2022年人教A版高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷（提高卷）（学生版+解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷（提高卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.（2021•云南高一期末）下列命题正确的是（）•

A.若力，则。。

B.若a>b,则比2>加2

C.若a>b,则/

D.若a>b,则Y

2.（2021♦全国高一专题练习）实数。c满足a?=2a+c-b-l且4+〃+1=0,则下列关系成立的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

3.（2022•全国高三专题练习）不等式o?-法+c>0的解集为{x|—2<x<l},则函数y=♦+bx+c的图像

大致为（）

4.（2021•江苏高一开学考试）不等式（帆+1）』一点+m-1<0的解集为0,则，〃的取值范围是（）

R,26

A.m<-1B.m>-----

3

「<2#）

C・m<--------D・m>---或«-----

333

5.（2021•全国高一课时练习）已知相>0,〃>0,m+〃=1,且x=〃z+—,y=n+—,则1+y的最小

mn

值是（）

A.4B.5C.8D.10

6.（2021•陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做尸厂”四卬汕也称之

为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊

性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形AABC中，点O为

斜边AB的中点，点。为斜边AB上异于顶点的一个动点，设A£>=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证

明为（）

A.早2岚(a>0,b>0)B.等wj£l1^(a>0,b>0)

C.2Cinb~<yjab(a>0,b>0)D.a2+b2>>O,Z?>0)

a+b

21

7.（2021・全国）已知实数。>。力>1满足a+Q5,则一+；—的最小值为（）

ab-\

A3+2&口3+4&「3+2&「3+40

A.------D.------C.------U.------

4466

8.（2020•江苏高一单元测试）正数。力满足=，若不等式〃+匕之-f+21+18-m对任意实数4恒成

立，则实数机的取值范围是

A.m>3B.tn<3C.7?7<6D.m>6

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2020•吴县中学）当0<x«g,若不等式Y+以+后0恒城立，则。的值可能为（）

A.B.—2-C.—1D.—3

2

10.（2020.江苏高一月考）已知不等式底+fex+c>（1的解集为卜|一；<x<2},则下列结论正确的是（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>0

11.（2020•浙江省普陀中学高一月考）己知（/+从）9?+/）=（℃+庆/产+（6c-0）2,由此可得到不等式

（a2+h2）（c2+d2）>（ac+bd）2,当且仅当儿时取等号，利用此不等式求解以下问题：设a,b,c,deR,且

a2+b2-5>2ma+nb=5,则J4加+〃？的值不可能为（）

A.1B.2C.3D.4

12.（2020•江苏省海头高级中学高一月考）生活经验告诉我们，。克糖水中有人克糖（a>0,b>0,且a>b）,

若再添加C克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：〜h4.-c趣h称之为“糖水不等式”.根据生活

a+c'a

经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）■

A.若。>人>0,m>0,则小'与2的大小关系随m的变化而变化

a+ma

一H2bb+m

B.右7M<0,贝（j—<----

aa+m

C.若a>Z?>0,c>ci>0,010^—7<

a+da+c

D.若a>0,b>0,则一定有f+&<1+白

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）

13.（2021.江西省石城中学（文））已知尸=/+4.+1,Q=-〃+26-4则尸、。的大小关系为.

14.（2021•黔西南州同源中学高一期末）关于x的不等式加+3x-l>0的解集是｛x|；<x<1｝则a=

15.（2021.全国高一单元测试）甲、乙两车从A地沿同一线路到达5地，甲车一半时间的速度是。，另一

半时间的速度为力，乙车用速度。、。各行走了一半路程，且则车先到达B地.

16.（202（）.全国高一课时练习）已知都是正实数，求z=（x+2y）—I—的最值.

I九y）

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：•

甲:z=（x+2y）（Z+3]=2+^+^+8..18,.

（xy）yx

乙:z=（x+2y）（2+±）.2^^.2^^=16,

①你认为甲、乙两人解法正确的是.

②请你给出一个类似的利用均值不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确:.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。）

17.（2021・湖南邵阳市•高一期末）已知函数y=-2/+3x-l.

（1）求解不等式y>。的解集；

（2）当x>0时，求函数y=-21+3人一的最大值,以及y取得最大值时x的值.

