2023年江苏省苏州市姑苏区立达中学中考数学一模试卷

2023年江苏省苏州市姑苏区立达中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的

一项）

1.下面几个数中最大的是（）

A.nB.3C.1—71D.-7T2

2.茗=1,则a=（）

A.-1B.1C.±1D.0

3.近日从国家统计局获悉，2022年，苏州全体居民人均可支配收入首边突破7万元大

关，达到70819元，则数据70819用科学记数法表示为（）

A.7.0819x103B.0.70819x10sC.7.0819x104D.70.819x103

4.抛一枚质地均匀的硬币：连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如果第5次抛抛掷

这枚硬币，那么正面朝上的概率为（）

A.JB.1C.ID.1

5.已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1,则该圆锥母线长为（）

A.1B.2C.3D.4

6.关于％的方程（％—1）（%-2）-ni?=o的根的情况是（）

A.有一正一负两个不相等的实数根B.有两个正的不相等实数根

C.至多有一个正的实数根D.至少有一个正的实数根

7.如图，直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D,x轴上一点4关于直线CD的对称点4

坐标为年,4）,则k的值为（）

A.B.-2C.D.

534

8.如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边

形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边

形的面积相等，并且图中线段a的长度为「百-2,则这块地砖的面积为（）

A.50

B.40

C.30

D.20

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.-3的相反数是.

10.因式分解：a2—2a=.

11.下列一组数据5,6,5,6,4,4的平均数是.

12.方程组的解是.

13.已知正六边形的内切圆半径为C，则它的周长为.

14.已知点P是半径为4的。。上一点，平面上一点Q到点P的距离为2,则线段OQ的长

度a的范围为.

15.如图，。、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作。。，点E为。。上一点，

连接CE,交。。于点。，连接8C,若点。恰为线段CE中点，则tanzABD为.

16.如图，已知RtAZBC的两条直角边4C=4,BC=3,

将RtaABC绕着直角边AC中点G旋转，得到ADEF,若A

OEF的锐角顶点。恰好落在AABC的斜边4B上，斜边DE与

AC交于点H,贝UCH=.

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤）

17.（本小题5.0分）

计算：-11-0+1）0+5（-3）2.

18.（本小题5.0分）

解不等式组

19.（本小题6.0分）

先化简再求值：（1+々）.与，其中x=C—2.

20.（本小题6.0分）

小明将三张正面分别印有“范”、“文”、“正”字样的卡片（卡片的颜色、形状、大

小、质地都相同）背面朝上、洗匀.

（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的字样恰好为“文”的概率是.

（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡

片字样不同的概率.（请用树状图或列表的方法求解）

21.（本小题6.0分）

2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组

的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况他们收集了苏州市近五年来4月份

每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

（2）若日平均气温在18K至21国的范围内（包括18汽和21冤）为“舒适温度”，请估计苏

州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数.

22.（本小题6.0分）

如图，点4、B、C、D在一条直线上，EA//FB,EC//FD,4B=CD.求证：EF//AD.

E

23.(本小题8.0分)

如图，从灯塔C处观测轮船4、B的位置，测得轮船4在灯塔C北偏西a的方向，轮船B在

灯塔C北偏东S的方向，且AC=2/2海里，=海里，已知cosa=?、sinp=

如图，以x轴上长为1的线段为宽作矩形4BCD,矩形长4。、BC交直线y=—x+3于

点八E,反比例函数y=；(x>0)的图象正好经过点F、E.

(1)线段EF长为；

(2)求k值.

25.(本小题10.0分)

我们给出定义：如果三角形存在两个内角a与/?满足2a+夕=90。，那么我们称这样的三

角形为“准互余三角形”.已知AaBC为“准互余三角形”，并且乙4>NB>ZC.

(1)如图①，若NB=60。且4B=/3,求边BC的长；

(2)如图②，>45°,以边4c为直径作。0,交BC于点。，若BD=2,BC=7,试

26.(本小题10.0分)

如图，二次函数的图象分别交x轴于点4(—1,0)、点8(码0),交y轴于点C(0,/n)(其中m>

1),连接AC、BC,点D为△ABC的外心，连接力D、BD、CD.

