大学物理之力学

大学物理

力学力学内容第一章、质点运动学第二章、牛顿运动定律第三章、功和能第四章、动量和角动量第五章、刚体力学基础第一章质点运动学1.1.1、参考系(referenceframe)和坐标系(coordinate)参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。（运动描述的相对性）在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等.说明1.1运动学的一些基本概念1.1.2、时间和空间的计量时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命10-24s.极限的时间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适用了。1、时间及其计量2、空间及其计量空间反映物质运动的广延性。在巴黎国际标准局—标准米尺；1983年定义米为真空中光在1/299792458s时间内所行经的距离。空间范围从宇宙范围的尺度1026m(约200亿光年）到微粒的尺度10-15m.极限的空间长度为普朗克长度10-35m,小于此值，现有的空间概念就不适用了。1.1.3、质点（masspoint）相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础.具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。说明在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多个质点组成的质点系，弄清每个质点的运动情况，就可以了解整个物体的运动。1.2.1、位置矢量(positionvector)位置矢量的方向:位置矢量的大小：在直角坐标系中位置矢量为:

1.2描述质点运动的基本物理量参考系—坐标系—原点和坐标轴—钟在直角坐标系中，在t时刻某质点在点P的位置可用坐标系原点O指向点P的有向线段表示，矢量称为位置矢量，简称位矢.1.2.2、运动方程质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。在直角坐标系中，根据轨迹的形状，质点运动分为直线运动和曲线运动。质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点的运动轨迹。轨迹方程(trajectory)从运动方程中消去t，则可得：或：在直角坐标系中：从质点初位置到质点末位置所引的矢量定义为位移。位移矢量的大小位移矢量的方向1.2.3、位移矢量(displacement)路程1）

和

是两个不同的概念。4）位移只取决于初末位置，与原点的选择无关（位矢与原点的选择有关）。3）位移与路程的区别：2）位移大小与位矢大小增量的区别：说明思考：1.2.4、速度矢量（Velocity）:表示质点运动快慢及方向的物理量1、平均速度2、速度方向沿切向，并指向前进方向。在直角坐标系中：速度大小平均速度和平均速率；瞬时速度和瞬时速率定义：定义：平均加速度=大小：瞬时加速度:方向：

t0时的极限方向。在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。1.2.5、加速度矢量（acceleration）:表示速度变化快慢的物理量在直角坐标系中：加速度的方向加速度的大小其中分量为

运动学中的两类问题1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问题常称为运动学第一类问题．2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称为运动学的第二类问题．微分积分解根据质点速度的定义则有速度的大小根据质点加速度的定义例题1-1

已知质点的运动方程是式中R,ω都是正值常量。求质点的速度和加速度的大小，并讨论它们的方向。加速度的大小则有根据矢量的点积运算，分别计算质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方向，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。结论

例题1-2一质点作平面运动，已知加速度为，其中A、B、ω均为正常数，且A≠B,A≠0,B≠0。初始条件为t=0时，。求该质点的运动轨迹。

解这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨迹方程的问题。

由加速度三个分量

的定义可得

从x,y的表示式中消去ωt，即可得质点的运动轨迹方程为:结果表明，质点的运动轨迹为椭圆。例题1-3一质点沿x轴正向运动，其加速度与位置的关系为a=3+2x。若在x=0处，其速度v0=5m/s，求质点运动到x=3m处时所具有的速度。

解

已知，由加速度的定义式得：

根据初始条件作定积分

速度的方向沿x轴正向。

解选取竖直向上为y轴的正方向，坐标原点在抛点处。设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为k，则空气阻力为此时小球的加速度为即作变换整理则得例题1-4以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为m的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？根据初始条件，作定积分可得当小球达到最大高度H

时，v=0。可得例题1-5已知一质点由静止出发，它的加速度在x轴和y轴上的分量分别为ax=10t和ay=15t

2。求t=5s时质点的速度和位置。解取质点的出发点为坐标原点，由定义得根据题意，初始条件为t=0,v0x=0,v0y=0，对上式进行积分，得

t=5s代入上式得利用初始条件t=0,x0=0,y0=0，对vx,vy进行积分，得s代入上式得切向（tangential）单位矢量法向（normal）单位矢量1.3.1、自然坐标系1.3平面曲线运动其方向都是随位置（时间）变化的在质点运动的轨迹上任取一点O作为自然坐标系的原点，沿轨迹规定一个弧长正方向,则可以用由原点到质点所在位置的弧长S来描述质点的位置在自然坐标系中弧长s是可正可负的坐标量，当质点P位于O点弧长正方向一侧时取正值，处于O点另一侧时去负值。称为切向加速度称为法向加速度速度矢量表示为加速度矢量表示为1.3.2、质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度由加速度的定义是矢量，方向垂直于并指向圆心，与的方向一致。的长度等于1，于是有

由于

质点速率变化的快慢质点速度方向变化的快慢切向加速度法向加速度加速度的大小1.3.4、圆周运动的角量描述1、角位置（angularposition）：θ

3、角位移(angulardisplacement)：△θ

1.3.3一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度曲线上任一点P的附近极短的一段曲线上，可用与它相切处曲率半径为ρ的圆弧来代替,则一般平面曲线运动的切向加速度和法向加速度。

