立体几何中的向量法-平行垂直问题

3.2立体几何中的向量法(1)第三章空间向量与立体几何——空间向量与平行、垂直的关系本节课主要学习由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面等的平行、垂直关系．通过复习空间向量的共线、共面定理进行新课导入。学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论，强化“形〞与“数〞一致并相互转化的思想方法例1与例2是关于平面的法向量问题；例3是证明两个平面平行问题；例4是证明两条直线平行问题；例5是证明直线与平面的平行问题，运用了一题多解，培养学生的思维的广阔性。因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系．研究

从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题(研究的根本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)引入2、思考1.如何确定一个点在空间的位置？2.在空间中给一个定点A和一个定方向〔向量〕，能确定一条直线在空间的位置吗？3.给一个定点和两个定方向〔向量〕，能确定一个平面在空间的位置吗？4.给一个定点和一个定方向〔向量〕，能确定一个平面在空间的位置吗？lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量

方向向量与法向量2、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如下图,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)典例展示变式1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如下图建立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.

用向量方法解决立体问题ml〔一〕平行关系：证明平行与垂直〔二〕、垂直关系lmlABCαβ直线l与m相交,例3.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行

例4四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG在中，E，G分别为PC，AC的中点ABCDPEXYZG解2：如下图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEXYZ解3：如下图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：设平面EDB的法向量为练习：如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC。求证：EF//BD1.FABCDA1B1C1D1EA1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F例5正方体中，E、F分别平面ADE.

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心。

求证：OE⊥面ACD1ABCDA1B1C1D1EO●,E是AA1中点，例6正方体平面C1BD.

证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如下图坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.

平面EBDoxyzABCO1A1B1C11.如下图,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________.平面OABC的一个法向量坐标为___________.平面AB1C的一个法向量坐标为___________.(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)BB

1．如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取点A和

，

可以作为l的方向向量，借助点A和

即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．2