四年级数学上册思维拓展培优讲义（尖子生培优）专题01应用数字与数位的特点解决问题（通用版）

专题01应用数字与数位的特点解决问题有的放矢有的放矢计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。同一个数字，所在的数位不同，表示的数的大小也就不同.能力巩固提升能力巩固提升1．有一个四位数A，将四位数的各位上的数字（均不为0）重新排列得到的最大数比A大7668，得到的最小数比A小594，则A=________．2．已知一串有规律的数：1，，，，…．那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________．3．有若干个连续的自然数,任取其中4个不同的数相加,可得到385个不同的和,则这些自然数有________个.4．设1,3,9,27,81,243是6个给定的数,从这6个数中每次或者取一个,或者取几个不同的数求和(每个数只能取一次),可以得到一个新数,这样共得到63个新数,如果把它们从小到大依次排列起来是1,3,4,9,10,12…,那么第60个数是_____.5．某种数字化的信息传输中，先将信息转化为由数字0和1组成的数字串，并对数字串进行加密后再传输，现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0都变成01，我们用表示没有经过加密的数字串，这样对进行一次加密就得到一个新的数字串，对再进行一次加密又得到一个新的数字串，依此类推，…，例如:10，则:1001.若已知:100101101001，则:__________；若数字串共有4个数字，则数字串中相邻两个数字相等的数对至少有__________对。6．从1,2,3,4,5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□+□>□+□,有________种不同的填法使式子成立.（提示:

1523和5123是不同的填法.）7．10个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是_______．8．有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前1997个数中，有________个是5的倍数．9．50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报l，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，…这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是_____．10．用1，2，3，4，5五个数字可以组成_____个三位数．（各位上的数字允许相同）．11．自然数12321，90009，41014…有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有_____个．12．三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．13．有数组{1，2，3，4}，{2，4，6，8}，{3，6，9，12}，…，那么第100个数组的四个数的和是________．14．三个连续奇数的乘积，是它们的和的15倍，则它们的乘积是()。15．将自然数从小到大无间隔的排列起来，得到一串数码：123456789101112131415…，这串数中从左到右数第1000个数码是________．综合拔高拓展综合拔高拓展16．用一个尽可能小但比1大的整数乘以1997，使其乘积中出现5个连续的9。求这个乘积。17．王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的电话号码．18．用3个不同的数字可以组成6个三位数，已知其中的5个的和是3194，求剩下的那个数是多少。19．有两个数串1，3，5，7…1991，1993，1995，1997，1999，和，1，4，7，10，…1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数共有多少个？20．11至18这8个连续自然数的和再加上1992等于另外8个连续数的和．求另外8个连续自然数中最小数是多少．21．从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积．应划去哪些数？22．将从l至60的60个自然数排成一行，成为1l1位自然数，即12345678910111213…5960．在这111个数字中划去100个数字，余下数字的排列顺序不变，那么剩下的11位数最小可能是多少?23．一张纸上写着一个两位数，把纸片倒过来之后又变成了另外一个两位数，且两个两位数的和是107，那么这两个两位数分别是多少？24．有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？25．将写有数字的卡片倒过来看，0、1、8三个数字不变，6与9互换，而其余数字倒过来都没有意义，把写有三位数的纸片倒过来看，仍是原来的三位数，这样的三位数有多少个？26．