2、运动方程曲率半径：（瞬时）角速度4、角速度(angularvelocity)平均角速度5、角加速度(angularacceleration)平均角加速度（瞬时）角加速度角速度是矢量，其方向垂直于质点运动的平面，指向由右手螺旋法则确定：当四指沿运动方向弯曲时，大拇指的指向就是角速度的方向。匀速率圆周运动：角速度是恒量，角加速度为零；变速率圆周运动：角速度不是恒量，角加速度一般也不是恒量。角加速度是恒量时，质点作匀变速圆周运动。在匀变速圆周运动中的角位置、角速度和角加速度间的关系与匀加速直线运动中的位移、速度和加速度间的关系形式上完全类似，它可写为

1.3.5、角量与线量的关系在dt

时间内质点的位移质点的速度由加速度的定义切向加速度法向加速度圆周运动的第二类运动学问题积分积分切向加速度at和初始条件速率方程和自然坐标表示的运动方程角加速度β

和初始条件角速度方程和以角量表示的运动方程解（1）由角速度和角加速度的定义，得把t=2s代入运动方程、角速度和角加速度方程，可得例题1-6一质点作半径为R=1.0m的圆周运动，其运动方程为θ=2t3+3t，其中θ

以rad计，t以s计。试求：（1）t=2s时质点的角位置、角速度和角加速度。（2）t=2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。（2）根据线量与角量的关系，可得加速度加速度的大小设加速度与法向加速度的夹角为α，则例题1-7如图所示，汽车以5m/s的匀速率在广场上沿半径为R=250m的环形马路上行驶。当汽车油门关闭以后，由于与地面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行50m而停止，试求：（1）汽车在关闭油门前运动的加速度。（2）汽车在关闭油门后4s时运动的加速度。解（1）汽车关闭油门前时作匀速率圆周运动，其切向加速度和法向加速度分别为则，其方向指向环心O。

（2）汽车在关闭油门后滑行50m而停止。汽车的切向加速度为油门关闭4（s）时，汽车的速率为此时法向加速度为:

总加速度的大小为:

总加速度与速度的夹角为

例题1-8一飞轮以n=1500r/min的转速转动，受到制动而均匀地减速，经t=50s后静止。（1）求角加速度β和从制动开始到静止时飞轮的转数N为多少？(2）求制动开始t=25s时飞轮的角速度ω(3）设飞轮的半径R=1m时，求t=25s时，飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度解（1）由匀变速圆周运动基本公式从开始制动到静止，飞轮的角位移Δθ及转数N分别为

(2）t=25s时飞轮的角速度ω为(3）t=25s时，飞轮边缘上一点的速度为切向加速度和法向加速度为解设加速度与速度方向的夹角为α，则即所以两边积分例题1-9质点沿半径为R的圆轨道运动，初速度为v0，加速度与速度方向的夹角恒定，如图所示．求速度的大小与时间的关系．解:取t=0时质点的位置O′为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标正向，并设任意时刻t质点的速度为v，自然坐标为s.（1）代入t=1s，可得质点的速度和加速度的大小为

例题1-10质点沿半径R=3m的圆周运动，如图所示。已知切向加速度at=3m/s2,t=0时质点在O’点，其速度v0=0，试求：（1）t=1s时质点速度和加速度的大小；（2）第2秒内质点所通过的路程。

利用初始条件作定积分（2）由得，利用初始条件作定积分代入数据可得第2秒内质点通过的路程为

1.4相对运动同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。物体运动的描述依赖于观察者所处的参考系S’（ox’y’)系和S(oxy)系在t=0时重合，P,P’点重合。在Δt时间内S’相对S位移ΔD，则伽利略速度相加原理若u为常量，则在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察同一质点的运动，所得的加速度相同。位移相加原理而位移相加原理是相对同一参考系来说的。这里默认了长度和时间的测量与参考系的相对运动无关。说明长度和时间的测量是绝对的—牛顿时空观。适用条件:宏观、低速情况

例题1-11一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以15km/h速率沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内，如图所示。求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。

解选地面为S系，车为S′系，S′系相对S系运动速率为u=15km/h。所求雨滴相对地面的速度为，雨滴相对车的速度为。根据伽利略速度相加定理，则有由已知条件得与地面的夹角

且与u垂直，故可得

例题1-12在相对地面静止的坐标系内，A，B两船都以2m/s的速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向，今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x，y单位矢量分别用表示），求在A船上看B船的速度。解选地面为S系，A船为S′系，B船为运动物体，S′系相对S系运动速度为根据伽利略速度相加定理，则B船对S′系的运动速度为B船对S系的运动速度为解选地面为S系，劈形物体为S׳系。在两参考系上建如图所示的坐标系。木块相对S׳系的加速度为S'系相对S系的加速度为根据加速度叠加原理，木块对地面的加速度为例题1-13倾角θ=300的劈形物体放在水平地面上。当斜面上的物体沿斜面下滑时，劈形物体以加速度4ms-2为向右运动。又知道木块相对斜面的加速度为6ms-2，求木块相对地面的加速度。小结一、基本概念：位矢：运动学方程。位移：速度：加速度：二、两类基本问题：三、运动的描述1、基本物理量位置矢量位移速度加速度线量角量2、线量与角量的关系四、运动的相对性伽利略速度相加原理位移相加原理加速度相加关系预习第2章内容第二章牛顿运动定律2.1.1、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。数学表达：说明1）惯性2）力的涵义3）惯性参考系2.1牛顿运动定律任何物体都具有保持其运动状态不变的特性，这个性质叫做惯性。改变物体的运动状态，必有其它物体对它作用，这种物体和物体之间的相互作用被称之为力

