3r.v的d.f對離散型r.vX，其分佈規律為

Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…

對任意，F(x)=P(X≤x)=例：設盒中有10個晶片，其中6個正品4個次品，現從中任取一個測試，直到4個次品均找出來為止，求所需測試次數X的分佈律及d.f。解：由題意，X取值為4—10，且是不放回取樣

P(X=k)=，§3r.v的d.f解（續）：即有分佈律：X45678910P

利用

§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)

若一非負函數f(x)，，使r.vX的d.fF(x)有，則稱r.vX為連續型r.v；F(x)是X的d.f，而f(x)為X的分佈密度（概率密度）函數。由定義可知f(x)有以下性質：（見書P51）

1°f(x)≥0

2°§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)

性質（續）：

3°，

4°在f(x)的連續點x處，有

0＜＜1=f(x)§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)例：若r.vX的分佈密度（d.l）為

求數K及P(X＞0.1)。

解：從1=

∴P(X＞0.1)=§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)對連續型r.vX，如何求P(X=c)?∵

∴P(X=c)=0

但是“X=c”不一定是不可能事件cdba§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)幾個重要的連續型r.vX的分佈：一．均勻分佈其分佈密度與d.f為

而且若，則

P(c＜X＜d)=f(x)x§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)二．(負)指數分佈其d.l與d.f各為：

§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)三．正態（高斯）分佈

其d.l與d.f各為：

記為

令，則為標準正態分佈

此時

如，則寫成§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)在P439，表2，比如，查，

x451.60.94950.9505例：已知X～N(1，4)，求P(0＜X≤1.6)

解：

P(0＜X≤1.6)=P(＜≤)

§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)例（續）：利用∵

∴P(0＜X≤1.6)==0.6179-1+0.6915=0.3094§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)設X～N(0，1)，若滿足

稱為N(0，1)的上側百分位點。比如：Z0.05=1.645，Z0.005=2.575（∵），

Z0.001=3.1§4連續型r.v及其分佈密度(d.l)如一數Z0使得P(＞Z0)=∵P(＞Z0)=2P(X＞Z0)=P(X＞Z0)=∴Z0=，即P(＞)=

稱為N(0，1)的雙側百分位點。

比如：Z0.025=1.96（∵），Z0.0025=2.81§5r.v函數的分佈例1：設，求的d.f和d.l

解：記X，Y各自的d.f與d.l為FX、FY與fX、fY，則有

1°若＞0，則於是

2°若＜0，則於是

§5r.v函數的分佈例1（續）：綜合得到

即此例說明正態（高斯）r.v的線性函數也是正態的。一般地，對Y=g(X)，諸如，sinX，tanX，eX，等。§5r.v函數的分佈定理1：設X是具有d.l為fX(x)的連續r.v，又設

y=g(x)處處可導，且x，有＞0

（或＜0）則Y=g(X)是一連續型

r.v，其d.l為

其中h(y)=g-1(y)，

§5r.v函數的分佈證明：由於＞0（或＜0），故g(x)單調，從而反函數h(y)存在且唯一，且h(y)在上單調可導。先設＞0，則Y的d.f為FX(h(y))

於是，Y的d.l為，＜y＜再設＜0，則Y的d.f為

§5r.v函數的分佈證明（續）：此時，Y的d.l為，＜y＜對其他的y，fY(y)=0。由此得證定理注：若g(x)在[a，b]以外為0，只需設在[a，b]上有＞0（或＜0）及

，§5r.v函數的分佈例2：已知r.v，試求Y=tan的d.l

解：記y=tan，則（∵＞0），注意到及

故Y=tan的d.l為

這就是Cauchy分佈（柯西分佈）§5r.v函數的分佈例3：設X～N(0，1)，試求Y=X2的d.l

解：當y≤0時，P(X2≤y)=0

當y＞0時，

∴(y＞0)

