北京西城区2022届高三数学期末试卷

北京西城区2022届高三数学期末试卷

阅卷人

、单选题（共10题；共20分）

得分

1.(2分)已知集合4={x|-3<x<2},B=[x\-2<x<3},则AU5=()

A.(—3,3]B.(-3,3)C.(—3,2]D.(-2,2]

2.（2分）在复平面内,复数（l+2i）i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2分）在中,若a=2,b=3,cos(A+B)=可，贝Uc()

A.gB.4C.后D.3

圣一£=1的一条渐近线方程为y=卓久,

4.（2分）若双曲线C：则双曲线C的离心率为（）

A-iB-1c-1D.2

5.（2分）如图,在直三棱柱A8C-4181cl中，点E,F分别是棱&Ci，BC的中点，则下列结论中

A.CC]||平面4遇881B.4尸||平面4181cl

C.即||平面4通幽D.AE||平面BiBCCi

Ir<n

6.（2分）已知函数/（%）x''的值域为R,则实数a的取值范围是（）

,2X—a,x>0

A.a<0B.a>0C.a<1D.a>1

7.（2分）已知｛即｝为等比数列，Sn为其前n项和，若52=3%,al=a3,则S4=（）

A.7B.8C.15D.31

8.（2分）己知函数/（%）的图象在区间［0,2］上连续不断，则“/（0）+/（1）+/（2）=0"是7'（%）在

［0,2］上存在零点''的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2分）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径,2030年为碳达峰时期,2060年实现碳中和，到2060

年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert

于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：力）之间

关系的经验公式：C=其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池

容量不变的条件下，当放电电流/=204时，放电时间t=20无；当放电电流/=30/时，放电时间1=

10/1.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（）（参考数据：lg2«0.30,lg3«0.48）

A.gB.fC.|D.2

10.（2分）设集合A的最大元素为M,最小元素为m,记A的特征值为X.=M-m,若集合中只

有一个元素，规定其特征值为0.已知A2,A3,4是集合N*的元素个数均不相同的非空真子

集，且X44-X4+X&+…+X4”=120,则n的最大值为（）

A.14B.15C.16D.18

阅卷人

二、填空题（共5题；共7分）

得分

O6

11.（1分）二项式（a_马的展开式中常数项为.（用数字作答）

12.（1分）已知函数=+X~0,是偶函数，则。的一个取值

（sinx,x<0

为.

13.（1分）在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，过点A的平面a分别与棱CC「CD1交

于点E,F,G,记四边形AEFG在平面BCQBi上的正投影的面积为Si，四边形AEFG在平面

上的正投影的面积为S2.

给出下面四个结论：

①四边形AEFG是平行四边形;

②S1+S2的最大值为2；

③5祝的最大值为J；

④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为坐.

则其中所有正确结论的序号是.

14.（2分）已知点4（2,4）在抛物线C：y12=2px±,F为抛物线C的焦点，。为坐标原点.则抛物线

C的方程为；△A。/的面积为.

15.（2分）在长方形ABCD中，|而|=1，=且荏.标=而•荏，贝U

\AD\=，AE•AC=.

阅卷入

-----------------三、解答题（共6题；共75分）

得分

16.（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD1平面ABCD,PD=AD=2,

48=4,点E在线段AB上，且=

（1）（5分）求证：CE_L平面PBD；

（2）（5分）求二面角P-CE-A的余弦值.

17.（10分）已知函数/（%）=/sin3%+@）（4>0,>0,0VVTT）的部分图象如图所示，在条

件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.

注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

(1)(5分)求函数f(x)的解析式:

(2)(5分)设函数g(x)=/(%)•cos(2x+刍，若g(x)在区间［0,词上单调递减，求m的最大值.

18.(15分)2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次

发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下

表是中央气象台7月13日2：()0统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.

天津渤

北京密山东乐河北迁山东庆北京怀河北海河北唐河北丰山东长

海A平

云陵西云柔兴山南清

台

180毫175毫144毫144毫143毫140毫130毫127毫126毫126毫

米米米米米米米米米米

(1)(5分)从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率;

(2)(5分)从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数

量，求X的分布列和期望：

(3)(5分)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140

毫米的区域降雨量的方差为4，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为全部十

个区域降雨量的方差为登.试判断s?,sW的大小关系.(结论不要求证明)

19.(15分)已知函数/(x)=/(/+。尤+1).

