高等数学多元函数微分法及其应用

推广第八章

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法

及其应用

1第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念2一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)3说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为在空间中,(球邻域)4在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.52.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域

U(P)

E,

若存在点P的某邻域

U(P)∩E=,

若对点

P

的任一邻域

U(P)既含

E中的内点也含E的外点,则称P为E

的内点；则称P为E

的外点

;则称P为E

的边界点

.显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,

E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.

6(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心邻域内总有E

中的点,

则称P

是E

的聚点.3.聚点可以属于E,也可以不属于E

(因为聚点可以为E

的边界点)1.内点一定是聚点；说明：2.边界点可能是聚点；7例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．例如,(0,0)既是边界点也是聚点．8D(3)开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D

是连通的;

开区域连同它的边界一起称为闭区域.

连通的开集称为开区域

,简称区域

;。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;9例如，在平面上开区域闭区域

10

整个平面

点集

是开集，

是最大的开域,

也是最大的闭域；但非区域.o11有界闭区域；无界开区域．例如，123.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中称为该点的第k

个坐标.记作即的一个点,当所有坐标称该元素为

中的零元,记作

O.13的距离记作中点

a

的

邻域为规定为

与零元O

的距离为14二、多元函数的概念

引例:

圆柱体的体积

三角形面积的海伦公式15二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．16定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作17二元函数的图形（如下页图）18二元函数的图形通常是一张曲面.19例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:20例1

求的定义域．解所求定义域为21例2

求的定义域．解：要使函数有意义，必须即定义域22定义2.

设n

元函数则称A

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记P0是D的聚点若存在常数A

,使得:记作都有三、多元函数的极限23说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．24仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.(4)二重极限不同.

如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限由后例6知它在(0,0)点二重极限不存在.25例3

求证证当时，原结论成立．26例4

求极限当时，所以解27例5

求极限解其中28趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)没有极限.则可以断定函数则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.

若当点以不同方式趋于极限不存在.例6.

证明函数函数29例7

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．30确定极限不存在的方法：31四、多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上连续.如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数连续,

32例如,函数在点(0,0)极限不存在,

又如,

函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周33例9

讨论函数在(0,0)的连续性．解：由前面的讨论可知，所以该函数在原点连续。34多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.35解:原式例11.求36定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则在

D

上至少可取得最大值M及最小值m

一次;(3)对任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．37思考题38思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取39

作业P115(2),(4),(6);6(2),(3),(5)