X

42

18.(2021•全国高一专题练习)对于题目：己知6>0,n>0,且/M=1,求A=m+2〃+—+—最小值.

mn

42

同学甲的解法：因为m>0,〃>0,所以一>0,->0,从而：

mn

4242ITI2

m+2〃4---1—二("74—)+(2〃H—)22/n---F2.2n—=8.

mnmn、根，〃

所以4的最小值为8.

同学乙的解法：因为m>0,〃>0,

所以〃z+2/i+±+2-m+2n++=3。"+2n)>6ylm-2n=6&.

tnntnn

所以A的最小值为6枝.

①请对两位同学的解法正确性作出评价；•

②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：•

已知〃>0,b>0,且(。+l)(b+2)=6,求8=。+/?4-----1-----的最小值.

。+1b+2

x~+2艾+4

19.(2021•内蒙古赤峰市•高一期末(文))已知函数丁=

x+2

(1)求函数y在区间［-覃］上的最值；

(2)若关于x的方程V+2x+4-以=0在区间(0,3)内有两个不等实根，求实数。的取值范围.

20.（2020•上海高三专题练习）某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油

费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第〃个月的维修费和工资支出为600（〃-1）+3000元.

（1）设月平均消耗为y•元，求y与〃（月）的函数关系：

（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）

（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？

X2-X-2>0（A）

21.（2018•上海市三林中学）已知关于x的不等式组、，.二）y

2x-+（2Z+5）x+5Z<0（B）

（1）求解不等式（8）的解集;•

（2）若不等式组的整数解集M中有且只有一个元素，求实数火的取值范围及相应的集合M.

22.（2021•全国高一专题练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若苫>:，那么称

ba

点（a,6）是点（G"）的“上位点”.同时点（c,d）是点（a,6）的“下位点”；

（1）试写出点（3,5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点（。,6）是点（c,4）的“上位点”，判断点P（a+c,力+d）是否既是点（c,d）的“上位点”，又是点（a,。）的

“下位点”，证明你的结论；

（3）设正整数〃满足以下条件：对集合卜|0<f<2019/eZ｝内的任意元素m,总存在正整数%,使得点（〃,%）

既是点（2019,间的“下位点”，又是点（2020,机+1）的“上位点”，求正整数〃的最小值.

第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷（提高

卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（2021•云南高一期末）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则ac>力c

B.若a>。，则a。。>be2

C.若a>b,则

D.若a>b,则/

【答案】C

【分析】

根据函数单调性和特值法，即可求解.

【详解】

ll]a>b,c=O,可得ac=/?c,ac-bct故A,B错，

由y=x3在R上递增，可得”>b,即有a”凡故c对，

由0=1为=-1,得〃2=从,故D错，

故选：C

2.（2021•全国高一专题练习）实数a,h,c满足笳=2a+c—6-1且a+〃+l=O,则下列

关系成立的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【分析】

利用（a-=cN0判断从c的关系。利用减元思想得b-a=廿+b+1判断a力的关系

【详解】

由。2=2。+。-1-1可得（。-1）2=。-6*0,利用完全平方可得

所以cN。，由4+62+1=0可得a=-〃-i,

、1.3

b—ci=b~+/?+1=（Z?H—）4—>0,:.b>a,

24

综上。之人>。,

故选：D

3.（2022•全国高三专题练习）不等式-法+c>0的解集为则函数

丫=3?+法+C的图像大致为（

【分析】

山一元：次不等式的解集形式确定。的正负，。力,C的关系，得函数零点，然后确定函数图

象.

【详解】

・・,不等式62一汝+°>0的解集为{划一2vxvl},

-2+1=2

ab=-a

-2x1=—,c=-2a,

a

a<0

a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x2-x-2),图象开口向下,两个零点为2,-1.

故选：C.

4.（2021•江苏高一开学考试）不等式-痛+机-1<0的解集为0,则机的取值范

围是（）

A.m<—1B.mz也

3

c.旌-亚c、25/3_p.2\/3

D.m>----或mW-----

333

【答案】B

【分析】

不等式（m+1）》2-，欢+相-1<0的解集为0,可转化成不等式（加+1）/一〃a+，〃-120恒成

立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论.