一个不受合力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态不变，这样的参考系称为惯性参考系，简称为惯性系。2.1.2、牛顿第二定律数学表达：说明1）定义力2）力的瞬时作用规律3）矢量性5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系4）说明了质量的实质：物体惯性大小的量度物体受到力作用时，它所获得的加速度的大小与合力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合力的方向相同。在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为m为恒量时：在自然坐标系中，牛顿第二定律的分量式为2.1.3、牛顿第三定律1）瞬时性2）矢量性3）性质相同

当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定同时以力F2作用在物体A上，F1和F2在同一直线上，大小相等，方向相反，这就是牛顿第三定律。数学表达：（1）只适用于惯性系．（2）只适用于v<<c，否则，须应用相对论力学处理．（3）一般仅适用于宏观物体的宏观运动．微观粒子的微观运动，要用量子力学处理．2.1.4、牛顿运动定律的适用条件是：注意

AB牛顿三大爱情定律:

1、第一定律(物体在没有外力作用的情况下会保持原有的状态)；

推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。

2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)；

推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。

评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏得好。

3、第三定律(作用力与反作用力大小相等，方向相反)；

推论：当你爱一个美眉，这个美眉也一定爱你。

至此，伟大的牛顿的三大爱情定律全数推翻。

2.2.1、基本的自然力1．引力：2．电磁力：静止的电荷之间存在着电力（库仑力），运动的电荷之间不仅有电力，而且有磁力。这两种力有其本质上的联系，总称为电磁力。

电磁力、万有引力的作用距离可以很大，所以称为长程力。3．强力：作用于质子、中子、介子等强子之间的力称为强力。4．弱力：弱力是存在于各种粒子之间的另一种相互作用

强力和弱力是种短程力。

2.2相互作用力惯性质量和引力质量引力常数：G=6.67

10–11m3/(kg2·s2)强力>电磁力>弱力>引力2.2.2、力学中常见的几种力1重力：地球表面附近物体受到地球的万有引力2弹性力：发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用叫弹力.一些弹性体（如弹簧）在形变不超过一定的限度时，其弹性力遵从胡克定律。万有引力：绳或线对物体的拉力，是由绳发生形变而产生的，其大小取决于绳被拉紧的程度。绳产生拉力时，绳的内部各段之间也有相互的弹力作用，这种内部的弹力作用称为张力。绳子每段的质量为△mi

应用牛顿第二定律得

说明绳中不同点处张力不相等，张力的大小与加速度a有关。

3摩擦力：当两个接触物体相对运动或有相对运动趋势时，在接触面上产生的阻碍它们相对运动的力。滑动摩擦力：静摩擦力：大小：方向：总是与该物体相对运动趋势的方向相反大小：方向：总是与受力物体的相对运动的方向相反4流体阻力（也称流体内摩擦力）

当物体在流体内运动时会受到流体的阻力，流体包含气体和液体。质点所受阻力与质点运动方向相反，当运动速率较小时，阻力的大小与速率成正比，即当运动速率较大时，阻力与速率的平方成正比，即和为比例系数，与物体的形状、大小和流体性质等因素有关，可由实验测定。

原则上，由牛顿运动定律可以解决所有力学问题。常见的力学问题分为两类：一类是已知力求运动；另一类是已知一些力和运动求另一些力。正确地分析物体（质点）所受的力是解决问题的关键选对象、看运动、分析力、建坐标和列方程解题步骤一般是：2.3牛顿运动定律的应用分析：已知初始条件求速率和路程，需先求出加速度。结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动方程的第二类运动学问题。1)以桌面为参考系，建立自然坐标系解：

2)分析受力,其中竖直方向重力与桌面的支持力相互平衡，与运动无关。3)应用牛顿第二定律设物体的质量为m例题2-1光滑桌面上放置一固定圆环，半径为R，一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动摩擦系数为μ。设在某一时刻质点经A点时的速度为v0

。求此后t时刻物体的速率和从A点开始所经过的路程。切向：法向：联立1）-3）得:4)积分运算进行求解即例2-2一条长为质量均匀分布的细链条AB，挂在半径可忽略的光滑钉子上，开始处于静止状态。已知BC段长为,释放后链条作加速运动，如图所示。试求时，链条的加速度和速度。

解建立如图所示坐标系，设任意时刻BC长度为x，则有得

积分得由，当时，分离变量得：解

1）取地面为参考系，y轴正方向向下．2）受力分析：重力、浮力、阻力3）应用牛顿第二定律例题2-3一个小球在粘滞性液体中下沉，已知小球的质量为m，液体对小球的有浮力为，阻力为。若t=0时，小球的速率为v0，试求小球在粘滞性液体中下沉的速率随时间的变化规律。做定积分，并考虑初始条件有故有在时，极限速率为分析：初始条件，时的速度为只要求出速率方程“不会返回地球”的数学表示式为：当时，