即這是自由度為1的分佈§5r.v函數的分佈例4：設X～U[0，]，求Y=sinX的d.f，d.l

解：∵X[0，]，∴Y[0,1]

由圖，y[0,1]，知

FY(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)

∴

Sin-1y0sinxy1x§5r.v函數的分佈

有例3、例4可寫出更一般的命題：定理2：設r.vX的d.l為fX(x)，又函數g(x)在不相互重疊的區間I1，I2，…上逐段嚴格單調，其反函數分別為

h1(y)，h2(y)，…，並且存在連續的導函數，，…，則Y=g(X)是連續型r.v，其d.l為

§5r.v函數的分佈關於的一點注記：

1°r.vX的d.f至多有可數多個間斷點。

2°r.v除離散、連續型外，還有一種稱謂奇異型的r.v，其特點是其d.f為連續函數，但是沒有d.l，即d.f不能用一個函數的不定積分來表達。

3°任一個分佈可唯一分解成：

F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+a3F3(x)

離散連續奇異多維r.v及其分佈

outline§1二維（元）r.v§2邊緣（際，沿）分佈§3條件分佈§4相互獨立的r.v§5兩r.v函數的分佈§1二維（元）r.v定義：設(X，Y)是二維r.v，，稱

F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)

為二維r.v(X，Y)的二維（或聯合）d.fF(x，y)的性質：1°F(x，y)關於x（或y）是不減的2°0≤F(x，y)≤1，而且

§1二維（元）r.v3°4°若x1＜x2，y1＜y2，則

P(x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2)=F(x2，y2)-F(x2，y1)-F(x1，y2)+F(x1，y1)≥0xy(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)x1x2y2y1§1二維（元）r.v若(X,Y)所有可能取值是有限或可列的，稱(X,Y)是二維離散r.v。假定(X,Y)可能取值為（ai,bj），i,j≥1

記而且，稱｛pij，i,j≥1｝為(X,Y)的二維概率分佈。

Ypb1b2b3

…bk

…bj

…Xa1p11p12p13…p1k…p1j

…a2p21p22p23

…p2k

…p1j…a3

︰al

……︰aipi1pi2pi3

…pik

…pij

…︰……§1二維（元）r.v例1：在1-21個數字中任取一數，觀察：1°偶數；

2°能被3整除。解：若此數為偶數，令X=1，否則X=0；若此數能被3整除，令Y=1，否則Y=0。∵數6、12、18即是偶數，又被3整除數2、4、8、10、14、16、20是偶數，不能被3整除數3、9、15、21不是偶數，但能被3整除數1、5、7、11、13、17、19是奇數，不被3整除

∴

§1二維（元）r.v解（續）：XY0101

§1二維（元）r.v二維離散型r.v(X，Y)的聯合d.f為

對二維(X，Y)，其聯合d.f為F(x，y)，若存在非負的f(x，y)使得

則稱f(x，y)為(X，Y)的二維（聯合）d.l，此時稱(X，Y)為二維連續r.v。§1二維（元）r.vf(x，y)有性質：1°f(x，y)≥02°3°若f(x，y)在點(x，y)連續，則

4°對平面上任一區域G，有

§1二維（元）r.v例2：設二維r.v(X，Y)的二維d.l為

求：1°F(x，y)，2°P（）

解：1°

§1二維（元）r.v解（續）：2°

§1二維（元）r.v若二維r.v(X，Y)的二維d.l為

則稱(X，Y)服從二維正態分佈，記為

一般地，若(X1,X2,…,Xn)是n維r.v（隨機向量），稱為(X1,…,Xn)的n維d.f，它有以下性質：

§1二維（元）r.v1°對每一xi，是單調不減的2°對每一xi，是右連續的3°4°對任意中，，有

§1二維（元）r.v對連續型r.v，若有n維非負函數f(x1，…，xn)使有

且在n維連續點(x1，…，xn)處有

§2邊緣（際，沿）分佈設二維r.v(X，Y)的d.f為F(x,y)，r.vX、Y的d.f各記作FX(x)、FY(y)，分別稱為(X，Y)關於X、Y的邊緣d.f。

F(x,y)與FX(x)、FY(y)之間關係如下：1°離散型記，則§2邊緣（際，沿）分佈

此外

所以

同理

所以

各稱為(X，Y)關於X與Y的邊緣分佈。§2邊緣（際，沿）分佈例1：已知(X，Y)：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pij