【详解】

因为不等式（"+l）f-如+〃7-1V。的解集为0，

J不等式+一如+加一120恒成立

①当m+1=0,即"?=_i时，不等式化为户2对，解得后2,不是对任意恒成立，舍去；

②当用+1#）,即m#一1时，对任意要使（加+1）产一郎+〃2-120,只需〃?+1>0且

A=（-/n）2-4（/n+l）（/n-l）<0,解得加之^.

综上，实数机的取值范围是，"22叵.

3

故选：B.

5.（2021•全国高一课时练习）已知加>0,〃>0,m+〃=1且尤=〃2+工，y=n+—,

mn

则1+y的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】

由已知可得X+>=胆+,+〃+1=1+,+,=1+['+1]（机+〃），化简后利用基本不等式求

mnmn\mn）

其最小值.

【详解】

依题意有x~{~y=m+n-\-------1—

mn

=1+（—+—|（/?t4-n）

\mn）

nm

=3+—+—

tnn

>3+2=5>

当且仅当机=〃=;时取等号.

故选：B.

6.（2021・陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做/5”‘力卬而。“加”杰,

也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于

这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，

在等腰直角三角形A4BC中，点。为斜边A8的中点，点。为斜边上异于顶点的一个动

点，设AO=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

c

A.a+>y[ab(a>0,b>0)a+b

B.<m>o,b>o)

2~2~

c.卫■4疝3＞o力＞0）

D.ci2+b2>2\[ab(a>0,Z?>0)

a+b

【答案】B

【分析】

根据等腰直角三角形的性质，分别表示OC和co,根据长度关系，判断选项.

【详解】

由图可知，OC=gAB=^^,OD=\OB-BU\=---b=

在Rt/\OCD中,CD=^]OC2+OD2=显然OCWCO,

即止

2

故选：B.

、21

7.（2021・全国）已知实数。＞0力＞1满足a+Q5,则一+；—的最小值为（）

ab—1

A3+2夜D3+4夜「3+20八3+4上

4466

【答案】A

【分析】

所求士2+士1的分母特征，利用々+Q5变形构造〃+S-1）=4,再等价变形

ab-\

:（2+不二）g+3-1）］,利用基本不等式求最值.

4ab-\

【详解】

解：因为。＞0,b＞l满足々+Q5,

21211

贝户+「7=（_+17）［。+（6—1小7

ab-\ab-\LJ4

当且仅当空二D=旦时取等号，

ab-\

故选：A.

【点睛】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、

凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，

做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用

基本不等式的前提.

8.(2020•江苏高一单元测试)正数。力满足9〃+h=a〃，若不等式a+ZjN—f+2x+18-m对

任意实数x恒成立，则实数胆的取值范围是

A.m>3B.m<3C.m<6D.m>6

【答案】A

【分析】

利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为加2/(x)恒成立的类型，求解Ax)的最

大值即可.

【详解】

•,-9a+b=ab.

19

—+:=1,且〃力为正数，

ab

,,，、,19、，八b9a\lb9a

:.a+b=(a+/?)(—+—)=10H1--..10+2.-----=16,

ababNab

当且仅当2=半，即a=4,人=12时，(〃+。),“加=16,

ab

若不等式a++2x+18-"z对任意实数x恒成立，

则162-J?+2X+18-%对任意实数x恒成立，

即机2-f+2x+2对任意实数x恒成立，

—x~+2x+2=—(x-1)~+3„3,

m>3,

故选：A

【点睛】

本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.（2020.吴县中学）当0<x«5,若不等式/+6+120恒城立，则。的值可能为（）

A.—B.—2C.—1D.—3

2

【答案】ABC

【分析】

分离参数可得aW-x-J,求出g（x）=r-1在区间（0,；上的最大值即可求解.

【详解】

当0<x«g,若不等式/+or+120恒城立，

等价于-X-』在区间上恒成立，

x12」

设且⑴-一日出）

由对勾函数的性质可得g（x）在（0，；单调递增，

所以g（xLx=-；-2=-g.