下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数．问：这串数中第66个数是几？628088640448…27．(1)有一个四位数，它乘以9后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．(2)有一个四位数，它乘以4后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．28．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023．请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？29．用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？30．对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它的非零数字相乘，得到100个乘积(例如23，积为2×3＝6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1)．问：这100个乘积之和为多少?31．一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小71055．问：原来卡片上写的五位数是多少？32．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？33．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？参考答案参考答案1．19632．

【分析】由1，，，，…得出规律：从第三个数开始，分子是前一个分数的分子与分母的和，分母是本身的分子与前一个分数的分母的和．所以后面的分数依次为：，，，，第10个数为．【详解】后面的分数依次为：，，，，．第10个数为．故答案为．3．1004．3605．1014【分析】根据加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01；把数字串A2：100101101001倒推出数字串A1，然后再倒推出数字串A0；数字串A0共有4个数字，经过两次加密得到新的数字串A2，则有16个数字；所以，数字串A0中的每个数字对应着数字串A2中的4个数字。【详解】解：根据加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01，因为数字串A2：100101101001，所以数学串A1为：100110，则数字串A0为：101；数字串A0共有4个数字，经过两次加密得到新的数字串A2有16个数字；所以，数字串A0中的每个数字对应着数字串A2中的4个数字，4个数字中至少有一对相邻的数字相等，故数字串中相邻两个数字相等的数对至少有4对．故答案为101；4．6．487．68．399

【分析】观察题干发现：“从第三个数起，每个数都是前两个数之和”说明从第三个数起，每个数除以5的余数都是前两个数除以5的余数之和，所以我们只需排出每个数除以5的余数，然后找出余数的规律就行了：1÷5=0余1，所以第三个数除以5的余数就是1+1=2；2÷5=0余2，所以第四个数除以5的余数是1+2=3；3÷5=0余3，所以第五个数除以5的余数是（2+3）÷5=1余0；0÷5=0余0，所以第六个数除以5的余数是3+0=3；…以此类推，余数排列如下：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3…发现规律：每5个余数为一周期，每一个周期的第5个数除以5的余数为0，即是5的倍数，所以1997÷5=399个周期…2即这串数的前1997个数中有399个是5的倍数．【详解】分析题干推出此数列除以5的余数数列为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3…观察余数数列发现，每5个余数为一周期，这5个数的最后一个能被5整除，又因为1997÷5=399…2，也就是1997个数中，有399个5的倍数（余下的2个数，不是5的倍数）．故答案为399．9．8【分析】报数的过程就是：1﹣2﹣﹣3﹣﹣﹣4﹣﹣﹣﹣5﹣﹣﹣﹣﹣6…，可以理解为：1个人报一个1，2个人报一个2，3个人报一个3，4个人报一个4，5个人报一个5，6个人报一个6…到报2008的同学时候，总共经过（1+2+3+4+5+…+2008）个人，即2017036个人，50个人为一轮，则是第36个人（余数），（1+2+…+n）=36时，n=8将这些学生按报数方向依次编号：1、2、3、49、50、512008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为，报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，我们知道36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以报2008的同学第一次报8．所以报2008的同学第一次报的是8．