則(X，Y)關於X與Y的各自邊緣分佈為

X01Y01

§2邊緣（際，沿）分佈一般地，若有如下分佈：

ypy1y2y3

…yj

…Xx1p11p12p13

…p1j

…

x2p21p22p23

…p1j

…

︰xipi1pi2pi3

…pij

…

︰……

§2邊緣（際，沿）分佈2°連續型設二維r.v(X，Y)的d.l為f(x,y)，則稱

各為(X，Y)關於X和Y的邊緣d.f。

而；各為(X，Y)關於X和Y的邊緣d.l。§2邊緣（際，沿）分佈例2：（見書中例3），已知(X，Y)的二維d.l為

求：fX(x)（見書）；

解：∵

§2邊緣（際，沿）分佈解（續）：∴

令，

則

即§3條件分佈一、離散型

設r.vX，Y各有離散分佈為

Xx0，x1，x2

…Yy0，y1，y2

…Pp0，p1，p2

…Pq0，q1，q2

…

而(X，Y)的二維分佈為pij=P(X=xi，Y=yj)(X，Y)關於X、Y各自邊緣分佈記為，i=0,1，…

，j=0,1，…§3條件分佈對於任意i，j，設＞0，則稱

為在Y=yj

的條件下關於X的條件分佈。稱

為在Y=yj條件下關於X的條件d.f。同理，可定義在X=xi條件下關於Y的條件分佈與條件d.f。§3條件分佈例1：在1-21個數字中，若已知取出的是偶數，求取出的這個數能被3整除的概率。解：按題意，在1-21個數字中共有10個偶數，能否被3

整除的分佈為

§3條件分佈例2：設某射手進行射擊，命中率為p(0＜p＜1)，射擊進行到擊中目標兩次為止。設X表示第1次擊中目標的射擊次數，Y表示總共進行射擊次數。求(X，Y)的二維分佈及條件分佈。解：∵P(X=m，Y=n)=p2qn-2(q=1-p)m=1,2,…,n-1，n=2,3,…

而

§3條件分佈例2（續）：

∴

§3條件分佈二、連續型此時，∵P(X=x)=(Y=y)=0，故需引進另外的定義：設＞0，＞0。若存在極限則稱此極限為在Y=y條件下關於X的條件d.f，記為或P(X≤x︱Y=y)

同理，可定義§3條件分佈若(X，Y)存在二維d.lf(x，y)，且f(x，y)在(x，y)處連續，又(X，Y)關於Y的邊緣d.lfY(y)連續且大於0，則有

其中稱為在Y=y條件下關於X的條件d.l。§3條件分佈例3：考察雲霧寶中粒子的衰變，設某粒子到達衰變的時間X是r.v，服從參數為y的負指數分佈，但不同的粒子，y是不同的。設參數y是某一r.vY的特定值，而Y服從(Gamma)分佈，即其中，且，§3條件分佈

例3（續）：於是X具有以下的條件d.l，求X的d.lfX(x)。

解：為求X的d.lfX(x)，先求(X，Y)的二維d.lf(x，y)，即當y＞0時，有

§3條件分佈例3（續）：從而，當x＞0時，就有

§3條件分佈例3（續）：當x≤0時，∵∴總之有例4：設(X，Y)～N()，試求解：∵§3條件分佈例4（續）：∴

即它服從N（）§4相互獨立的r.v

設二維r.v(X，Y)的聯合d.f為F(x,y)，又(X，Y)關於X、Y各自的邊緣d.f為FX(x)和FY(y)，如果有

即則稱r.vX與Y相互獨立。§4相互獨立的r.v

當(X，Y)是二維連續型r.v，即其二維d.l為f(x,y)並且關於X、Y各自的邊緣d.l為FX(x)與FY(y)，於是從推知§4相互獨立的r.v

當(X，Y)是二維離散型r.v時，即有二維分佈律：，關於X、Y各自的邊緣分佈為，，則X與Y相互獨立的充要條件是對一切i,j有即§4相互獨立的r.v例1：設二維r.v(X，Y)的聯合分佈為