结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动方程的第二类运动学问题。解∶地球半径为R，地面引力=重力=mg，物体距地心r处引力为F，则有：例题2-4不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速v0最小应取多大，才不再返回地球?由牛顿第二定律得：当r0=R

时，v=v0，作定积分，得：由上可知,当时,只要物体就不会返回地面。的条件为：所以物体不返回地面的最小速度——第二宇宙速度(逃逸速度)宇宙速度甲牛顿定律在该参照系中不适用—非惯性系观察者甲：即观察者乙：有力和加速度即有力但没有加速度牛顿定律在该参照系中适用—惯性系2.4.1、惯性系与非惯性系非惯性参考系：相对于惯性系作加速运动的参考系。ml0乙牛顿运动定律适用的参考系称为惯性参考系。2.4惯性系和非惯性系以加速度运动的车厢内吊一重物m。地面观测者来看，小球作加速运动：车厢内的观测者以车厢为参考系来看，小球是静止的。要在m上给它假定一个向左的力：与合力不为零。1、作直线运动的加速参考系2.4.2、非惯性系中的力学定律2加速车厢中光滑桌面上的小球开始时车厢和小球静止，当车厢作加速直线运动时地面观察：小球在水平方向不受力，车厢运动后，小球仍保持原位不动，牛顿定律成立。车厢观察：小球水平方向不受力，但以

向后运动，故牛顿定律不成立。若给小球加上一虚拟力则牛顿定律成立。惯性力：为了使牛顿定律在非惯性系中形式上成立，而引入的假想的力。m为研究对象的质量；其中：为非惯性系相对于惯性系的加速度定义：惯性力不是真实力，无施力物体，无反作用力。为物体相对非惯性系的加速度注意非惯性系中的动力学方程物体相对惯性系的加速度2、转动参考系转动参考系为非惯性系由于转动参考系中的坐标轴的方向转动着，比较复杂。故这里仅考虑匀角速转动参考系，且只考虑物体相对转动参考系静止的情况。2)匀角速转动参考系在地球参考系：转动平台以ω转动，弹簧被拉长了弹簧对小球施力牛顿定律成立。1)相对于惯性系转动的参考系，叫转动参考系。

在转动参考系中观察，小球受力为-kx,小球静止，为了用牛顿第二定律解释这一现象，必须引入惯性力，方向与的方向相反，叫惯性离心力。3.地球自转对物体的影响一般认为地面为较好的惯性参考系。但由于地球的公转与自转，严格地说，地球是一个非惯性系。精确地研究地面上物体运动时，应考虑惯性力。如图，设地面上一质量为m

的物体静止于纬度为θ的地方，设地球半径为R，地球的万有引力FG；惯性力Fi。惯性力T

为地球自转周期万有引力：重力：重力不指向地心可计算得：∴重力加速度随纬度而增大，北极达最大值。例题2-5

升降机以加速度上升，质量为m1

=2m2的物体用滑轮联系起来。求∶1)机内观察者看到的m1、m2

的加速度；

2)机外地面上的人，观察到的两物体的加速度(无摩擦)。解∶1)升降机作加速运动，所以是非惯性系。在此非惯性系中讨论问题必须考虑惯性力。设绳中张力为T，m1、m2受力如图所示。对m1

：（1）（2）对m2

：（3）解得：2)在机外的观察者(惯性系)，m1

的加速度：m2

的加速度：例题2-6如图所示，地球的半径质量为。若考虑地球自转，其自转角速度。有一质量为m的物体静止在纬度为处的地面上，求物体所受到的重力。解若以地球为参考系，由于地球的自转，所以它是个非惯性系，物体除了受到地心引力和地面支撑力外，还要加上一个惯性离心力，其方向与物体绕地轴转动的向心加速度方向相反。

重力P为地心引力与惯性离心力F0的矢量和，即2.5.1、伽利略变换(Galileantransformation)2.5伽利略变换力学的相对性原理

1.伽利略坐标变换如有一个事件在点P发生在S和S’系中看，事件发生的时空坐标分别为:(x,y,z,t)这两组坐标和时间之间的变换关系为:2、伽利略速度变换3、加速度变换关系在不同惯性系中，观察同一物体的加速度是相同的。

2.5.2、力学的相对性原理：S系中S

系中

对力学规律而言，所有惯性系都是等价的。或：在所有惯性系中，运动物体所遵循的力学规律都是完全相同的。力学的相对性原理经典力学中所有基本定律都具有伽利略不变性。1、时间的绝对性2、空间的绝对性和长度不变或

在两个惯性系S和S’

在两个惯性系S和S’

由伽利略变换得3、牛顿的绝对时空观

2.5.3、经典力学的时空观“绝对的真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地与任何外界对象无关地流逝着。”“绝对空间，就其本质而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的。”这就是牛顿的绝对时空观。时间象一条河。绝对、真实、数学的时间本身，均匀流逝与外界任何事物无关。空间象一个大容器。与外界的任何事物无关,总是相似的,不可移动的,也就是空间是客观存在的

