不等式教案《简单的线性规划问题(第一课时)》新授课详细教案

第三章不等式

3.3.2简单的线性规划问题

（第一课时）

【创设情景引入新知】

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.如:

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小

时，每生产一件乙产品使用4个8产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A

配件和12个B配件，按每天工作8小时计算。据此考虑以下问题：

（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？

（2）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利

润最大？

【探索问题形成概念】

我们首先利用上一节课所学知识考虑问题（1）

列出满足条件的不等式组并根据所列出的不等式组画出平面区域.

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：

画出不等式组所表示的平面区域:

x+2j<8,

4x<16,

-4y<12,(1)

x>0,

y>o.

如图，图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)共有18个：(0,0),(0,1),(0,

2),(0,3)；(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)；(2,0),(2,1),(2,2),

(2,3)；(3,0),(3,1),(3,2)；(4,0),(4,1),(4,2).

它们就代表所有可能的H生产安排，即当点P(x,y)在上述平面区域中时，所安排的

生产任务x、y才有意义.

问题(1)解决了，那么问题(2)怎么处理呢？

我们不妨设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z,则z=2x+3y.这样，上

述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？

把z=2x+3y变形为y=2+三z，这是斜率为-：2，在y轴上的截距为、z的直线.当z变化

时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一

2Q7

个点，(例如(1,2)),就能确定一条直线(y=--%+-),这说明，截距一可以由平面

-333

2z

内的一个点的坐标唯一确定.可以看到，直线y=--x+—与不等式组(1)的区域的交点

33

7

满足不等式组(1),而且当截距W最大时，Z取得最大值.因此，问题可以转化为当直线

3

y=2+*z与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时.，在区域内找一个点P,使直线

33

经过点P时截距三最大.

3

2z

由上图可以看出，当实现y=+］经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M(4,2)时，

7I4

截距一的值最大，最大值为一，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件

33

时，工厂可获得最大利润14万元.

结合以上的探究我们学习一下线性规划的有关概念：

1.线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都

是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.

2.目标函数：我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函数(objectivefunction),又

因这里的z=2x+3y是关于x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数(linear

objectives).

3.线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统

称为线性规划问题.

4.可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解组成的集合叫做可行域.(可行域就是二元一次不等式组表示的平面区域，可

行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域)

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

:探究"

在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应

当如何安排生产才能获得最大利润？

如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，则生产利润的目

3z

标函数为z=3x+2y,即产—x+一，作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（4,2）

-22

时，直线与y轴的交点最高，即X=4,y=2时，Z取最大值，且Zmax=16.

;探究2：

如果每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润

最大？

如果每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利4万元，则生产利润的目标函

1z

数为z=2x+4y,即产一x+一,作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（2,3）或（4,

24

2）时，直线与y轴的交点最高，即x=2,y=3或x=4,y=2时，z取最大值，且Zmax

=16.

;探究3：

如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润

最大？

如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利4万元，则生产利润的目

1z

标函数为z=x+4y,即产—x+一，作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（2,3）

44

时，直线与y轴的交点最高，即X=2,y=3时，Z取最大值，且Zmax=14.

!归纳思考：

由上述分析探究过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

最优解与可行域之间的关系：

@可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也

可以是一侧开放的无限大的平面区域.

②如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，

最优解一般就是多边形的某个顶点.到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：

一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是。当表示线性目

标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个.

【解疑释惑促进理解】

难点一、如何解线性规划问题

（-）解线性规划问题的一般步骤：

1.在平面直角坐标系中作出可行域；

2.在可行域内找到最优解所对应的点；

3.解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值.

（二）在可行域内寻找最优解所对应的点的方法：

1.画出目标函数值z=ax+by=O（即过原点）时的目标函数等值线；

2.判断使目标函数值得到改进的目标函数等值线的移动方向；

3.沿所判断的改进方向，将目标函数等值线平行推移至可行域的边界，且任何继续推移将使

可行域内无点在等值线上时停住.此时，目标函数等值线上与可行域相切的哪些点，就对应

着该线性规划问题的最优解.如果沿所判断的改进方向，平移目标函数等值线的过程永无止

境，则意味着该线性规划问题目标函数值无界，它没有最优解，图解法停止.

x-4y<-3

【例题】设z=2x+y,求满足，3x+5y«25时，求z的最大值和最小值.