123

1

2

試求，使得r.vX與Y相互獨立。§4相互獨立的r.v解：由題意知r.vX與Y各自的邊緣分佈為

X12Y123

由於X與Y相互獨立故從及可得

及

解出，

§4相互獨立的r.v例1（續）：此時有，，，，∴X與Y相互獨立例2：考察二維正態r.v(X，Y)有二維d.l為

§4相互獨立的r.v例2（續）：但是，(X，Y)關於X或Y的各自邊緣d.l為

，

故欲使X，Y相互獨立特別取，代入得到

§4相互獨立的r.v

一般地，對於n維r.v(X1,X2,…,Xn)的n維d.f為F(x1,x2,…,xn)，它關於X1,X2,…,Xn各自的邊緣d.f為如果有則稱X1,X2,…,Xn相互獨立。§4相互獨立的r.v

若記m維r.vX=(X1,…,Xm)與n維r.vY=(Y1,…,Yn)各自的m維或n維聯合d.f為F1(x1,…,xm)或F2(y1,…,yn)，而m+n維r.v(X1,…,Xm,Y1,…,Yn)的聯合d.f為F(x1,…,xm；y1,…,yn)

當F(x1,…,xm；y1,…,yn)=F1(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)時，則稱m維r.vX與n維r.vY相互獨立。§4相互獨立的r.v命題：設X=(X1,…,Xm)與Y=(Y1,…,Yn)是兩相互獨立的m維r.v與n維r.v，則Xi與Yj（，）是相互獨立的；若h(x1,…,xm)與g(y1,…,yn)是兩任意m元與n元連續函數，則h(X1,…,Xm)和g(Y1,…,Yn)是相互獨立的。例：設二維r.v(X，Y)有d.l為試問A,b,c,a滿足什麼條件，使得X與Y相互獨立。§4相互獨立的r.v解：∵令

∴§4相互獨立的r.v例（續）：同理

為使X、Y相互獨立，要求f(x,y)=fX(x)fY(y)

即兩邊比較相應的參數a,b,c,A得到，b=0

所以在與b=0條件下，X與Y相互獨立§5兩r.v函數的分佈一、Z=X+Y的分佈設(X,Y)有二維d.l為f(x,y)，則Z=X+Y的d.F為

固定z,x，令u=y+x，du=dy，則∴§5兩r.v函數的分佈

或當X、Y獨立時，∵f(x,y)=fX(x)fY(y)

此時例1：（見書例1）X～N(0，1)，Y～N(0，1)，且Z、Y

獨立，求Z=X+Y的d.l。解：

§5兩r.v函數的分佈例1（續）：∵∴

即Z～N(0，2)§5兩r.v函數的分佈一般，若，且X1,X2,…,Xn相互獨立，則二、M=max(X,Y)與N=min(X,Y)的分佈

當X、Y相互獨立時，

§5兩r.v函數的分佈

此外，若X、Y是同分佈（即X、Y是i.i.d）則

y§5兩r.v函數的分佈三、的分佈

但因

令u=(y＞0)則dx=ydu

∴上式

G1xG2§5兩r.v函數的分佈

同理令u=(y＜0)則dx=ydu

上式∴§5兩r.v函數的分佈當X、Y相互獨立時例：已知(X,Y)的二維d.l為

求：的d.l§5兩r.v函數的分佈

解：當z＞0時，

當z≤0時，四、Z=XY

其d.l為

由z=xy得，

隨機變數的數字特徵Outline第一節數學期望（或均值）第二節方差第三節協方差與相關係數第四節矩、協方差矩陣第一節數學期望

以足球比賽為例，某隊贏得3分，平得1分，輸得0分。如該隊共賽N場，其中a0場贏，a1場平，a2場輸，平均每場比賽得分為記x0=3，x1=1，x2=0，則上式可寫為