(1)这条抛物线的表达式为(用m的代数式表示)；

(2)若△CDB的面积为.，请求出ni的值；

(3)在(2)的条件下，连接OD,在直线BC上是否存在一点P,使得以点B、D、P为顶点

的三角形和△4。。相似，若存在，求出点P的纵坐标，若不存在，请说明理由.

27.(本小题12.0分)

如图①，点E为矩形4BCD中较短边AB上一任意点，连接DE,在4。上方以DE为边作正

方形DEFG,分别连接CE、CF、CG,F与BC交于点H,若△ECD的面积y1与BE的长度x

的函数关系的图象如图②中直线的一部分，正方形DEFG的面积丫2与BE的长度x的函数

关系的图象如图②中抛物线的一部分.

⑴①矩形4BCD的面积=:

②求出矩形4BCD的周长；

(2)E、C、G三点能否共线，若能，求出此时x的值，若不能，请说明理由；

(3)连接FB,令^BFE的面积为Si，4CEF的面积为S2，当x为间值时，弱取得最大值?

此时NFCB和NCGC是否相等？请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：3<7T<4,

—4<—7T<—3,9<兀2<16,

-3<1―71<—2,—16<—兀？<—9,

7T>3>1—7r>—n2,

•••所给的几个数中最大的是兀.

故选：A.

首先比较出兀、1-兀、-*的取值范围，然后根据有理数大小比较的方法判断即可.

此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0;②负

数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.

2.【答案】B

【解析】解：•・•，7=1,

•••a=I2=1.

故选：B.

根据a=（，W）2,求出a的值即可.

此题主要考查了算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：a=（，W）2.

3.【答案】C

【解析】解：70819=7.0819x104.

故选：C.

科学记数法的表示形式为axIO71的形式，其中1<⑷<io,正为整数.确定n的值时，要看

把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对

值210时，九是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1<|a|<

10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】D

【解析】解：•.•概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件4发生的频率

:会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件4的概率，

.•・抛掷硬币4次的结果不是事件的概率，

••・抛掷一枚质地均匀的硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，

•••硬币正面朝上的概率都是今

故选：D.

直接利用概率的意义分析得出答案.

此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键.

5.【答案】B

【解析】解：设该圆锥母线长为E,

根据题意得27rxi=嚓手，

loU

解得2=2,

即该圆锥母线长为2.

故选：B.

设该圆锥母线长为I,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到27rxi=竺寒型，然后解方程即

loU

可.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长.

6.【答案】D

【解析】解：方程整理得：x2-3x+2-m2=0,

4=9—4(2—m2)—4m2+1>0,

方程有两个不相等的实数根，

・••方程的两个根和为3>0,

...至少有一个正的实数根，

故选：D.

方程整理后，表示出根的判别式，然后根据根与系数的关系判断即可.

此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：连接44',交于点P,连接4。、4。、

A'C,

••,直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D,

■■■D(0,4),

•••点4坐标为年,4),

：.A'D//AC,

1o

AA'D=y,OD=4,乙A'DP=4ACP,

由题意可知，AD=A'D,AC=A'C,CD垂直平分44',

PA=PA',

•:Z.A'PD=乙APC,

-.AA'PD^^APC(ASA),

.-.A'D=AC,

•••四边形4n4'C是菱形，

13

vAD^AC=y,

•••OA=VAD2-OD2=I，

・・・0C=O4+54C13=/¥=6,

・•・C(6,0),

•・,直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D,

・••6k+4=0,

解得k=_宗

故选：c.

连接44',交CD于点P,连接2D、AD、AC,与4'、D的坐标可知AD〃4C,即可得到A。=y,

OD=4,乙4'0P=乙4CP,与对称的性质得到4。=A'D,AC=A'C,CD垂直平分44',证

得△4'PD三△APC(4S4),即可证得四边形ALM'C是菱形，得到ZD=4C=苧，利用勾股定

理求得04,即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可求得k的值.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-对称，菱形的判定和性质，勾

股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：如图,

根据题意易知，点。为正方形4BCD,EFGH的中心,

AS〉EOF=4$正方形石尸6”，口近方磔FGH=4sAEOF,

S正方形ABCD=正方形EFGH，

,•S五边形AMFEP=S正方^^EFGH，

•••S五边形AMFEP=4sAEOF，

1

vS五边形AMFEP~正方形ABCD—S&EOF'

：・aS正方形ABCD=5sAEOF，

设正方形/BCD的边长为2x,则OF=OE=X-Q,

A-2x-2%=I(%—a)2,

解得：x=(5±登氏

va—y/10—2，

X=E或7飞-20,

•••Z£^0<a=/w-2，

・•・x=V10,

S正方形ABCD=2V~inx2V_10=40.