【详解】将这些学生按报数方向依次编号：1、2、3、49、50、512008，这样第n次报数的人的编号为，则报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，即：（1+2+…+n）=36时，n=8，所以报2008的同学第一次报8．故答案为810．125【分析】先从最高位排列，百位上有5种选择，十位上有5种选择，个位上有5种选择，所以共有：5×5×5=125（个）不同的三位数，据此解答．本题考查了乘法原理：即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．【详解】5×5×5=125（个），答：用1，2，3，4，5五个数字可以组成125个三位数．（各位上的数字允许相同）．故答案为125．11．400【分析】根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．【详解】倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10=400个．故答案为400．12．4【详解】设三个数的个位分别为⑴如果都相等，则只能都为0；⑵如果中有两个相等，①且，必有，则，与为数字矛盾；②且，则有，则；⑶如果都不相等，设，则，则，与为数字矛盾；综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5；⑴如果都为0，则乘积末尾3位为000；⑵如果为0，5，5①如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾3位为000；②如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾3位为500或000；③如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为，设另外两个末尾2位为，则，若为奇数，则乘积末尾3位为75；若为偶数则乘积为25，在乘上,无论为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上，积的末尾3位有000，500，250，750这4种可能．13．1000

【分析】要求“第100个数组的四个数的和”有两种可能：或者知道这四个数分别是多少；或者通过积来解答．（1）通过观察知道这串数组，各组数的和是10，20，30，40，…所以第100个数中的四个数的和是100×10=1000．（2）或者通过观察可以发现，每一组数括号中四个数的关系是：第一个数表示组数，第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个的3倍，第四个数是第一个数的4倍．因此，第100个数组内的四个数分别是：（100，200，300，400）．【详解】方法一：这串数组，各组数的和是10，20，30，40．因此，第100个数中的四个数的和是100×10=1000．方法二：通过观察可以发现，每一组数括号中四个数的关系是：第一个数表示组数，第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个的3倍，第四个数是第一个数的4倍．因此，第100个数组内的四个数分别是：（100，200，300，400）．所以，第100个数组的四个数的和是：100+200+300+400=1000．故答案为1000．14．315或－315【分析】根据“三个连续奇数的乘积，是它们的和的15倍”这一等量关系，设未知数并列方程求解，先找出这3个连续的奇数分别是多少，再求出它们的积即可。【详解】解：设中间的奇数为x，则三个奇数分别是x，x－2，x＋2；可得：x（x－2）×（x＋2）＝[（x－2）＋x＋（x＋2）]×15x（x－2）×（x＋2）＝3x×15（x－2）×（x＋2）＝45x2＝49x＝7或x＝－77－2＝57＋2＝9（－7）－2＝－9（－7）＋2＝－55×7×9＝315（－5）×（－7）×（－9）＝－315所以，三个连续奇数的乘积，是它们的和的15倍，则它们的乘积是315或－315【点睛】正确理解奇数的性质，是解答此题的关键。15．3

【分析】本题可根据自然数的排列顺序及数位知识进行分析：1～9个位数9个，10～99两位数90个，100～999三位数900个，1～99共有9+90×2=189个数字，1000﹣189=811个，811÷3=270…1，所以第1000个数码是370的百位上的数码3．问题得以解决．【详解】三位数的数码有：1000﹣（9+2×90）=811（个）三位数有811÷3=270个…1，所以第1000个数码是370的百位上的数码3．故答案为3．16．这个乘积是3999991【分析】我们可利用如下的关系式：1997×（某个数）＝2000×（某数）﹣3×（某数），如果后五位数是99990时，应有：2000×（某数）＝×××□000，3×（某数）＝×□001，××99999，那么这时所求会很大。如果除去个位外，后五位数是99999，那么应用：2000×（某数）＝×××□000，3×（某数）＝×□00？，可得乘积是？99999？，经试算可得某数为2003。【详解】根据题干分析可得：1997×（某个数）＝2000×（某数）﹣3×（某数），如果后五位数是99990时，应有：2000×（某数）＝×××□000，3×（某数）＝×□001，则得××99999，那么这时所求会很大。