%>1

【思路】作出不等式表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，利用平移法得到最优解，

求出最大值和最小值.

x-4y<-3

【解答】步骤(1).先作出，3x+5yK25所表示的区域.

x>\

步骤(2).作直线%:2x+y=0；

步骤⑶作一组与直缄平行的直线Z:2x+y=t,teR-

直线L越往右平移,t随之增大.以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(l,1)的

直线所对应的t值最小.

Zmax=2x5+2=12,Zmin=2xl+l=3

【反思】在作出目标函数对应的直线时务必注意直线的斜率与线性约束条件中不等式对应的

直线的斜率的大小关系.

【指导运用综合拓展】

'4x+3y-20<0,

【例题】设z=7x+5y式中的变量x、y满足下列条件<x—3y—2W0,求z的最大值.

xeN*,y£N*.

【思路】先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的X、yeN*,故只是可行

域内的整数点，然后作出与直线7x+5y=0平等的直线再进行观察.

【解答】作出直线，i：4x+3y—20=0和直线Jx-3y-2=0,得可行域如图所示.

、，4x+3y-20=0…224

解方程组4得交点A（——，一）.

x—3y-2-055

又作直线/：7x+5y=0,平等移动过点A时，7x+5y取最大值，然而点A不是整数

4

点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为7x+5y=34g,应考虑可行域中距离

4

直线7x+5y=34《最近的整点，即8(2,4),有z⑻=7x2+5x4=34,应注意不是找距

点A最近的整点，如点C(4,l)为可行域中距A最近的整点，但z©=7x4+5x1=33,

它小于A©,故z的最大值为34.

【反思】由于点A不是整点在可行域中寻找满足条件的

整点时，不能以与A点的距离为依据，应以与过点A的直线1

的距离为依据，从图可知整点C(4,l),距点A最近然而Sc=

7x4+1x5=33,而点C至山的距离%=*,点B至山的距离为

<74

4

(=工，因此应舍C而取B.用数形结合的观点看直线l：7x

<74

+5y=t在y轴上的截距为只有过可行域中与直线7x+5y

=341距离最近的点，在y轴上的截距（才最大，即t最大，使

S=7x+5y达至U最大值.

【小结归纳自主建构】

⑴作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等

式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集.

⑵作出目标函数的等值线.在可行域内平行移动目标函数等值线.从图中能判定问题有唯

一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解.

⑶求出最终结果.

【反馈学习，查缺补漏】

本节课我们主要学习了线性规划问题的图解法-利用平面区域求目标函数的最值，

注意线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。

求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义一一在y轴上的截距

或其相反数。

下一节课,我们要进一步掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题,

请大家预习《课时详解》第二十九课时，并思考下列问题：

解答线性规划应用问题的常用步骤是什么？

本课后收集有关线性规划问题的资料并阅读。

【阅读延伸，开阔视野】

如何求非线性目标函数的最值？（一）

我们知道，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划.具有非线性约束

条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支.

高中数学中与线性规划有关的非线性目标函数主要有：斜率型、距离型等.

-、距离型

【例题】已知x+y-520,x+y-10<0.求/+；/的最大、最小值.

【思路】令Z=/+y2,目标函数是非线性的.而2=/+/=口炉+/2）可看做区域内

的点到原点距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题.

【解答】由得可行域（如图所示）为Z=Y+y2=（"*2+,2，,而（0,0）到

x+y—10W0,''

x+y—5=0,x+y—10=0的距离分别为和.

2

【反思】题目中的目标函数是非线性的.解决的方法类似于线性规划问题.可做出图，利用

图进行直观的分析.

x-4y<-3,

【例题】设Z=/+y2,式中的变量％、y满足,3x+5y«25,试求z的最大值、最小值.

X>1.

【思路】作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数Z=/+y2应理解为可

行域中的点与坐标原点的距离的平方.

【解答】作出直线小x—4y+3=0,/2：3x+5y-25=0,0x=l得到如图所示的可行

域.

x-4y+3=0

得A(5,2)

3x+5)，—25=0

x-4y+3=0

由＜得C(1,D

x=l

3x+5y-25=。得风马

由＜

x=l5

由图可知：当（x,y）为点C（l,l）时，z取最小值为2；当（x,y）为点4（5,2）时，z取

最大值29.