故选：B.

如图，根据题意易知，点。为正方形4BCD,EFGH的中心，利用图中的面积关系最终可推出

[s正方形ABCD=5SAEOF，设正方形4BCD的边长为2%,则OF=OE=x-a,以此可得方程"•

2x-2x=l(x-a)2,借此方程，再将a的值代入即可求解.

本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用，利用已知

条件，得到各部分图形之间的面积关系列出方程是解题关键.

9.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.一个正数的相反

数是负数，一个负数的相反数是正数，。的相反数是0.

一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.根据此解答即可.

【解答】

解：一(一3)=3,

故-3的相反数是3.

故答案为：3.

10.【答案】a(a—2)

【解析】

解：a?-2a=a(a—2).

故答案为：a(a—2).

【分析】本题考查提公因式法-因式分解，较为简单，找准公因式是解题的关键.

先确定公因式是a,然后提取公因式即可.

11.【答案】5

【解析】解：这组数据的平均数为5+6+5券+4+4=5.

故答案为：5.

求出这组数据的和，再除以6即可.

本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题的关键.

12.【答案北：j

【解析】解：I、2y=然

出+y=4②

①+②X2得：5%=10,

解得：%=2,

将％=2代入①得2—2y=2,

解得：y=0,

则方程组的解为zI，

故答案沏U：o.

方程组利用加减消元法求出解即可.

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元

法.

13.【答案】12

【解析】解：如图，连接。力、OB,0G；

•••六边形4BCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为

a,

0AB是等边三角形，

0A=AB=a,

0G=0A-sm60°=ax/=C，解得a=2,

二它的周长=6a=12.

故答案为：12.

根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.

此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形及特殊角的三角函数值，根据已知得出六边形

力BCDE尸是边长等于正六边形的半径是解题关键.

14.【答案】2<a<6

【解析】解：如图，当点Q在圆外且。，Q,P三点共线时，线

段0Q的长度的最大，最大值为4+2=6；/「X''1

当点Q在圆内且0,Q,P三点共线时，线段。Q的长度的最小，/

最小值为4一2=2,IO2]

所以，线段。Q的长度a的范围为2WaW6.\/

故答案为：2WaW6.7----------'

如图，当点Q在圆外且0,Q,P三点共线时，线段0Q的长度的最大，当点Q在圆内且0,Q,

P三点共线时，线段0Q的长度的最小，据此得到结论.

本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键.

15.【答案】/I5

【解析】解：连接0E、AD,如图,

设。。的半径为r,

・・・。、B两点是线段4c的三等分点,

OB=CB,

・・•点。恰为线段CE中点，

・•.BD为A0CE的中位线，

•••BD=；0E=%,

••・4B为直径,

•••AADB=90°,

在Rt△ABD中，4。=VAB2-BD2=J(2r)2-(ir)2=^r，

・•・tanz.ABD=d=-i—=V15.

DD_->•

2

故答案为：V15.

连接。£、AD,如图，设。。的半径为r,先证明BD为AOCE的中位线，贝再根

据圆周角定理得到NADB=90°,再利用勾股定理计算出4。=警r,然后根据正切的定义

求解.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也

考查了解直角三角形.

16.【答案】||

【解析】解：连接CD,

■：AC=4,BC=3,

由勾股定理得，AC=5,

•・•点G为4C的中点,

•••AG=CG,

•・・△DEF的锐角顶点D恰好落在4/8C的斜边上,

：•AG=DG,

Z.A=Z.ADG,(GCD=乙GDC,

/.z^DC=ixl80°=90°,

ADAC

cosA

AC~AB

AD4

'T=5?