在这种绝对时空观念下,时间和空间分离,即时间间隔和空间间隔的测量是绝对的。

该时空观认为:时间和空间是相互独立的,与任何物质的运动无关。在牛顿看来:绝对空间和绝对时间的定义的特征是：空间和时间分离，空间和时间与物质及物质的运动分离。小结1、牛顿运动定律

2．牛顿运动定律应用：

3．惯性系与非惯性系：

非惯性系中的动力学方程：

确定研究对象；分析受力情况画出受力图；选取坐标系；列方程求解；讨论。1)、牛顿第一定律（惯性定律）2)、牛顿第二定律3)、牛顿第三定律适用范围：质点、宏观、低速、惯性系4．伽利略变换

第三章功和能3.1功保守力力对空间的积累

？3.1.1、功（work）由所作的功∶1、外力对质点的功元功：直角坐标下：2、多个力作用时的功（对质点）合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。（1）功是标量（可正、可负、可为零）（2）功与路径有关，是过程的函数（过程量）（3）功是力对空间的积累（4）功的单位为焦耳（J）说明1弹簧弹力的功。解当物体处于

x处时所受的弹力为：物体由x1移动到x2处时弹性力所作的功为：由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧收缩时，弹力作正功。 弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。3.1.2、几种常见力的功2重力的功

作用于质点上的重力

位移元

在由P1到P2的过程中重力做功为:

重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。

3万有引力的功。m1

在m2的引力场沿其椭圆轨道由ra移到rb。求引力对m1所作的功。解：讨论①万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。②在不同的位置，其功的正负和数值不同。③轨道为圆形时，A=0.功是力对空间的积分力是位置的函数是可直接积分，当力是时间的函数时如何求力的功呢？

例质量为2kg的质点在力

(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。解：4摩擦力的功

质量为m的质点，在固定的粗糙水平面上由初始位置P1沿某一路径L1运动到末位置P2，路径长度为s，如图所示。由于摩擦力的方向总是与速度的方向相反。所以元功质点由P1点沿L1运动到P2点的过程中，摩擦力所做的功为:摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。

3.1.3、保守力与非保守力特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关．1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的功不为零。这种力为非保守力。

如摩擦力、冲力、火箭的推动力等2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。证明：平均功率：瞬时功率：3.1.4、功率(power)表示作功快慢的物理量定义：功随时间的变化率.SI单位:焦耳/秒(瓦特)§3.2势能3.2.1势能(potentialenergy)在保守力场中与相互作用的物体间的相对位置有关的能量。积分路径是任意的。r0为零势能点位矢的大小。质点从M点移到零势能点M0的过程中，保守力作的功。2、几个典型力场的势能1）重力势能：a、b两点间重力势能差为：1、势能的定义选无限远为零势能点，则某点的势能为：引力场中的势能为负值，有限远处的势能表示皆小于无穷远处的势能。a、b两点间引力势能差为：2）万有引力势能自由伸长处O为零势能点：x1

、x2

两点间的势能差为：③只有保守力场才能引入势能的概念。①势能是属于整个系统的。②势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，各点的势能才具有唯一的确定值。3）弹力势能说明3、势能与保守力的功A保守的关系（势能定理）保守力在某一过程所作的功，等于该过程中势能增量的负值。证明：3.2.2、保守力与势能梯度在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。—哈密顿算符3.3.1、质点的动能定理末态的状态量初态的状态量导致状态量变化1.质点的动能标量由于运动而具有的能量状态量3.3动能定理2.质点的动能定理合外力对质点做的功等于该质点动能的增量。—质点的动能定理①功是动能变化的量度 外力作正功，质点动能增加

外力作负功，质点动能减少②A为过程量，与过程有关，而Ek为状态量③A与v应对应同一惯性系说明3.用动量表示动能mpEK22=动能定理的微分形式动能定理的积分形式例题3.1

质量为m、线长为l的单摆，可绕o点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，然后自由放下，求摆线与水平线成角时，摆球的速率和线中的张力。解摆球受摆线拉力T和重力mg,合力作的功为由动能定理牛顿第二定律的法向分量式为:

证明：由牛顿第二定律：又由于故有：即：亦即：补充例题在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为m的滑块以速度v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：作定积分，得：即：故：由质点的动能定理得：质点系所有内力之和为零1、质点系外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。注意:质点系中任意一个质点，例如第i个质点受的系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零。

质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即3.3.2、质点系的动能定理：含两个或两个以上质点的力学系统。

对m1:对m2:对各质点应用动能定理：两式相加，得：即2、质点系的动能定理：2、n个质点的系统：推广：所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等于质点系总动能的增量。4、内力能改变系统的总动能，但不改变系统的总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。2、动能是质点因运动而具有的做功本领。3、功与动能必须对应同一惯性系。说明质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。一对作用力和反作用力的功m1、m2组成一个封闭系统在t时间内om1m2TA作负功、T

