固体物理第二章4课件

固体的弹性性质：固体的范性性质：假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；---------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡位置所产生的内应力也随方向不同。显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。§2.8应力、应变、胡克定律固体物理第二章4称为并矢，作为张量的9个基。一般张量可写为张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单位基矢量为张量的9个分量写为用矩阵表示固体物理第二章4一、应力张量1、应力定义：固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。弹性恢复力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生—个趋向于使其恢复到平衡位置的力。

一个物体处于受力状态，一般有两种情况：*

物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻体力，例如重力；*另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面积之比就称为应力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。

固体物理第二章4应力定义：直角坐标系中，（x,y,z）点，以x,y,z为外法线的面积元上的应力分别为yySTD-固体物理第二章4

此处i,j=x,y,z

第一下标i表示应力的方向，第二下标j表示应力所作用的面的法向。作用在立方体上的应力张量元

例如作用在垂直于X轴的单位面积上沿X方向的应力是Txx

。这类应力是垂直于表面的，称为正应力，代表张力或压力;

作用在垂直于X轴的单位面积上沿Y方向的应力是Tyx

。这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表切应力。固体物理第二章4应力张量矩阵表达式晶体中某点(x.y.z)的应力状态对应9个应力分量用矩阵表示，即作用在立方体上的应力张量元

在静力平衡条件下，内应力作用在物体上的总力矩等于零。物理意义：当不存在体积转矩时，在相互垂直的面上，垂直于该二面交线的切应力相等。固体物理第二章4即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。常用符号Th代表应力分量：固体物理第二章4作用在单位体积元上的力与应力张量元的关系如图所示，沿x方向力的分量有三个：三式相加，可得作用在体积元ΔxΔyΔz上的力的x分量为：作用在体积元上的应力固体物理第二章4作用在单位体积上的力的x分量为：作用在体积元上的应力同理，可得作用在单位体积上的力的y、z分量：固体物理第二章4二、应变张量当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变:

介质间发生的相对位移，称之为应变。如图，在固体中取xy平面，P为任一点，PA＝Δx，PB＝Δy，PA平行x轴，PB平行于y轴，由于形变，P，A，B三点分别移到质点位移表示固体物理第二章4计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：

线段在长度方向上的相对伸长（或缩短）量称为正应变，

PA的正应变为：PB线段的正应变固体物理第二章4坐标轴间夹角的变化：从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:PA转过的角度为PB转过的角度为定义：PA与PB线段的偏转角之和为切应变固体物理第二章4同理，对于yz和xz平面，可求得由以上可知，某一点的应变有9个分量，用矩阵表示，则为应变张量是个对称二级张量，只有6个独立的元。固体物理第二章4如果把双下标按下列对应关系换成单下标并规定：

则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常被写成一个六元纵列矩阵。固体物理第二章4三、胡克定律、晶体弹性模量胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其数学表达式为：可以写成矩阵的形式固体物理第二章4或统一表示为：系数cλμ称为晶体的弹性模量。我们也可以把晶体的应变和应力的关系写成如下形式：固体物理第二章4系数Sλμ称为弹性系数，从上面两式可以看出，弹性模量张量和弹性系数张量是互逆的，即：四、弹性模量的对称性

通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证明，cλμ具有交换脚标的对称性，即：

cλμ

＝cμλ因此，矩阵（C）为一对称矩阵，只有21个独立元素。固体物理第二章4如果晶体具有对称性，独立元素的数目还要减少。对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；而对称性最大的立方晶系，如果将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有三个不为零的矩阵元。下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。固体物理第二章4以三个4度轴为坐标轴，先绕z轴转90度，则坐标将按以下方式变换：或简写为：于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：注意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后两个下标分别具有对称性，因此我们通常采用以下方法简化下标来代替双下标，对应关系如下：xy固体物理第二章4于是弹性模量中21个独立分量的下标，将发生如下变换：用简化下标时：固体物理第二章4此处略去左下方的一半，因为它是对称的。由于是对称操作，变换前后的各对应项应相等，从而有：项不变；固体物理第二章4最后得矩阵形式为：然后再绕y轴或x轴旋转90度，坐标变换分别按以下方式变换：则有：其余各项为零。固体物理第二章4