(1)(5分)若a=0,求/(%)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)(5分)若fQ)在(一1,1)上恰有一个极小值点，求实数a的取值范围；

(3)(5分)若对于任意工€(0,刍，f(x)>eX(x2cosx+l)恒成立，求实数a的取值范围.

20.(10分)已知椭圆M：《+£=1的焦点为P(2,0),长轴长与短轴长的比值为VZ

(1)(5分)求椭圆M的方程：

(2)(5分)过点F的直线1与椭圆M交于A,B两点，BClx轴于点C,ADlx轴于点D,直

线BD交直线％=4于点E,求△ECD与的面积之比.

21.(15分)已知数列A：a1，o,2>,,1>CLN(N>4),其中由，a2,…，6Z,且<。2<,"<O-N-

若数列A：a1，a，2，*">(IN满足=a1，CLN=，当i=2,3,…，N—1时，a=cij-i+1或

ai+1-l,则称4a「a2，…，而为数列A的“紧数列”.例如,数列A：2,4,6,8的所有“紧数

歹『'为2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.

(I)(5分)直接写出数列A：1,3,6,7,8的所有“紧数列”4

(2)(5分)己知数列A满足：即=1,aN=2N,若数列A的所有“紧数列”4均为递增数列，求

证：所有符合条件的数列A的个数为N+1；

(3)(5分)已知数列A满足：的=0,a2=2,对于数列A的一个“紧数列Z,定义集合S(A)=

｛修一利=2,3,N-1］，如果对任意xCS(A),都有一x£S(A),那么称4为数列A的“强紧

数列”.若数列A存在“强紧数列”，求aN的最小值.(用关于N的代数式表示)

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】在数轴上表示出集合A,B,如图：则4uB=(-3,3］

故答案为：A

【分析】根据题意由不等式结合并集的定义，即可得出答案。

2.【答案】B

【解析】【解答】因为(1+2i)i=-2+i,

所以一2+i对应的点为(-2,1),它位于第二象限.

故答案为：B

【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，得到(1+2)在复平面内对

应点的坐标得答案.

3.【答案】A

［解析］【解答】因为cos(A+B)=C0S(7T—C)=—cosC=所以cosC=—4，

又a=2,b=3,

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abeosC,=4+9—2x2x3x(—/)=17,

所以c=V17,

故答案为：A

【分析】由已知条件结合客家话的余弦公式整理化简，由此即可得出cosC的取值，再由余弦定理代

入数值计算出c的取值即可。

4.【答案】C

【解析】【解答】因为双曲线C：。苴=1的一条渐近线方程为”号，

所以2=多

a2

所以双曲线C的离心率为

故答案为：C

【分析】由双曲线的简单性质，计算出渐近线的方程，由此得出2=4,然后由双曲线里a、b、c的

a2

关系以及离心率公式，计算出结果即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】在直三棱柱ZBC-AiBiQ中，

因为CCil|44「CGC平面44iu平面所以CQ||平面4遇8/，A符合题意;

因为平面ABC〃平面%81的，4Fu平血1BC,所以AF||平面人中心，B符合题意；

取中点G,连接为G,GF,

11

因为点G,F分别是棱力B,BC的中点，所以且&E〃2，C,所以。「〃力遇，四边形

GFE&为平行四边形，所以EFII&G,EFC平面为ABB1，4Gu平面力MBB］，所以EF||平面

aAB81，C符合题意；

取AC中点H,连接QH,可证得四边形ZHCiE为平行四边形，所以EA||QH,QH与平面CiCBB1相

交，所以AE与平面CiCBBi相交，D不正确；

故答案为：D.

【分析】根据题意由直三棱锥的几何性质，结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判

定定理即可得证出结论，由此对选项逐一判断即可得出答案。

6.【答案】D

i%<0

【解析】【解答】函数/(%)=婷，

2X—a,x>0

当％<0时，由反比例函数的性质得：/(X)6(-00,0):

当x>0时，由指数函数的性质得：f(x)e［1-a,oo)

1X<0

因为函数/(%)=X的值域为R,

,2X—a,x>0

所以1一aW0,

解得a>1,

故答案为：D

【分析】根据题意由反比例函数和指数函数的单调性，结合分段函数的解析式，即可求出函数的值

域，结合已知条件即可求出a的取值范围。

7.【答案】C

【解析】【解答】由已知52=a1+a2=3的，即。2=2的，所以公比q=2,

=

又厩=a3a2。所以a2=q=2,

n2n

所以数列｛%｝的通项公式为即=a2-q-=2-2-=2f且%=1,

所以54=吧二贮1=匕2=

1-215,

故答案为：C.