B作正功，其代数和为零。由动能定理得∶解得：系统初态动能为：例题3.2物体mA和mB通过一不能伸缩的细绳相连，mA由静止下滑，mB

上升，mA滑过S的距离时，mA和mB的速率v=?(摩擦力及滑轮的质量不计)。

解选取物体A、B与细绳组成一系统，系统所受外为重力GA、、GB

支持力N；内力为绳子的拉力。未态动能为：3.4机械能守恒定律能量守恒定律3.4.1、质点系的功能原理质点系的动能定理的微分形式和积分形式分别为

内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，则

而则质点系的功能原理的微分形式和积分形式可以写成：E表示动能和势能之和称为机械能。

系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。——————质点系的功能原理质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，但表达方式不同。它对于不同的惯性系也保持其形式不变。需要指出的是:在动能定理中,功包括所有外力功和内力功。在功能原理中的功,包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力的功,在功能原理中计算在内,因为它已用势能的形式考虑在内。说明3.4.2、机械能守恒定律只有每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为零时，则此过程中的机械能守恒。语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的总功始终为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。上式是不是机械能守恒定律的条件和表示式？问：3.4.3、能量守恒定律：各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。例题3.3如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于A点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R。当小球运动到圆环的底端B点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解

取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和P点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从A运动到B的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取B点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得B点时由牛顿第二定律得方程

例题3-4要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的速度最小值为多大？

解：由机械能守恒定律得到

例题3.5

目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，这种天体被称为黑洞（blackhole)。若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？

解

由机械能守恒定律当时m要从M上逃逸，有：逃逸速度为v与m无关，与R,M有关.光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞若一个质量M的天体，只要半径R缩小到某一临界值此天体就称为黑洞。对太阳M=1.99×1030kg,R=6.96×108m成为黑洞。小结1.元功：总功：2.保守力

做功只与始末位置有关，而与路径无关的力。

非保守力：做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关的力。

3.势能势能差

4.质点的动能定理

5.质点系的动能定理

6.质点系的功能原理

7.机械能守恒定律

第四章动量和角动量本章主要内容：1.动量定理及守恒定律

2.角动量定理及守恒定律

3.质心运动定理

4.碰撞

一、动量质点动力学问题度量质点运动的量动量与质量和速度有关的状态量1、瞬时性2、矢量性3、相对性在直角坐标系中在国际单位制（SI）千克·米/秒（kg·m/s）讨论§4.1动量定理二、质点的动量定理(动量的变化与作用量的关系）由牛顿第二定律：表示力的时间累积，叫时间dt内合外力的冲量。1）微分形式：2）积分形式：若为恒力：1、冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢？冲量是力对时间的积累。2、动量定理1）微分形式：由得：—动量定理的微分式在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。2）积分形式：对上式积分，—动量定理的积分式即：1、反映了过程量与状态量的关系。3、只适用于惯性系。说明

从动量定理可以知道，在相等的冲量作用下，不同质量的物体，其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化却是一样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。3、动量定理分量形式即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶在低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为1)冲力:碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。若冲力很大,其它外力可忽略时,则：若其它外力不可忽略时,则是合外力的平均。2)平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。即：4、动量定理的应用增大、减小冲力作用例题4-1人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？解设人的质量为M，从高h处跳向地面，落地的速率为v0，与地面碰撞的时间为t，重心下移了s。由动量定理得：设人落地后作匀减速运动到静止，则：设人从2m处跳下，重心下移1cm，则：可能发生骨折。讨论设人的体重为70kg，此时平均冲力：

例4-2质量为m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为10-3s。求∶1)地板对球的平均冲力2)冲力的冲量和重力的冲量。解1)取地板为参考系，向上为正，由得：中的F实为合外力，除冲力外还有重力。即∶2)冲力的冲量：重力的冲量：外力的冲量可忽略由两个质点组成的质点系：n个质点组成的质点系：—质点系的动力学方程即：即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。三、质点系的动力学方程ddpFt=vv外1、微分形式：动量定理的微分式它表明∶在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。2、积分形式：由得：对上式积分，动量定理的积分式即：四、质点系的动量定理：内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。说明3、动量定理分量形式即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶

解选取车厢和车厢里的煤m和即将落入车厢的煤dm为研究的系统。取水平向右为正。t时刻系统的水平总动量：t+dt时刻系统的水平总动量:dt时间内水平总动量的增量：由动量定理得：例题4-3一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为⊿m=500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（摩擦忽略不计)一、动量守恒定律对质点系，由知，当时——动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意∶①系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变，在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。②若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。§4.2动量定理守恒定律不受外力。外力矢量和为零③动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。④动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。⑤动量守恒定律只适用于惯性系。例题4-4质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦，求∶(1)炮弹出口时炮车的速率；(２)发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L)。解(１)选炮车和炮弹为系统,地面为参考系,系统所受合外力为N,mg,Mg都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相对于地面的水平速度为vx,炮身的反冲速度为v’x,对地面参考系有由相对速度的概念可得得负号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。（２）若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率设炮弹经t1s出口，在t1s内炮车沿水平方向移动了解得负号表示炮身沿x轴负向后退。例题4-5：光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为m,弹簧的倔强系数为k，其一端固定在O点，另一端与滑块A接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块A脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，O’C与竖直方向成α＝60°，求弹簧被压缩的距离x.解：①设滑块A离开弹簧时速度为v,在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒②A脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，B以初速v沿圆环轨道上升。③B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒当滑块B沿半圆环轨道上升到C点时，满足