于是，立方晶系中的弹性模量的独立分量再次减少到3个，其完整的矩阵形式为固体物理第二章4§2.9弹性动力学方程、弹性波

一、弹性动力学方程（弹性波通过晶体时，晶体中单位体积元的运动方程）前面我们导出过作用在单位体积上的力的x、y、z方向的分量为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：固体物理第二章4弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：式中ρ代表晶体密度，u、v、w代表晶体中质粒位移沿主轴x、y、z方向的分量。根据应力分量符号，上式可以写为固体物理第二章4上式称为弹性动力学方程。二、弹性波求解在各向异性结构中的晶体中，弹性波在不同方向上的传播情况是不同的。假设有一沿R＝（l，m，n）方向传播的弹性波，它的方向余弦为l,m,n，在这方向上某点振动质点P（x、y、z）同原点的距离为：固体物理第二章4我们研究该方向上P点处的应变Sn:由应变张量元公式固体物理第二章4将胡克定律和上式代入动力学方程（3）式固体物理第二章4固体物理第二章4

式中Γij称为克利斯托夫模量，共有九个分量，但Γij＝Γji，故独立分量只有6个，其具体表达式为：

上式是一个波动方程，其特解可用晶体中传播的声波（平面波）来表示。固体物理第二章4为便于记忆和运算，［Γij］也可以写成矩阵形式：固体物理第二章4

克利斯托夫模量只是弹性波的传播方向R（l、m、n）和晶体弹性模量的函数，它具有弹性模量的量纲。固体物理第二章4设表示沿R传播的波在晶体中所引起的弹性位移矢，分量为位移矢的方向余弦为把上式代入波动方程（4）得这就是沿R方向传播的弹性波方程。为有效弹性模量。那么的长度为固体物理第二章4把（6）式代入波动方程（4）得固体物理第二章4同理有效弹性模量与克利斯托夫模量关系固体物理第二章4为使该线性方程组具有非零解，必须满足如下久期方程：它必需满足如下方程组：对应这三个波，质粒分别有相应的三个位移。的传播声速为由此可知，一般情况下有三个解，它们对应三个不同的波，其对应固体物理第二章4例：讨论立方晶系的晶体中沿［100］方向传播的声波。解：当声波沿［100］方向传播时，立方晶系只有三个独立的弹性模量，其矩阵形式如下：因此由克利斯托夫模量表达式可以算得：固体物理第二章4这时久期方程式变为：当声波沿［100］方向传播时，固体物理第二章4可解得代入（7）式得三个弹性波的波速和对应的质粒位移方向：固体物理第二章4v1对应的声波使质点沿方向振动。-----纵波1）v2对应的声波使质点沿方向振动。----横波2）v3对应的声波使质点沿方向振动。----横波3）从以上讨论可以看出，某方向传播的弹性波，一般有三个模式，其中一个波的位移方向和波矢方向R相同，称为纵波；而另两个波的位移方向垂直于波矢方向，则称为横波。固体物理第二章4例题:已知某晶体中相邻两原子间的互作用势能可表示成（1）求出平衡时，两原子间的距离。（2）平衡时的结合能。（3）若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3埃，每个原子的离解能为4eV，计算A及B的值。（4）如果平衡时晶体的体积为V0，结合能为E0，求出晶体的体弹性模量。（5）晶体在平衡时，原子之间具有量值相等、方向相反的吸引力和排斥力，求出平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值。固体物理第二章4解：（1）平衡时，要求互作用势能取极小值，所以由上式可以求得平衡时两原子间的距离（2）平衡时的结合能即为固体物理第二章4

离解能就是晶体全部解离成各个原子状态所需要的参量。因此，离解能实际上即是该晶体的结合能Eb。如果只计及最近邻原子间的互作用势能，则（3）已知m=2，n=10，已知每个原子的离解能因此因此把上述数值分别代入（2）和（3）式，可得固体物理第二章4即由（6）式即可得把A的数值代入（5）式，即得固体物理第二章4（4）体弹性模量和晶体总互作用势能关系为如果只计及最近邻的原子间互作用势能，则有因为相邻原子间的距离为r，所以晶体的体积

这里α是与晶体的原子几何结构有关的系数，对于简立方结构，α＝1，因此固体物理第二章4根据（9）式，固体物理第二章4所以根据（8）式，把（2）式代入，可得固体物理第二章4把（11）、（12）代入（10）式，得到因为平衡时的结合能为E0，所以根据（3）及（4）式即把上式代入（13）式，并利用则可得固体物理第二章4（5）平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值在互作用势能表达式中，第一项相应于吸引势，第二项相应于排斥势，即吸引势及排斥势分别为因此吸引力及排斥力应为在平衡时，它们的值分别为固体物理第二章4第二章要点1、晶体结合的基本类型晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。2、结合能（1）定义：原子结合成晶体后释放的能量E0：晶体的总能量（内能）EN：是组成该晶体的N个原子在自由状态时的总能量固体物理第二章4（2）相互作用能两原子间的相