所以心二，

故选：ABC

10.（2020.江苏高一月考）已知不等式nY+Zzr+oO的解集为卜|一；<》<2卜则下列结

论正确的是（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>0

【答案】BCD

【分析】

对A,根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B,C,利用韦达定理即可判

断；对D,根据韦达定理以及b>0,即可求解.

【详解】

解：对A,:不等式以2+%x+c>o的解集为卜1一万<x<，

故相应的二次函数丫=以?+法+c的图象开口向下，

即。<0,故A错误；

对B,C,出题意知：2和-万是关乎x的方程or?+6x+c=0的两个根，

则有£=2x（一■-）=—1<0,—=2+（--）=—>0,

a2a22

又•.•"（），故b>0,c>0,故B,C正确；

对D,,.,£=-1,

a

:.a+c=O,

又•.力>0,

:.a+h+c>0,故D正确.

故选：BCD.

11.（2020•浙江省普陀中学高一月考）已知（（+6）92+&2）=（的+加）2+（A-十）2,由此

可得到不等式（a2+〃）（c2+/）w（ac+/）2,当且仅当历="4时取等号，利用此不等式求解

以下问题：设a,b,c,dwR,且〃+从=5,2ma+nb=5,则J4,叩+"的值不可能为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】AB

【分析】

宜接利用所给不等式得（/+/）（4疗+/R（2am+尿/，而/+/=5,2ma+nb=5,从而

可得结论

【详解】

由已知可得（a?+b2）（4m2+n2）>（2am+bri）2,

ffija2+b2=5,2ma+nb=5,

所以2石,故，4"?2+，的值不可能为1,2,

故选：AB.

12.（2020•江苏省海头高级中学高一月考）生活经验告诉我们，a克糖水中有h克糖（eO,

Q0,且a>6）,若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：—

a+ca

趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）

A.若。〉8>0,机>0,则小丝与2的大小关系随机的变化而变化

a^ma

--nbb+m

B.若a>0>0,m<0,则一<----

aa+m

C.若a>/?>0,c>d>0贝!!<--

9a+da+c

D.若a>0,b>0,则一定有

【答案】CD

【分析】

根据“糖水不等式”，即可判断A；

举反例，如4=3/=1,〃?=-2,即可判断B；

若”>5>0,c>d>0,则c-d>0,4+d>b+d>0,再根据“糖水不等式”即可判断C；

利用不等式的性质即可判断D.

【详解】

解：对于A,根据“糖水不等式“，若a>b>0,根>0,则处故A错误；

a+ma

对于B,当a=3,b=l,〃?=-2时，2=与题设矛盾，故B错误；

a3a+ma

对于C,若a>b>0,c>d>0f则c-d>0,a+d>〃+d>。，

根据“糖水不等式“，二空,即号〈生，故C正确；

a"+,d++cc-da+da+d-

对于D,若,则10,1+4+b>1+力>0,

匚―1111

所以------<,-------<--,

1+。+〃1+〃1+Q+Z71+匕

所以>故D正确.

三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分,

第二空3分。)

13.(2021•江西省石城中学(文))已知P=〃+4a+l,Q=-/+3-4则尸、。的大小

关系为.

【答案】P^Q

【分析】

利用作差法，计算P-Q配方后利用平方数的性质即可求解.

【详解】

因为尸=，/+4"+1,Q=-t>2+2b-4,

P-Q=cr+4a+\-(-b2+2b-4)

=a2+4a+\+b2-2b+4

=(a+2)2+(Z?-l)2

当a=—2且b=l时，等号成立，

所以P2Q

故答案为：P>Q.

14.(202卜黔西南州同源中学高一期末)关于》的不等式62+3》-1>0的解集是3；—<1}

贝lja=.

【答案】-2

【分析】

将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数“，可得结果.

【详解】

•••不等式以2+3*—1>0的解集为{x[g<x<1},

；・；，1为方程加+3x-l=O的两个根，且。<(),

根据韦达定理：41+1=-士3①:1、1=-上1②

2a2a

由①②解得：a=-2

故答案为：-2.

15.(2021•全国高一单元测试)甲、乙两车从A地沿同一线路到达8地，甲车一半时间的

速度是“，另一半时间的速度为。，乙车用速度。、。各行走了一半路程，且则一

车先到达8地.