（4）

（1）、（2）、（3）、（4）联立求解可得

例题4-5如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和m2．B不动，A以速度与B碰撞，如已知两车的缓冲弹簧的劲度系数分别为k1和k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止时，两车速度相等。在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能守恒。x1、x2分别为相对静止时两弹簧的压缩量．由牛顿第三定律相对静止时两车间的相互作用力一、质心质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心(简称质心：质点系的质量中心)的概念。N个质点组成的系统∶位矢分别为

质点系的动量为∶§4.3质心质心运动定理取质量为并与质点系具有相同动量的质点C其位矢为,其速度为，则有C称为质点系的质心，称为质心的位矢。可以证明：质心相对质点系的位置与坐标系的选取无关，即质心相对于质点系本身是一个特定的位置。引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得质心C的坐标对质量连续分布的质点系∶

(1)几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。(2)有些物体的质心可能不在所求的物体上，但有明确的物理意义。(3)重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合。说明二、质心运动定理由质心位矢对t求导，得为质心运动的加速度。由于

———质心运动定理作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度说明∶①质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的运动不产生影响。时，④质点系受的合外力在某个方向为零时，在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒。②质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。③质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。时，质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。

例题4-6一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度λ=λ0x/L.λ0为常量，x从轻端算起，求其质心。解∶取坐标原点与轻端相重合，x轴沿棒长方向，如图，取质元x例题4-7质量分别为m1和m2的两质点组成的质点系，质心处于静止状态。质量为m1的质点以半径r1，速率v1绕质心作匀速圆周运动，求质点m2的运动规律。解如图所示，取质心为坐标系的原点，可得两质点的位矢满足如下方程

由于质心静止，所以质心的动量为零，即即动量的大小为如何描述质点系的运动？SI中：kg·m2/s的方向：用右手螺旋法则确定。b）、相对性

(1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。

(2)原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。 ——质点对参考点的角动量一、角动量（动量矩）大小a）、矢量性qsinrpL=§4.4角动量定理1.质点的角动量

C）、的直角坐标系中的分量式1、做圆周运动质点m对圆心O的角动量方向：与同向，垂直于转动平面，与质点转动绕向成右手螺旋关系结论：做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。方向：由右手螺旋定则确定。质点对O’点的角动量为：3）若O取在直线上，则：说明质量为m的质点作直线运动。t1时刻质点对O点的角动量为：2、作直线运动质点的角动量1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量．大小：t2时刻质点对O点的角动量为：！参考点不能选择在直线上2、质点系的角动量：系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：二、质点的角动量定理对动量，有：对角动量？定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律。即要找到将角动量对时间求导，可得：定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩2、在直角坐标系中单位：牛·米（N·m）1、大小：d为力臂。方向：由右手螺旋定则确定。4、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。质点的角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力矩的矢量和（合力矩）等于各个力的合力的力矩。和是对同一惯性系中同一参考点而言的说明3、相对性：依赖于参考点O的选择。（1）、质点角动量微分形式（2）、质点角动量定理积分形式角动量定理∶质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。例题4-8质量为m、线长为l

的单摆，可绕点O在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求:①摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O的角动量；②摆球到达点B时，角速度的大小。解①任意位置时受力为：重力；张力。由角动量定理：瞬时角动量：重力对O点的力矩为：方向：垂直于纸面向里。张力对O点的力矩为零。三、质点系的角动量定理：作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向里，大小：作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。设：2、积分形式：质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。1、微分形式：只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量。质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率—质点系的角动量定理。说明一、质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。

———质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、有心力，与位矢在同一直线上，从而。2、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。并不等于：注意：讨论§4.5角动量守恒定律解如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，Δt时间内行星径矢扫过的面积由于行星只受有心力作用，其角动量守恒例题4-9利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。面积速度:

例题4-10我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行．已知卫星近地点的高度h1=226km，远地点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期（地球半径R=6.37×103km）．解卫星轨道如图所示．由于卫星所受地球引力为有心力，所以卫星对地球中心的角动量守恒．在远地点时，位矢的大小为若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大小为设卫星在远地点时的速率为v1,且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律可得故有设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为dS/dt，则卫星的运动周期a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为可得例题补用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动，其半径为r0

，角速度为。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r时小球的角速度。解选取平面上绳穿过的小孔O为原点。所以小球对O点的角动量守恒。因为绳对小球的的拉力沿绳指向小孔，则力

对O点的力矩：二、质点系的角动量守恒定律：—角动量守恒定律1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定合外力矩等于零。3、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。4、适用于惯性系，也可适用于微观现象。当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒。例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。说明2、分量形式的角动量守恒定律仍然成立。三、力偶力偶矩大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。合力矩：

例题4-11

两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？

解

选两人及轮为系统，O为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。产生力矩的只有重力。即两人同时到达顶点。由角动量定理：法二:(

角动量守恒

)1、若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量

无贡献，因而角动量守恒。即轻者先到达。2、若m1≠m2，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。讨论

例题4-12

如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆和的小球，系统的小球l/3处的O点在水平面桌面上转动．的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度．（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为今有一质量为质量为/2的速度返回，

