高二数学（原创）人教A版数学-选择性-第六章计数原理-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第六章

计数原理

2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会将在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车．该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？成都北京1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养．2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.课标要求素养要求

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.探究点1分类加法计数原理

思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.思考2：你能说说这个问题的特征吗？上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.你能举出一些生活中类似的例子吗？

一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，

在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.两类不同方案中的方法互不相同例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学分析:要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.解

这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择

方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数

N=5+4=9.利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.思考3：如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？分类加法计数原理：

完成一件事,如果有n类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.13【归纳总结】思考4：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A1，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？探究点2分步乘法计数原理

方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.

解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来思考5：你能说说这个问题的特征吗？上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

一般地，有如下分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.⑵首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数..注意：⑴各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理.例2

某班有男生30名，女生24名。从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解

第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有30×24=720种不同方法.分析

要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生.思考6：如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

N＝m1×m2×m3如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？分步乘法计数原理一般结论：N＝m1×m2×…×mn例3

书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?

解（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4×3×2＝24.【归纳总结】例4

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？分析

要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成。解

从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；

第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6.例5

给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名？分析

要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类，解

由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053,即最多可以给1053个程序模块命名.26C27B285029

分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.完成了所有步骤 ,恰好完成任务