【分析】根据题意由等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，结合已知条件计算出结果

即可。

8.【答案】A

【解析】【解答】解:因为函数/(x)在区间［0,2］上连续不断,*/(0)+f(l)+/(2)=0,

可知/(0)、f⑴、/(2)中可能有两正一负、两负一正、一正一负一零和f(0)=/(1)=/(2)=0,

所以函数/(%)在区间［0,2］上存在零点；

由/(%)在区间［0,2］上有零点且/(%)连续不断，不能推出“f(0)+/(l)+/(2)=0"，如函数/(%)在区

间［0,2］上单调递增且f(0)=0时,则/(1)>0,/(2)>0,

则/(0)+/(1)+/(2)>0,

所以“/(0)+〃1)+/(2)=0”是“/(%)在区间［0,21上存在零点”的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】根据题意结合已知条件由零点存在性定理，代入数值计算出函数的值，由函数的单调性结

合充分和必要条件的定义即可得出答案。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意可得0=20­20,C=3On.io,

两式相比得缥型即⑥可

1

2

所

以n2-3=lg2=lg2一0.3=5

2-

0g30g2Ig3lg3—lg20.48—0.33-

故答案为：B.

【分析】根据题意由已知条件即可得出关于n的解析式，然后由指对互化以及对数的运算性质，计

算出结果即可。

10.【答案】C

【解析】【解答】由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令X4=0,XA2=1,XA3=

2,­­->=n—1,则o+i+2+…+（几—1）="QD=120,解得：n=16或一15（舍去）.

故答案为：C

【分析】根据题意由已知条件即可得出数列的通项公式，然后由等差数列的前n项和公式代入数值

计算出n的取值即可。

11.【答案】60

【解析】【解答】解：二项式（a，/的展开式的通项为77+1=《（后6T（-纣=

2

（一2）‘C"与J'，令殍一r=。，解得「=2，所以常数项为T3=（-2）C|=60，故答案是

60.

【分析】根据题意，将二项式的展开式写出，当x的事数为0时（即与T—r=o）符合条件，代入

数据计算，即可得出答案。

12.【答案】J（答案不唯一）

【解析】【解答】因为该函数是偶函数，所以有/（%）=/（-%）,

当文>0时，有cos(x+6)=sin(—x)=>cos(x+9)=—sin%=cos(]+x),

于是有：x+9=2kn+为+x(kGZ)或x+8=2krc-g+x)(k6Z),

解得：e=2/OT+*(keZ),

当％<0时，有sin%=cos(—%+8)=cos(1—x)=cos(-x+0),

于是有一%+。=2/CTT+号—x(k6Z)或一％+0=2/CTT—©—x)(/cGZ),

解得。=2而+在keZ),

所以。=2而+丸keZ),显然6的一个取值可以是先

故答案为：J

【分析】根据题意首先由偶函数的性质结合诱导公式以及余弦函数的图象和性质，利用整体思想即

可得出答案。

13.【答案】①③④

【解析】【解答】对①，因为平面AEFG分别与平面BCQBi、平面4DD1&、平面平面

CDD值交于EF,AG,AE,GF，易知平面BCC$i〃平面4。。送1，则4G〃EF,而平面4BB1a〃平

面CDDiQ,则AE〃GF,所以四边形AEFG是平行四边形.①正确；

以A为原点，AB,AD,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

记点G在平面BCCiBi上的投影点为点H,点F,G在平面ABBi公上的投影点分别为点I,J.设BE=

a,CF=b,DG=c，其中0Wa,b,c<l，则E(l,0,a),F(l,1,b),G(0,1,c)，

4(0,0,0).所以族=(1,0,a),GF=(1,0,b—c)，由①，AE=GF=>b=a+c>贝U

-0<a<1

0<a+c<1.

.0<c<1

易得，Sj=BExBC=a,S2=ABxAJ=c7所以S1+S2WI,②错误；

，S2=acW(等)2W/，当且仅当a=c=3,b=1时取"=”,③正确；

AF—(1,1,b),EG—(—1,1,c—a)»令4尸•EG=-1+1+b(c—a)=0=c=w即

c=a

b=2a则此时AFEG,平行四边形AEFG是菱形，而此时&=(i,1,2a),EG=

{OWa.±

(一1,1,0)n|丽=J4a2+2,\EG\=V2>所以菱形的面积S=J/4a2+2,当a=£时，Sm3x=

z乙

*x晨华④正确.