・・.AD=y,

VZ.AHD=Z.DHG,乙HDG=LHAD,

HDG~bHAD,

.DG_PH_HG_2_5

••通=源—而一亘二不

5

设GH=5%,则DH=8%,AH=5x+2,

.8x_5

'5x+2=8,

解得X=蔡，

经检验，x=|^是方程的解，

AH=5%+2=甯，

...12828

■■ruCH=ArC-AHu=4-—=~,

故答案为:

连接CD,根据4G=GD=CG,可说明乙4DC=90°,从而求出AD的长，再利用△HDGfHAD,

DGDHHG25,

得而=无？=而=逅=由设GH=5x,贝ijDH=8x,AH=5x+2,进而得出％的值•

5

本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明△HDGSA

H4D是解决问题的关键.

17.【答案】解：|「_1|_(兀+1)。+J(-3)2

=<7-1-1+3

=V-2+1.

【解析】首先计算零指数事、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算

一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号

里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

18.【答案】解：卜为j幺,

(2%-5>0(2)

解不等式①得：x〈一2,

解不等式②得：%>2.5,

二原不等式组无解.

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

19.【答案】解：原式=七号,(x+2)(：-2)

x-2x-1

=X+2,

当x=，^一2时，

原式=0-2+2=y/~3.

【解析】先计算括号内的，再算乘法，最后约分即可化简原式，将X的值代入可得答案.

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.

20.【答案】:

【解析】解：(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的字样恰好为“文”的概率是今

故答案为：：；

(2)将三张正面分别印有“范”、“文”、“正”字样的卡片分别记为A、B、C,

画树状图如下：

开始

ABC

小人小

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样不同的结果有6种，

•••两次抽取的卡片字样不同的概率为，=

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样不同的结果有6种，再由概

率公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合

两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】19.519

【解析】解：⑴这60天的日平均气温的中位数为史罗=19.5,

众数为19,

故答案为:19.5,19；

12+13+9+6x30=20(天),

(2)•••60

••・估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天.

(1)根据中位数和众数的概念求解即可；

(2)用样本中气温在18冤〜21冤的范围内的天数所占比例乘以4月份的天数即可.

本题主要考查众数和中位数、加权平均数、样本估计总体，一组数据中出现次数最多的数据

叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则

处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的

平均数就是这组数据的中位数.

22.【答案】证明：•••EA//BF,EC//FD,

・•・Z.A=乙FBD,Z-ACE=乙D,

・・•AB=CD,

:.AB+BC=CD+BC,

即4c=BD,

在△AEC和中，

Z-A=Z.FBD

AC=BD,

Z-ACE=乙D

・・・EC=FD,

-EC//FD,

・・・四边形EFDC为平行四边形，

:.EF//CD,

・・・EF//AD.

【解析】由平行线的性质得=Z/1CE=ZD,再证AC=BO,然后证

8FDQ4S4),然后利用平行四边形的判定与性质即可得出结论.

本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角

形的判定方法，属于中考常考题型.

23.【答案】解：过点4、B分别作东西方向的垂线

于点E、D,作8FLAE于点F,

­.AE//CH//BD,

・・・Z.CAE=Z.ACH=a,乙CBD=乙BCH=0,

则四边形尸ED8为矩形，

.•・EF—BD,FB=ED,

在RtZkAEC中，Z-CAE=a,

・•・a=45°,

"AC=2n海里，

AE=CE=94c=2(海里)，

在RtABCC中，乙CBD=B，=海里，

CD=sinp-BC=与尸x=3(海里)，

由勾股定理得，BC2=BD2+CD2,即(nU)2=8。2+32,

解得，BD=1,

AF=AE-EF=1(海里)，BF=EC+CD=2+3=5(海里)，

则AB=VAF2+BF2=VI2+52=726(海里),

答：A,B两艘轮船之间的距离为中海里.

