非线性方程组的数值解法

6.4非线性方程组的数值解法6.4.3非线性方程组的Newton法6.4.2非线性方程组的Newton法6.4.1非线性方程组的不动点迭代法

1.2学习目标：

设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为

(6,4,1)其中为n维列向量，6.4.1非线性方程组的不动点迭代法

中至少有一个是x的非线性函数，并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。(6.4.2)并构造不动点迭代法

(6.4.3)把方程组(6.4.1)改写成下面便于迭代的等价形式：的解。是方程组从而的不动点，是迭代函数即满足连续函数.则的是自变量是连续的,即且收敛，若由此生成的序列对于给定的初始点)1.4.6()(),(,,,)(,),(),()(,*****2121)0(xxxxxxxxxxxxxxnnffjjjf=LK例6.11设有非线性方程组(6.4.4)把它写成等价形式

并由此构造不动点迭代法

(6.4.5)取初始点。计算结果列于表6－9，可见迭代收敛到方程的解表6-9k012…181900.80.928…0.9999999720.99999998900.80.931…0.9999999720.999999989

函数也称映射，若函数的定义域为，则可用映射符号简便地表示为。为了讨论不动点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。定义6.3

设有函数若则称在D上是映内的，记做，又若存在常数，使得则称在D上是压缩的，L称为压缩系数

压缩性与所用的向量范数有关，函数对某种范数是压缩的，对另一种范数可能不是压缩的。定理6.7（Brouwer不动点定理）若在有界凸集上连续并且映内，则在内存在不动点。定理6.8（压缩映射定理）设函数在闭集 上是映内的，并且对某一种范数是压缩的，压缩系数为L，则（1）在上存在唯一的不动点。（2）对任何初值迭代法（6.4.3）生成的序列 且收敛到，并且有误差估计式例6.12对于例6.11，设试证：对任何初始点，由迭代法（6.4.5）生成的序列的都收敛到方程（6,4.4）在中的唯一解

证：首先容易算出，对于任何，都有因此，迭代函数在上是映内的。进而，对于任何都有从而

可见，函数在上是压缩的。因此，由定理6.8得知结论成立。

以上讨论了迭代法在的收敛性，下面讨论局部收敛性。定义6.4

设为的不动点，若存在的一个领域，对一切，由（6.4.3）式产生的序列且，则称具有局部收敛性。则称为p阶收敛。定义6.5

设收敛于，存在常数及常数c>0,使

定理6.9

设，为的不动点，若存在开球，常数，使则由(6.4.3)产生的序列局部收敛至

证：任给，一般的，设，即，则得知，从而有。于是，由定义6.4知迭代法（6.4.3）在点

处局部收敛。定理得证。

与单个方程的情形类似，有时可以用关于导数的条件代替压缩条件来判别收敛性

定理6.10

设，在D内有一不动点，且在处可导，且谱半径，则迭代法（6.4.3）在点处局部收敛，其中，函数的导数为Jacobi矩阵（见*式）利用谱半径与范数的关系，我们可用代替定理6.10中的条件（*）例如，对于例6.11有对于例6.12所取的区域的不动点在它的内部。容易验证，在上有，因此，迭代法（6.4.5）在点处局部收敛。对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton迭代法。设是方程组（6.4.1）的解，是方程组的一个近似解。用点处的一阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值

，有其中为的Jacobi矩阵在的值，而写成向量形式有6.4.2非线性方程组的Newton法若矩阵非奇异，则可以用使（6.4.6）右端为零的向量作为新的一个近似值，记为，于是得到Newton迭代法（6.4.7)其中是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代的形式，则Newton迭代函数为

(6.4.8)在Newton法实际计算过程中，第k步是先解线性方程组解出后，再令，其中包括了计算向量和矩阵

(6.4.9)例6.13用Newton法解例6.11的方程组（6.4.4）解

对该方程组有取初始向量，解方程组，即求出后，。同理计算结果列于表6－10。可见，Newton法的收敛速度比例6.11中的迭代法（6.4.5）要快的多。表6-10k0123400.800.9917872210.9999752291.0000000000.880.9917117370.9999685241.00000000关于Newton法的收敛性，有下面的局部收敛性定理定理6.11

设，满足。若有的开邻域，在其上连续，可逆，则(2)Newton迭代序列在S上收敛于，且是超线性收敛。(1)存在以为中心，为半径的闭球,使（6.4.8）式中的对所有都有意义，并且。（3）若还有常数，使

则Newton迭代序列至少二阶收敛于。

虽然Newton法具有二阶局部收敛性，但它要求非奇异。如果矩阵奇异或病态，那么也可能奇异或病态，从而可能导致数值计算失败或产生数值步稳定。这时可采用“阻尼Newton法”，即把（6.4.