當比賽次數N充分大時，

∴當N充分大時，第一節數學期望定義：設r.vX有分佈律為

Xx1x2…xk…pp1p2…pk…

若，則稱是X的均值或期望，

記為。例1：某人用n把鑰匙去開門，其中只有一把能開門上的鎖，今逐個任取一把試開，求打開此門所需開門次數X的均值和EX2，假設1)打不開的鑰匙不放回；2)打不開的鑰匙仍放回。第一節數學期望例1（續）解：1)打不開的鑰匙不放回，此時所需開門次數X可能取值為

1,2,…,n。因為X=i表明從第一次到第i-1次均未打開門，第i

次才打開。又每次抽取鑰匙是相互獨立的，每次試開門上的鎖被打開的概率均為，∴X的分佈律為X123…np…

第一節數學期望例1（續）解：2)由於試開不成功，鑰匙仍放回，故有各次抽取鑰匙的獨立性可得，k=1,2,…

於是

同理

第一節數學期望例2：設r.vX有分佈律為

(a＞0)，k=0,1,2,…

求：

若r.vX是連續型，即存在d.l為f(x)。當時，稱為r.vX的期望（均值），記為。更一般地，稱為r.vX的期望或均值。第一節數學期望例3：設，求EX。解：∵

∴

令，

上式

第一節數學期望一般，g(x)=x2，sinx，lnx等，如何求Y=g(X)的期望，見書P115.Th.

或此外，若Z=g(X,Y)=，而(X,Y)有二維d.l為

f(x,y)，則

若(X,Y)有分佈律，則，第一節數學期望例：設，求EX2。解：

令，，∴

但是

故特別，當X～N(0，1)第一節數學期望

數學期望的性質：1°E(C)=C2°E(CX)=CEX3°兩r.vX、Y，E(XY)=EXEY

左

，推廣：第一節數學期望

數學期望性質（續）4°若r.vX，Y相互獨立,（即f(x,y)=fX(x)fY(y)）則

推廣：（若X1，…Xn相互獨立）第一節數學期望例：有n張信紙，分別標號為1,2,…,n，且有n個信封也同樣標號，今將每張信紙任意裝入一信封，若標號為k的信紙裝入標號為k的信封，稱為一個配對，記配對個數為，求。解：記，故

∵，，

∴

故第一節數學期望例：已知r.vX的d.l為求EX。解：

令，則

第二節方差實際問題中，不僅需要知道r.vX的期望EX，還需要知道r.vX與EX之偏離程度常用E[X-EX]來描述，但E[X-EX]=EX-E(EX)=0，故考慮或E[X-EX]2。定義：若存在r.vX的期望EX，且存在E(X-EX)2，稱它為r.vX的方差，記為DX或。稱或為X的標準差（均方差）。第二節方差當X是離散型時，記pk=P(X=xk)，k≥1，則

當X是連續型時，X的d.l為f(x)，則由r.v的函數期望公式有

而且第二節方差書例5：已知r.vX的d.l

求EX，DX。解：

∴第二節方差例1：設，求DX。解：已知，∴例2：設r.vX,Y相互獨立且均服從N(0,1)，令求EZ和DZ。解：由題意知(X,Y)的二維d.l為

∴第二節方差例2（續）

故第二節方差方差的若干性質：1°DC=02°D(CX)=C2DX3°X,Y是兩r.v，則

D(X+Y)=E[(X+Y)-EX-EY]2=E[(X-EX)+(Y-EY)]2=E(X-EX)2+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E(Y-EY)2=DX+DY+2E[(X-EX)(Y-EY)]=DX+DY+2[E(XY)-]

