对合矩阵的判定及几何意义_第1页
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对合矩阵的判定及几何意义_第3页
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对合矩阵设为矩阵，那么以下条件都是为对合矩阵的充要条件：〔1〕。〔2〕为对合矩阵。〔3〕为对合矩阵。〔4〕(5)矩阵相似于形如的方阵。证明〔1〕：由对合矩阵的定义，显然成立。〔2〕：为对合矩阵为对合矩阵。〔3〕：为对合矩阵，即。那么〔由〔1〕〕即为对合矩阵。为对合矩阵，即〔*〕得有〔*〕式两端同时式乘以，右乘以，得即故为对合矩阵。〔4〕：考察矩阵〔*〕对〔*〕式作分块矩阵的初等变换由初等变换不改变矩阵的秩有即所以，即〔5〕：由以上两个命题，可得，任一对合矩阵必相似于形如的方阵矩阵相似于即可逆矩阵，使得那么所以为对合矩阵。命题1、矩阵的特征值等于矩阵的特征值的平方。证明：设的所以特征值为可知那么证毕。命题2、假设为对合矩阵，那么的特征值为+1或—1.注意：反之不成立：同理，有命题3、假设矩阵适合，那么必可对角化。命题4、设，都是对合矩阵，那么积是对合矩阵的充件条件是与可交换。命题5、与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵。命题6：如果是幂等矩阵，那么是对合矩阵。命题7、一方阵如果有以下三个性质中的任何两个性质，那么必有第三个性质：对称阵；正交阵；对合阵。例6数域F上的n维向量空间V的一个线性变换A叫做对合变换，如果，.设A是V的一个对合变换.求证：A的特征根只能是.，其中是A的属于特征根1的特征子空间，是A的属于特征根-1的特征子空间.[4]对合变换的几何意义：是线性空间关于某子空间平行于某补子空间的反射。换句话说：，并且如果；。例、设为数域上矩阵，关于矩阵的加法和数乘作成的线性

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