高三上学期12月考数学试题解析版

高三上学期12月考数学试题（解析版）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.1、【答案】B【分析】先解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合，，因此.故选：B.2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（

）A． B． C． D．2、【答案】C【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.【详解】设，因，则，即，而，则，解得，所以.故选：C3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（）A.B.C.D.3、【答案】C【解析】不超过25的素数有共9个，中位数为11，任取两个数含有11的概率为，故选C.4．设平面向量，，且，则=（

）A．1 B．14 C． D．4、【答案】B【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.【详解】因为，所以又，则所以，则，故选：5.是两个平面，是两条直线，则下列四个选项错误的是（）A．如果，那么.B．如果，那么.C．如果，那么.D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等.5、【答案】A．【解析】对于A．，，则的位置关系无法确定，故错误；对于B．,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故B．正确；对于C．由两个平面平行的性质可知正确；对于D，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确。故选A．考点：空间中的线面关系.6．设，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故选：7．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．27、【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②，①-②得，，化简得③，因为线段的中点为，所以，代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B8．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，，，设，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因为，，，且，可得，，所以.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设为两个互斥的事件，且，则（）A.B.C.D.【答案】AD【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.【详解】因为为两个互斥的事件，且，所以,即，故A正确，B错误；因为为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以也不一定为对立事件，故不一定为1，故C错误；因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，故选：AD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.为函数图象的一条对称轴．B.函数在上单调递减．C.将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为．D.在上有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】BC【分析】将函数化简为，结合三角函数的性质，逐一分析判断即可.【详解】结合题意：，化简为：.对于A选项：令，解得易验证不是对称轴，故A错误；对于B选项：当时，，结合三角函数的性质可知，在上单调递减，故B正确；对于C选项：因，所以，要使在上的最小值为，则，即，故C正确；对于D选项：由，得，要使在上有2个零点，则，解得，故D错误.故选：BC.11．如图，在棱长为的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（

）个A．点在平面的射影为的中心；B．直线平面；C．异面直线与所成角不可能为；D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为．【答案】ABC【详解】对于A，连接、，因为四边形为正方形，则，平面，平面，，，平面，平面，，同理可证，因为，平面，因为，，故三棱锥为正三棱锥，因此，点在平面的射影为的中心，A对；对于B，连接、，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，平面，因此，平面，B对；对于C，因为平面，平面平面，平面，平面，，C对；对于D，设分别交平面、平面于点、，则平面，平面，，，，可得，同理可得，，则.、的外接圆半径均为，易知、分别为、的中心，当点与点或点重合时，取最大值，当点为线段的中点时，取最小值，即，因为为等边三角形，且平面，垂足为的中心，所以，三棱锥的外接球球心在线段上，设，球的半径为，则，（i）当球心在线段上时，，因为，所以，，可得，可得，此时，；（ii）当球心在线段上时，，因为，所以，，可得，可得，此时，；（iii）若球心在线段上时，，因为，所以，，可得，不合乎题意.所以，，故三棱锥的外接球的表面积，D错.故选：ABC.12．已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（

）A．的周期为4B．的图象关于直线对称C．D．【答案】AC【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，可得，则的周期为4，故A选项正确；又，则的图象关于对称，故选项B错误；又，所以，故选项C正确；由以上可知，，但是不知道等于多少，函数的周期为4，则，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中，常数项是______________.13、【答案】【分析】写出二项展开式的通式，令的次数为即可.【详解】的展开式通项为，令，得，故常数项是．故答案为：．14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为________．14、【答案】134；【解析】由这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序构成的数列是一个首项为14，公差为15的等差数列，由，解得，故该数列的项数为134。故答案为：134.15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是．15、【答案】【解析】【解答】设右焦点为，连接，．因为，即，可得四边形为矩形．在中，，．由椭圆的定义可得，所以，所以离心率．故答案为：．16、在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．16、【答案】或0【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，．（1）证明：是等腰三角形；（2）若，求17、【分析】（1）根据正弦定理，结合条件，即可证明；（2）首先中，根据余弦定理求，再结合角的关系，求.【小问1详解】由正弦定理可知，又，所以，又因为，所以，所以是等腰三角形………………4分【小问2详解】设，，则，，，所以在中，由余弦定理，得：，在中，∵，∴∴……10分18．（12分）已知数列，满足，，.（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前项和.18、【解析】（1）依题意，.………………3分又.故为首项，公比的等比数列.……5分（2）由（1）可知.所以.

①

②①-②得…………8分，故.………………12分19．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·(1)若P是的中点，证明：；(2)若平面，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体的体积．20、【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，……2分若是的中点，则，，，于是，∴，即．……4分（2）由题设知，，，是平面内的两个不共线向量．设是平面的一个法向量，则，取，得．………………6分又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时．…………8分设，而，由此得点，，∵PQ∥平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而．…………10分将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积．……12分20．（12分）设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.20、【答案】(1)；(2)分布列见解析，【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.（2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.【详解】（1）从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为，记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，则，，，所以；……6分（2）X的所有可能取值为2，3，4，则，，，故X的分布列如表：X234P故.…………12分【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.21、（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．（1）证明：坐标原点在圆上；（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．21、【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设，，，………………1分联立：得，恒大于，，．………………3分…………5分∴，即在圆上．……6分⑵若圆过点，则，，，，化简得解得或1……8分①当时，圆心为，，，半径，则圆…………10分②当时，圆心为，，，半径，则圆……12分22.已知函数（……是自然对数底数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．22、【分析】（1）求得导函数后，利用函数的增减性考查导函数的正负，即可求得单调区间；（2）利用导数考查函数单调性，求得函数的最小值点，对于，构造函数，利用函数的单调性结合不等式的等价变形，即可证明.【小问1详解】当时，，∴，……1分令，显然在单增，且，…………2分所