【答案】甲

【分析】

分别求出甲、乙车到达指定地点的时间为而、坛，作商后利用基本不等式即可比较出而、%

的大小.

【详解】

112

解:设两地的路程为1,那么甲车到达指定地点的时间为《，则彳而。+彳而2=1♦.而=--：

22a+h

11

22

--a+

乙乍到达指定地点的时间为生，坛+(a>0,b>0);

4〃

2^//;

加_4ab4ab

a2+h2+2ah，v+护..2曲(当且仅当Q=b时不等式取“=”)；

t乙(a+b)2

f甲4R?

••厂”TTTTT=1，由标"知加<方乙；

t乙2ab+2ab

故答案为：甲.

(24、

16.(2020•全国高一课时练习)已知.都是正实数，求z=(x+2y)—+一的最值.

5y)

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲:z=(x+2y)(2+W]=2+”+”+8.」8,

(xy)yx

乙：z=(x+2y)(2+3)..27^^•2^^=16,

①你认为甲、乙两人解法正确的是.

②请你给出一个类似的利用均值不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确:.

【答案】甲答案不唯一,见解析

【分析】

①甲正确，乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件不相同，得到答案.

②只需保证乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件相同即可.

【详解】

①甲正确，乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件不相同；

②已知X,)，都是正实数，求Z=①+勿(5+£|的最小值.

甲:z=(a+与仕+，］=1+2+q+1..4,

b)ab

乙:z=(a+6)(—i—|.2\Jab,2.=4

b)\ab

【点睛】

本题考查了均值不等式求最值，没有考虑两次均值不等式取等号条件不相同的情况是容易发

生的错误.

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(2021・湖南邵阳市•高一期末)已知函数y=-2/+3x-l.

(1)求解不等式y>0的解集；

(2)当x>0时，求函数y=-21+3X7的最大值,以及y取得最大值时x的值.

X

【答案】⑴(2)y的最大值为—20+3,此时x=*.

【分析】

(1)解一元二次不等式求得不等式的解集.

(2)利用基本不等式求得了=四的最大值，以及y取得最大值时X的值.

X

【详解】

(1)/(x)=-2x2+3x-1>0,2x2-3x+1<0,

(2x-l)(x-l)<0=>^<x<l,所以〃x)>0的解集为加.

(2)当xe(0,+<»)时，函数y=/("=2A+3内1=_(2x+')+3,

由］-x>0,所以2XH—N2、2x,—=2>/2,

xyx

当且仅当2乂=4='=立时等号成立.

x2

所以一(2x4—1+34—2A/3+3.

所以y的最大值为-2亚+3,此时x=也.

2

42

18.(2021•全国高一专题练习)对于题目：已知机>0,n>0,且利/7=1,求A=〃?+2〃+—+—

mn

最小值.

42

同学甲的解法：因为〃00,〃>0,所以一>0,->0,从而：

mn

4242I4-I2

m+2774--1—=(/HH—)+(2A?H—)22hn---卜2J2n—=8.

mnmn\m\n

所以A的最小值为8.

同学乙的解法：因为相>0,/?>0,

所以6+2〃+巴+2-m+2〃+2""+2"'=3(机+2n)>6\/m2n=6&.

mnmn

所以A的最小值为6枝.

①请对两位同学的解法正确性作出评价；

②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：

已知a>0,b>0,且(a+l)S+2)=6,求8=。+力+工+-^-的最小值.

。+1b+2

【答案】①甲错误，乙正确；②9.

【分析】

①说明甲同学多次运用基本不等式时未保证同时取“=”即可；②先将待求式分式通分再运用

题中所给等式化简、配凑后运用基本不等式即可.

【详解】

①甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件为加=2,〃=1,则

OT?=2*1,故不能保证可以同时取“=".

6Z?+12+12a+12

@B=a+b+=a+b+b+2a+4

(<2+1)0+2)

=3a+%+4=3(a+l)+2S+2)—3之2)6(〃+1)3+2)—3=9

3(674-1)=20+2)\a=1

当且仅当叱=1时，取“=”•

(Q+1)S+2)=6

19.(2021.内蒙古赤峰市.高一期末(文))已知函数y二>十一人十".

x+2

(1)求函数y在区间［TJ上的最值；

(2)若关于x的方程/+2》+4-如:=()在区间(0,3)内有两个不等实根，求实数。的取

值范围.