如果除去个位外，后五位数是99999，那么应用：2000×（某数）＝×××□000，3×（某数）＝×□00？，可得乘积是？99999？，经试算可得某数为2003，即2003×1997＝3999991为最小。答：这个乘积是3999991。【点睛】此题考查数字推理问题，较复杂，把1997×（某个数）转化成2000×（某数）﹣3×（某数）的形式进行推理计算，是解决本题的关键。17．8371692【详解】设王老师家的电话号码为，有+＝9063，+＝2529；令＝A，＝E，则：，即E＝9063－10A－d＝2529－A－1000d，所以9A－999d＝9063－2529＝6534，A－111d＝726，A＝726+111d，当d＝0时，A＝726；当d＝1时，A＝837；当d＝2时，A＝948．分别代入有726+0+E＝2529，E不是三位数；837+1000+E＝2529，E＝692；948+2000+E＝2529，E不是自然数．所以只能是A＝837，d＝1，E＝692．于是王老师家的电话号码为8371692．18．358【分析】设这三个数为a，b，c，则他们组成的三位数的和可表示为abc＋acb＋bac＋bca＋cba＋cab＝222（a＋b＋c），因其中的五个三位数的和为3194，又为三个数最小是1，2，3，最大是7，8，9。所以这六个三位数的和的范围是：3194＋123＜222（a＋b＋c）＜3194＋987，据此分析求出即可。【详解】这三个数为a，b，c，则他们组成的三位数的和可表示为：abc＋acb＋bac＋bca＋cba＋cab＝222（a＋b＋c），因其中的五个三位数的和为3194，这六个三位数的和的范围是：3194＋123＜222（a＋b＋c）＜3194＋987，该数的范围是（3317，4181）之间并且是222的倍数，且3317÷222＜a＋b＋c＜4181÷222即14.9＜a＋b＋c＜18.8.在这个区间内是222的倍数的只有3330，3552，3774，3996。用这四个数分别减去3194得，136，358，680，802。很明显，在这四个数中，满足上面要求的只有358。答：剩下的那个数是358。【点睛】根据已知条件求出这六个数和的取值范围后，根据排除法进行分析是完成本题的关键。19．334个【分析】首先根据题意，可得第一个数字串表示1到1999的所有奇数，然后根据第二个数字串的数字可表示为：3n﹣2，并求出一共有667个数字，而且按照奇数、偶数、奇数、偶数、…、奇数的规律排列，求出第二串数字中有多少个奇数，即可判断出同时出现在这两个数串中的数共有多少个．【详解】根据题意，可得第一个数字串表示1到1999的所有奇数，第二个数字串字可表示为：3n﹣2，由1999=3n﹣2，可得n=（1999+2）÷3=2001÷3=667所以第二个数字串中奇数的个数有：（667+1）÷2=668÷2=334（个）所以同时出现在这两个数串中的数共有334个．20．260【分析】由题意，首先求出11至18这8个连续自然数的和为（11+18）×8÷2=116，然后把116加上1992，得到另外8个连续自然数的和为116+1992=2108．假设另外的8个连续自然数从小到大依次为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8，则这8个连续自然数大小搭配可分成四组，每组和都相等即a1+a8=a2+a7=a3+a6=a4+a5=2108÷4=527．又因为a4和a5是两个相邻的自然数，所以a4+a5=527=263+264，从而可知a4=263，a1=263﹣3=260，也即另外的8个连续自然数中最小的数是260．【详解】[（11+18）×8÷2+1992]÷4=(116+1992)÷4=527．设中间的两个数为a4和a5，所以a4+a5=527=263+264，从而可知a4=263，那么第一个数就为263﹣3=260．答：另外8个连续自然数中最小数是26021．可划去2，3，…，30，31这30个数【详解】解法一：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999．解法二：可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数．（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，（30，33，30×33），（31，32，31×32）．上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为31×32=992．如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件．所以，30是最少的个数．22．10000012340【详解】剩下的11位数首位最小为1，后面的几位尽量为0，而12345678910111213…5960中只含有6个0，但是最后一个0出现在个位，不可能出现在高位上．故我们考虑再选其余5个0放在高位上，而剩下的5个数字就只能从51525354……60这20个数字中选取．仍然是要使高位尽量小，故接下来应该依次选1、2、3、4、0．最后剩下的这位11位数应该是10000012340．23．16和91【分析】能倒过来的数字只有0、1、6、8、9；而且0不能在首位，因为和是107，所以这两个两位数中一定有一个是十几，尝试可得出答案。