【解析】过点4、B分别作东西方向的垂线于点E、D,作BF14E于点F,根据等腰直角三

角形的性质分别求出4E、CE,根据正切的定义分别求出BD、CD,根据勾股定理计算，得

到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用一方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

24.【答案】y/~2

【解析】解：(1)：点八E在直线y=—x+3图象上，

设尸(m,-m+3),则E(m+1,—(m+1)+3),即(m+1,-m+2)

EF—yj(m+1—m)2+(—m+2+m—3)2—y/~2.

故答案为：A/-2：

(2)•.•反比例函数y=5(x>0)的图象正好经过点F、E,

•••k=m(—m+3)=(m+1)(—m+2),

解得m=1,

•••k=m(—m+3)=1x2=2.

(1)表示出E、F的坐标，然后利用勾股定理即可求得EF的长度；

(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=m(-m+3)=(m+1)(—m+2),解得即

可.

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数

法求反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键.

25.【答案】解：(1)：NBAC>4B>44CB,A/IBC为“准互余三角形”，

2zC+Z.B=90°,

即2乙4cB4-60°=

AAH=y/-3BH=|,

v乙BCD=90°一乙B=30°,

ca平分NBCD,

3

・・・AD=AH=P

•••BD=q+1，

在Rt△BCD中，•••乙BCD=30°,

BC=2BD=2/3+3;

(2)延长84交。。于E点，连接CE、AD,如图②，

AC为直径，

4AEC=^ADC=90°,

v乙B>45°,△ABC为“准互余三角形”，

244cB+ZB=90°,

Z.B+乙BCE=90°,

・•・Z-ACB=Z.ACEy

即C4平分NBCE,

・•・AE=AD,

vBD=2,BC=7,

CD=5,

v/.CAE=Z.CAD,

・•・CE=CD=5,

在Rt△BCE中，BE=VBC2-CE2=V72-52=2/7,

设AE=x,贝“AB=2V~^—x,AD=x,

在RtAABD中，•••BD2+AD2=AB2,

:.22+x2=(2AA~6-x)2»

解得X=亨，

O

在&△ACD中，=52+(毛)2=与，

•••O0的面积=7TX^AC2=号九

【解析】(1)利用新定义计算出乙4cB=15°,过4点作4"1BC于H点，过C点作CD1AB于

D点,如图①,先计算出BH=?,则4H=CBH=I，再证明/BCD=30°,CA平分4BCD,

根据角平分线的性质得到AD=A"=|，所以BD=<3+|,然后在Rt△BCD中利用含30度

直角三角形三边的关系得到BC的长；

(2)延长BA交。。于E点，连接CE、AD,如图②，利用圆周角定理得到AC为直径，再利用

新定义计算出乙4cB=N4CE,即C4平分NBCE,所以4E=4D,接着证明NC4E=4C4D得

到CE=CD=5,于是利用勾股定理可计算出BE=2，石，设4E=x,则4B=24一x，

AD=x,在Rt△4BD中得到22+久2=(2<6-久下，解方程得到4。=芽,然后在Rt△ACD

中利用勾股定理计算出/C,从而得到。。的面积.

本题考查了圆周角定理：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直

径.也考查了角平分线的性质和勾股定理.

26.［答案］y=—x2+(m—l)x+m

【解析】解：(1)设抛物线的表达式为y=Q(x+l)(%—m),将C(0,m)代入得：

m=—ma,

vm>1,

••a=—lf

：・y=—(x+1)(%—m)=—x24-(m—l)x+m；

•,・抛物线的表达式为y=-%2+(m-l)x+m；

故答案为：y——x24-(m—l)x+m；

(2)连接。。并延长交8C于E,过。作DH1OB于H,如图：

vB(m,0),C(0,m),

OB=OC=m,ABOC是等腰直角三角形,

••・。在线段BC的中垂线上，

v。为△4BC的外心，

BD=CD,

。在线段BC的中垂线上，

二直线OE是线段BC的中垂线，

:•BE=CE,OE1BC,B与。关于直线OE对称，

:ABOE,△ODH是等腰直角三角形，S^BDE=|SABCD=

•••OH=DH,

D的横坐标与纵坐标相等，

二直线OE解析式为y=x,

■■。为△力BC的外心，

:.AD=BD,

・,・”是的中点，

•・•/(-1,0)、B(mf0),

即。”=喂

c/m—1m-1.

