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文档简介

第二章

三、两个重要极限

二、极限存在准则

§2.5

极限存在准则两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系定理1

的充分必要条件是：

对任意数列{xn}，xn≠x0，

当xn→x0(n→∞)时，

都有

定理1经常被用于证明某些极限不存在.例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及显然当n→∞时，xn→0,由定理1知不存在

.定理2(两边夹法则)

如果函数g(x),f(x),h(x)满足：二、极限存在准则例2.

证明证:

利用两边夹法则.且由g(n)h(n)定理3（收敛准则Ⅰ）定理4（收敛准则Ⅱ）单调递减且有下界的数列必有极限．

单调递增且有上界的数列必有极限．单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限(证明略

)例3

已知数列

满足：

证明数列

收敛．

证

先用数学归纳法证明

（1）当n=1时，

结论成立．

（2）当n=k时，xk<2,则

由数学归纳法知xn≤2.再证明该数列单调递增．

由定理2知数列收敛．

令则故极限存在，备用题

1.设

,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则圆扇形AOB的面积证:

当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积三、两个重要极限为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：时，例4.

求解:

例5.

求解:

令则因此类似可证1-1例6.

求解:

原式=2.我们可以通过列出函数

的部分取值列表

来观察该函数值的变化趋势．

xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827……xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.71828……的值无限接近于一个常数

由此可得:令z=1/x,则x→∞时，z→0，为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：例6.

求解:

令则说明：若利用则

原式解:

原式

=例7.

求例8

求

解

的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在;

法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在

.(2)函数极限存在的两边夹法则;(3)单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极

限2.两个重要极限思考与练习填空题

(1～4)P34,练习2.42（6）解

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