X

【反思】若将该题中的目标函数改为z=—,如何来求Z的最大值、最小值呢？请自己探

y

求.（将目标函数理解为点（x,y）与点（0,0）边线的斜率）

课时作业

【补充作业】

1.【选择】【基础】【容易】【求线性目标函数的最大值】设变量x,y满足约束条件

产2y-5W0,

（x-y—2W0,则目标函数z=2x+3y+l的最大值为（）.

17

A.11B.10C.9D.y

【思路】分别求出两两直线的交点，代入目标函数验证即可.

【解答】

：,+2丫-5=0,

他\得（3,1）,2=10；

J\1：-v-2=0,

：由:+2y-5=。;得（°与，

j（r=0,'乙）2

:（-v-2=0,/口

油r《'得（0,—2）,=-5

：Ix.=0,

j=10.选B

【反思】

佥词器露瀛云亍祚画白勺舟后；底须亍漏联耳

一般的数学思想

2.【选择】【基础】【容易】【求线性目标函数的最大值】

2x+y-6^0,

设x,y满足约束条件<x+2y-6W0,则目标函数z=x+y的最大值是()

)20,

A.3B.4C.6D.8

【思路】利用图解法进行求解或求出直线的交点逐一验证.

【解答】不等式组表示的平面区域如图中所示的阴影部分.当直线z=x+y过直线x+2y-6=0

与x轴的交点(6,0)时，目标函数z=x+y取得最大值6.

【反思】作为选择题解法比较灵活，无论是利用直接法还是验证法都要注意运算的准确性.

'2x+y>4,

3.【选择】【巩固】【中档】【判断线性目标函数的最值】设x,y满足<》一丁2-1,则z=x+y

x-2y<2,

()

A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值

C.有最大值3,无最小值D.既无最小值，也无最大值

【思路】先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最

优解，从而求出最大、最小值.

【解答】如下图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此

当z=x+y过点⑵0）时，z有最小值，但z没有最大值.故答案为B.

【反思】首先把二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集,

就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界.求目标函数的最大值或最小值，必

须先求出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求

出最值.一般直线的交点是最值点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行

时，其最优解可能有无数多个.

x+2y-5<0,

2.x+y—4<0,

4.【选择】【巩固】【中档】【判断线性目标函数的最值】若实数x,y满足条件《二

x>0,

目标函数z=2x-y,则（）

A.Zmax—3B.Zmax—1C.Zmax—2D.Zmin—0

35

【思路】利用图解法进行求解，容易得到在4],1）处取得最大值，在（0,万）处取得最小值.

【解答】如图所示,当z=2x-y过4（*31）时，Zmax=2x3/-1=2.

【反思】本题在利用直接法求解时注意目标函数的截距为-z,所以截距最大时z最小，截距

最小时Z最大.

x+y>2,

5.【填空】【基础】【容易】【求线性目标函数的最小值】若实数x,y满足不等式组—y<4,

x-y>Q,

则z=2x+3y的最小值是_____.

【思路】作出可行域，平移目标函数对应的直线，根据截距的几何意义求最小值.

【解答】作出不等式表示的可行域如图所示。

2

【反思】求解本题要注意目标函数的斜率--1,否则就会把最优解求错了.

2x+y-12<0,

6.【解答】【巩固】【中档】【求线性目标函数的最值】若x、y满足条件<3x—2y+1020,求

x-4y+10<0.

z=x+2y的最大值和最小值.

【思路】画出可行域，平移直线找最优解.

11Iz

作直线/:x+2y=z,即y=—^X+QZ,它表示斜率为一,，纵截距为,的平行

直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线/过点时，z取得最大值，当/过

点6时，z取得最小值.

•**Zmax=2+2x8=18zmin=-2+2x2=2

【反思】解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值.

7.【解答】【巩固】【中档】【求线性目标函数的最大值】设变量X,y满足约束条件

"x+yW3,

-x—y^—1,求目标函数z=4x+2y的最大值.

【思路】画出可行域，将目标函数z=4x