'・•S^BDE=S^BOE~S^BOD—2^^BOC—S^BOD，

\T5111m-1

:，——=-x-mz7--m----»

42222

解得m=V~~5;

(3)在直线BC上存在一点P,使得以点8、D、P为顶点的三角形和△A。。相似，理由如下:

由(2)知=45°=乙CBO,m=

・・・B(C0),C(0,H)

・・•直线BC解析式为y=—%+口,/-DAO+^ADO=乙DBO+乙DBC=45°,

•・•AD=BD,

：•Z-DAO=乙DBO,

・•・Z-ADO=乙DBC,

要使以点B、D、P为顶点的三角形和△力。。相似，只需黑=黑或黑=黑且P在射线BC上,

DUCDCDDU

嘲啮时，如图：

y

设P（t,—t+>/~~5）,tVV_5>

B（C,O）,0（话口与》

■■AD=y/~3,BD=y/~3,DO=丫。葭1J（_仁）2（_门）2=「（仁-t）,

pB=t+t

.6:2.

"口QC-t）

解得t=空口，

p的纵坐标为与1;

^=3£5+3；

.-.p的纵坐标为畔2;

4

综上所述，P的纵坐标为壬1或红药.

24

(1)设抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-m),将C(0,m)代入可求出抛物线的表达式为y=

-x2+(m-l)x+m；

(2)连接。。并延长交BC于E,过。作。HJ.。8于"，由B(m,0),C(0,m),。为AABC的外心，

可得直线0E是线段BC的中垂线，即可得ABOE,A00H是等腰直角三角形，S®E=

gS.C0=?，从而知直线OE解析式为y=，由4(一1,0)、B(?n,0),得H(9,0),即°"=

—故。(三可得=Jx即可解得m=/可；

，乙乙42222

(3)由(2)知4。。8=45。=4(78。，m=<5，得直线BC解析式为y=-x+仁，44)0=

乙DBC,要使以点B、。、P为顶点的三角形和△AOD相似，只需黑=卷或若=黑且P在射

DUrDrDDU

线BC上，当器=需时，设P(t,T+0t<仁，育=-7=££_,可得P的纵坐标为告L；

当等=黑时，同理可得P的纵坐标为红

rDDU4

本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形外心，三角形相似的

判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度.

27.【答案】12

【解析】解：(1)①由图②知，△ECD的面积为6,

：.^CD-AD=6,

CDAD=12,

•••矩形4BCD的面积为12；

故答案为：12；

②由图②知，正方形DEFG的面积最大为25,此时边DE最大，E与B重合，

.-.AB2+AD2=25,

由矩形4BCD,结合①可知4B•AD=CC•AD=12,

•••AB+AD=VAB2+AD2+2AB-AD=V25+2X12=7.

矩形4BCD的周长为14；

(2)E、C、G三点不能共线，理由如下：

由(1)知AB+AD=7,AB-AD=12,

AB=3,AD=4Q4B为矩形ABCD的较短边，AB=4,AD=3已舍去)，

以4为原点，4。所在直线为x轴建立直角坐标系，过G作GK1CC交OC延长线于K,如图:

•・・Z-KDG=90°-乙EDC=Z.EDAf乙K=90°=Z.EAD,DE=DG,

•••△DKG三△ZX4E(44S),

DK=AD=4,KG=AE9

设4E=m,则KG=m,

:.E(0,m),G(4+?n,4),

・,・直线EG函数表达式为y=+m,

若C(4,3)在直线EG上，则3=W^x4+m,

变形整理得：m2-3m+4=0,

•・・/=(-3)2—4X4=-7V0,

・•・C(4,3)不可能满足y=籍+m,

・・・C不可能在直线EG上，故&C、G三点不能共线;

(3)过F作/Tly轴于T,于如图：

•・•A.TEF=90°-/.AED=Z.ADE,乙ETF=90°=^LEAD,EF=ED,

EFT=LDEALAAS')f

/.TF=AE,TE=AD=4,

vBE=x,

：.AE=AB-BE=3—x=TF,

vBH//TF,

BHBEBHx

—=—即nn---=—,

TFTE3-x4

y23

・・・BH=-7+a，