19

【答案】(1)最大值为3,最小值为2；(2)6<a<—

【分析】

4

(1)整理可得/(x)=x+2+—^-2,根据基本不等式及对勾函数的性质，即可求得答案.

x+2

4

(2)由题意整理可得a=x+—+2在区间(0,3)内有两个不等实根，设

x

g(x)=x+24+2,xe(0,3),根据根据基本不等式及对勾函数的性质，数形结合，即可得答案.

x

【详解】

/［、x"4-2x+4(x+2)~—2(x+2)+4-4

(1)y=---------=-----------------——=x+2+------2,

x+2x+2x+2

因为工口一1,11,所以x+2w［l,引

所以y=x+2+-^--2>2J(x+2)-^—-2=2,

x+2Vx+2

4

当且仅当》+2=—；时，x+2=2,即x=0时等号成立，

x+2

所以/(x)的最小值为2,

根据对勾函数的性质可得/(x)在［T,0)上一单调递减，在9,1］匕单调递增，且

7

所以函数/1)在区间［TJ上的最大值为3,最小值为2.

(2)因为关于x的方程(x+2)/(x)-avR在区间(0,3)内有两个不等实根，

所以f+2x+4=ar在区间(0,3)内有两个不等实根，

4

整理得a=x+—+2在区间(0,3)内有两个不等实根，

X

4

设g(%)=%+-+2,%e(0,3)

x

4I~4

则g(x)=x+—+2>2Jx--+2=6,

xvx

4

当且仅当工=—,即x=2时等号成立，

x

根据对勾函数的性质可得g。)在(0,2)上单调递减，在(2,3)［二单调递增,

且xfO时，g(x)->+»,g⑶

所以a的取值范围为(6,

【点睛】

解题的关键是熟练掌握基本不等式、对勾函数的性质，并灵活应用，难点在于，需合理的变

形，再根据"一正"、"二定”，"三相等''进行计算求值，属中档题.

20.(202。上海高三专题练习)某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，

每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第〃个月的维修费和工

资支出为600(〃-1)+3000元.

(1)设月平均消耗为y元，求y与〃(月)的函数关系；

(2)投入营运第几个月，成本最低？(月平均消耗最小)

(3)若第一年纯收入50万元(已扣除消耗)，以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可

收回成本？

【答案】⑴y=300〃+9700+,“3；(2)投入第1()()个月，成本最低；

3°°n°°0°

(3)7年后收回成本.

【分析】

(I)先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可

求得平均消耗y与〃(月)的函数关系；

(2)利用基本不等式可得最值，从而求出此时〃的值，即可求解；

(3)假设x年后可收回成本，则收入是首项为50,公比为0.95的等比数列，然后建立收入

大于成本的不等式，即可求解.

【详解】

(1)购船费和所有支出费为

3000000+7000〃+13000+3000x600+3000x2x600+…+3000x6000(n-l)J

=3000000+9700〃+300n2元，

3000000

所以月平均消耗了=300〃+9700+',

n

即月平均消耗为)'与〃的函数关系y=300〃+9700+

3°°n°°°°,n&N+

(2)由(1)y=300〃+9700+3°°°°0°22bo0〃.j222222+9700=69700,

nVn

annnnnn

当且仅当300〃=,即〃=KX)时等号成立，

n

所以当投入营运100个月时，营运成本最低.

(3)假设x年后可收回成本，则收入为：

50+50(1-5%)+50(1-5%)2+•••+50(1-5%)v-|=1000(1-0.95*)＞300,

解得x=7时满足条件，x=6时不满足条件，

故7年后可收回成本.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题

的能力，属于中档试题.

2L(2018•上海市三林中学)已知关于'的不等式组］2丁+俳+5)/5k＜。伊)

(1)求解不等式(8)的解集；

(2)若不等式组的整数解集“中有且只有一个元素，求实数2的取值范围及相应的集合

M.

【答案】⑴当《＞■!时，当k=|时，xe0；当上＜