當X,Y相互獨立時，D(X+Y)=DX+DY一般，若r.vX1,X2,…,Xn相互獨立，則

第二節方差4°車比雪夫不等式（Chebyshev），＞0，有

事實上

a．e-----幾乎處處5°記，則DX=0的充要條件是或方差性質5的證明證明：由性質1°直接推得∵DX=0，故由性質4°知有

於是

∴

車比雪夫不等式的應用，記，，則∵

∴

從

第三節協方差與相關係數

已給二維r.v(X,Y)，稱

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-

為r.vX與Y的協方差；

稱為X與Y的相關係數。

由方差性質3°知D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)第三節協方差與相關係數Cov(X,Y)的性質：1°cov(X，Y)=cov(Y，X)2°cov(aX,bY)=abcov(X,Y)3°cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)

事實上，左邊=E[(X1+X2-EX1-EX2)(Y-EY)]=E[(X1-EX1)(Y-EY)]+E[(X2-EX2)(Y-EY)]=右邊第三節協方差與相關係數命題1：對r.v，當，時有

-------許瓦茲不等式或證法1：實數t，令

於是判別式

移項即得所證第三節協方差與相關係數證法2：當a≥0，b≥0時，有令，

兩邊取期望得∴證法3：從移項即得第三節協方差與相關係數命題2：記是X與Y的相關係數，則(1)

依概率1X與Y線性相關或

即使有第三節協方差與相關係數命題2（續）證明：(1)在命題1中令，

則

∴第三節協方差與相關係數命題2（續）證明：(2)即

有重根t0，即

又因

∴（方差的性質5°）

其中，當時，稱X與Y互不相關第三節協方差與相關係數命題3：對r.vX，Y，下列四條等價1°cov(X,Y)=02°X，Y互不相關3°4°D(X+Y)=DX+DY證明：1°與2°等價由定義可得由cov(X,Y)=EXY-知1°與3°等價由D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)知1°與4°等價第三節協方差與相關係數命題4：若X與Y是獨立r.v，則X與Y互不相關，反之不真。證明：∵X與Y獨立，故∴cov(X,Y)=0

再由命題3知X、Y互不相關反之請看下例第三節協方差與相關係數例3：設(X,Y)在單位圓G=｛(x,y)：x2+y2

＜1｝上服從均勻分佈，可證。證明：(X,Y)的二維d.l為

第三節協方差與相關係數例3（續）

∴

但因

左邊=0，右邊＞0（思考）∴X,Y不獨立第三節協方差與相關係數

當且僅當(X,Y)服從二維正態（高斯）分佈時，X

與Y的互不相關性和X與Y的相互獨立性是等價的。即

即

第四節矩、協方差矩陣

定義：若EXk(k≥1)存在，稱ak=EXk為X的k階原點矩（或k階矩）。若(k≥1)存在，稱為X的k階絕對原點矩（或k階絕對矩）。若(k,l≥1)存在，稱它為X,Y的k+l階混合（原點）矩。若(k,l≥1)存在，稱它為X,Y的k+l階混合絕對（原點）矩。第四節矩、協方差矩陣

定義（續）若EX存在，且E[X-E(X)]k(k≥1)存在，稱

bk=E(X-EX)k為X的k階中心矩。若EX存在，且(k≥1)存在，稱它為X的k階絕對中心矩。若EX、EY存在，且(k,l≥1)存在，稱它為X，Y的k+l階混合中心矩。若EX、EY存在，且(k,l≥1)存在，稱它為X，Y的k+l階混合絕對中心矩。第四節矩、協方差矩陣絕對矩有性質：1°若，則對0≤s＜r，有2°Markov不等式：設，則＞0

原點矩ak與中心矩bk之間的關係

故有b