解取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零。O点对细杆的作用力对点的力矩为零．系统所受的合外力矩为零．所以，系统的角动量守恒．

解∶取小球与地球为系统，机械能守恒。由角动量守恒得联立解得例题4-13质量为m的小球A,以速度v0沿质量为M半径为R的地球表面切向水平向右飞出，地轴OO’与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO’相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球A在点C的速度与OO’轴之间的夹角θ。一、碰撞及其分类3、碰撞分类∶弹性碰撞──碰撞后形变消失，无机械能损失；非弹性碰撞──碰撞后，形变不能恢复。—部分机械能变成热能；完全非弹性碰撞──碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象不一定接触2、碰撞的特点：Δt极短，内力远大于外力a.无外力：动量守恒（质点对质点）b.无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）§4.6碰撞二、正碰1.碰撞定律两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。m1m2m2m1m2m1牛顿认为∶碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料决定，即e称为恢复系数当e=0时为完全非弹性碰撞时弹性碰撞.1e=

时非弹性碰撞.动量守恒∶

m1m2m2m1m2m12.一维正碰和碰撞定律联立解得当e=0时为完全非弹性碰撞当e=1时为弹性碰撞正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度。一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。

表示碰后两物体以同一速度运动，并不分开。3.碰撞过程中动能的损失

三、斜碰（二维碰撞）

系统的动量守恒

y方向上有x方向上（按正碰）有与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。

例题4-15质量分别为m和m′的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。将m拉至h高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。（1）碰撞是完全弹性的；（2）碰撞是完全非弹性的。解（1）碰撞前小球m的速度，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为v和v′，则有可解得上升的高度分别为H和H′（2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒定律可得

二球上升的高度为例题4-16：热中子被静止氦核散射。氦核M,热中子m,且M/m=4,散射为弹性碰撞。中子的散射角θ＝111°，求中子在散射过程中损失了多少能量？解：系统的动量守恒和机械能守恒化简得三式联立得散射后与散射前中子动能之比为所以动能损失了50%。一、对称性与守恒定律：1、对称性——对某种几何形体施行某种操作，使它的形状和位置都不显现任何可觉察的变化。称这种形体具有几何对称性。雪花、昆虫、晶体……。举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性若球体上加记号“·”，不再具有旋转对称性，称为“对称性破缺”。2、物理学中的对称性:系统从一个状态→另一个状态——变换或操作。一个变换使系统从一个状态→另一个与之等价的状态，称该系统对这一变换(操作)是对称的。这个变换(操作)叫该系统的一个对称操作。§4.7对称性与守恒定律物理学中两类不同性质的对称性：(1)系统或某具体事物的对称性(例如,两质点系统具有轴对称)(2)物理规律的对称性——经一定的变换(操作),物理规律的形式保持不变。例如:牛顿定律经伽利略变换具有形式不变性,称为具有对称性。3、物理定律的对称性研究物理定律在某种操作下的不变性。1）、物理定律时间平移不变性物理定律对时间的均匀性。不改变实验条件的情况下，今天与明天应得到相同的结果。2）、物理定律空间平移不变性空间具有对称性。不同地点做实验，应得到相同的结果。4）、物理定律镜像不变性空间左右对称。例如：镜像钟、镜像电动机，遵守相同 的规律。5）、物理定律的惯性系变换不变性 惯性系之间是完全对称的。低速下，牛顿定律在伽利略变换下具有形式不变性；高速下，在洛伦兹变化下，牛顿定律不具有形式不变性，故需将它改造为相对论力学规律。3）、物理定律空间转动不变性 物理定律的对称性可用一种否定形式来叙述：我们不可能通过物理实验来确定我们所处的时间的绝对值，空间的绝对位置，空间的绝对方向，空间绝对的左或绝对的右，所在参考系的绝对的速度。物理定律的对称性——反映时空特性。守恒定律与物理规律在一定变换(操作)下的不变性密切相连。诺特定理(1918)：如果物理规律在某一个不明显依赖时间的变换下具有不变性，必然有一个守恒定律存在。诺特定理的意义：二、时空对称性与三大守恒定律它对某一个运动规律在某一个变化下的形式不变性与守恒定律的存在联系起来了。而且指出：若运动规律在某一个变换群中所有变换都具有不变性,则:守恒定律数=变换群中变换数。1、空间平移不变性与动量守恒

在这样的条件下，粒子1和粒子2所受到的力分别为：

两个粒子体系的总动量不随时间改变

2.空间的各向同性与角动量守恒定律B粒子固定,A粒子沿B的圆弧运动,相对势能的改变为而上述操作不改变相对势能两粒子的相互作用力沿两者的连线，与角动量守恒是等价的。时间的均匀性——能量守恒定律粒子之间的相互作用可用相互作用势能表示，时间的均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不应随时间的平移而改变。在这种情况下系统的能量总是守恒的运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒；运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒。3.时间均匀性与能量守恒如果系统的力学性质与计算时间的起点无关，则称这个系统具有时间平移不变性或时间均匀性。从微观角度看，在所有的系统中，粒子与粒子之间的相互作用可用相互作用势能来表示，时间均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不应随时间的平移而改变，在这种情况下，系统的总能量是守恒的。

第五章刚体力学基础1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。5.1