【详解】由分析，可以先考虑组成十位是1的数：16、18、19；16倒过来是91，16＋91＝107，符合题意；18倒过来是81，18＋81＝99，不合题意；19倒过来是61，19＋61＝80，不合题意。答：这两个两位数分别是16和91。【点睛】①0不能作首位；②两位数的卡片，倒过来之后，个位变成了十位，十位变成了个位，个位变成了十位，数字也有可能发生变化；明确这两点是解答本题的关键。24．4，1，2【分析】根据题目可知，3个数能够组成6个不同的三位数，则这3个数字里面不能有0，可以设这三个数字分别为A、B、C，由此即可知道这6个不同的三位数是：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA；由于在6个数相加的和是1554，则ABC＋ACB＋BAC＋BCA＋CAB＋CBA＝200A＋200B＋200C＋20B＋20C＋20A＋2A＋2B＋2C＝222A＋222B＋222C，根据乘法分配律可知，222×（A＋B＋C）＝1554，即A＋B＋C＝7；由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而，所以最大的数最大为4；又，所以最大的数大于，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2。【详解】由分析可知：可以设这三个数字为A、B、C则6个不同的三位数是：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAABC＋ACB＋BAC＋BCA＋CAB＋CBA＝200A＋200B＋200C＋20B＋20C＋20A＋2A＋2B＋2C＝222A＋222B＋222C＝222×（A＋B＋C）1554÷222＝7由于这三个不同的数字不能为0则最小的是1和21＋2＋3＝3＋3＝66＜7，不符合题意7－1－2＝6－2＝4答：这三个数字分别是4、1、2。【点睛】解题的关键是清楚每个数位上数字表示的大小，同时要注意，6个不同的数说明这三个数字不能有0是解题的关键。25．12个【分析】只有0、1、8、6、9这5个数字倒过来看还是数字，所以不会有其他数字出现。对于两位数，倒过来之后，十位变个位，个位变十位，因此十位的数字倒过来后应该和个位数字一样，所以只要确定了十位数字，就可以写出个位数字，对于三位数，十位可以是0、1、8，百位确定后个位就确定了。据此一一枚举写出符合题意的数即可得出答案。【详解】根据数字特点，写有三位数的纸片倒过来看仍是原来的三位数，则这个三位数的十位可以是0、1、8；所以可以有101、111、181、609、619、689、808、818、888、906、916、986，共12个。答：这样的三位数有12个。【点睛】本题的突破口在于明确写着两位数的卡片，倒过来看个位变十位；写着三位数的卡片，倒过来看个位变百位。26．8【详解】从现有的数列是找不到规律，我们可以按照题目的意思继续写出一些数，去发现相应的规律．628088640448202246066280…由此我们可以看到前20位数是一组，后面依次重复出现．解：66÷20＝3（组）……6（个）这串数的第66个数是“8”．27．(1)1089

(2)2178【详解】(1)设原四位数为，依题意有：首先可以确定千位数字a为1，否则abcd的9倍不是四位数，于是有d为9．其次考虑百位数字乘以9后，没有向千位进位，从而可知b为0或1．经检验，当b为0时，c为8满足算式；当b为1时算式无法满足．因此，所求的四位数是1089．(2)设原四位数为，依题意有：显然a等于d与4的积的个位数字，所以a为偶数，于是只能是2，不然a×4就不是一位数，对应的原式乘积就不是四位数．则d为8或9，8×4＝32，9×4＝36，所以d为8；有×4＝，b×4没有进位，所以b只能为0，1或2；a为2，所以b只能是0或1；当b＝0时，有c×4的个位数字加上8×4的十位数字为10的倍数，所以c×4的个位数字为7，显然不满足；于是，b＝1，有c×4的个位数字加上8×4的十位数字得到的和的个位数字是1，所以c×4的个位数字是8，c＝2或7．而a＝2，所以c＝7．有2178×4＝8712，所以原来这个四位数为2178．28．1147.【详解】试题分析：余数比除数要小，商比除数大2，可知，最小数是余数，最大数是被除数；被除数﹣余数=1023=商×除数=3×11×31=33×31，商是33，除数是31．余数最大是30，被除数=1023+30=1053，则1053+31+33+30=1147，所以四个数和最大可能是1147．解：最大数与最小数之差是1023，则被除数﹣余数=1023=商×除数=3×11×31=33×31，即商是33，除数是31．余数最大是30，被除数=1023+30=1053，1053+31+33+30=1147，所以四个数和最大可能是1147．点评：首先明确最小数是余数，最大数是被除数，然后根据被除数、除数、商、余数之间的关系进行分析是完成本题的关键．29．573.5【分析】首先用三个不同的非零一位数，可以组成6个不同的三位数，这6个不同的三位数的和是222乘以这三个数字的和，据此分析解答即可。【详解】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，