Z\4Z

故答案为：①③④.

【分析】根据题意由面面平行以及正方体的几何性质，结合中点的性质即可得出线线平行，由此即

可得出四边形的形状，由此判断出①正确；由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出点的坐标以

及向量的坐标，结合已知条件即可得出向量模之间的关系，由此即可判断出②错误；由已知条件结

合三角形的面积公式即可得出面积的代数式，结合基本不等式即可求出三角形面积的最大值，从而

判断出③正确；根据题意由空间向量的坐标公式以及向量模的定义，代入数值到菱形的面积公式结

合已知条件，即可得出最大值以及取得最大值时对应的a的取值，由此判断出④正确，从而即可得

出答案。

14.【答案】y2=8%；4

【解析】【解答】因为点4(2,4)在抛物线C：y2=2Px上，

所以16=4p,解得p=4,

所以抛物线C的方程为y2=8x；

则4力OF的面积为SAAOF=\OF\|y4|=^x2x4=4,

故答案为：y2-8x,4

【分析】根据题意把点的坐标代入到抛物线的方程，由此计算出P的取值，进而得出抛物线的方

程，然后由抛物线的定义以及三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。

15.【答案】V3;2

【解析】【解答】由题可知而，而，|而|=1,AD=BC，

AE—AB+BE—AB+BC—AB+/ID>AC=AB+AD»

•・•荏•荏=而•族，

：.~AB-(AB+=AD-(AB+^AD~),可得荏2=g而2,

A\AD\=w,

..AEMC=(aB+“0.(4B+4D)=ZB=l+1x3=2.

故答案为：V3；2.

【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合数量积的运算公式以及向量模的定义，代入数值计

算出结果即可。

16.【答案】(1)证明：因为PD1平面ABCD,CEu平面ABCD,

所以PD1CE.

因为?IB=4,AE=^AB,

所以AE=3,BE=1.

所以也一如一2

m^AD~BE~

所以RtACBEsRt&BAD,

所以8D1CE.

又因为PD_LCE,PDCBD=D,

所以CE，平面PBO.

(2)解：因为P£>1平面力BCD,力Du平面ABCD,CDu平面ABC。,

所以PO1AD,PD1CD.

又因为ABC。是矩形，AD1CD,

所以4D,CD,PC两两垂直，如图建立空间直角坐标系D-xyz,

所以匹=(0,4,-2),CE=(2,-1,0).

设平面PCE的一个法向量为五=（久，y,z）,则

犯.(?£1=0,即(2%_y=0,

n-Pt=0,'(4y-2z=0.

令x=1,则y=2>z=4.

于是元=(1,2,4).

因为PD1平面/BCD,

取平面ACE的法向量为记=（0,0,1）.

沆五二4二4囱

则cos(记,n)

I可同一1-V1+4+16-21

由图可知二面角P-CE-A为锐角,

所以二面角P-CE-A的余弦值是挈I

【解析】【分析】（1）根据题意由已知条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由三角形

相似的几何性质即可得出线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。

（2）由已知条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出点以及向

量的坐标，结合数量积的坐标公式计算出平面PCE的法向量，同理也可求出平面4CE的法向量，再把

结果代入到夹角的数量积公式计算出结果，由此即可求出二面角P-CE-4的余弦值，由此即可得

出二面角的大小。

17.【答案】（1）解：选条件①②：

因为c-a=5,所以£即7=兀，则3=竿=2.

由题意可知A=2,则/(x)=2sin(2x+(p).

因为b=,f(b)=2sin(与+(p)=0,

所以竽+@=k7T,kWZ,即0=—冬+/CTT.

因为0<W<7T,所以0=掾，k=1.

所以f(%)=2sin(2x+刍.

选条件①③：

因为c—。=去所以彳=f即T=m则3=爷=2.

由题意可知A=2,则/(%)=2sin(2x4-(p\

因为c=碧，/(c)=2sin(普+9)=-2,

所以普+0=竽+2而，kEZ,即3=5+2".

77

因为OVRVTT,所以伊=可k=0.

所以/(%)=2sin(2x+5).

选条件②③：

因为b=4，c=所以c—=即7=7T,则3=票=2.

J1Z44/

由题意可知4=2,则/(%)=2sin(2x+(p).

因为c=得，f(c)=2sin(普+@)=-2,

所以普+=等+2/czr,kWZ,即3=苴+2上".

因为0VWVm所以p=*k=0.

所以/(%)=2sin(2x+刍.

(2)解：由题意得g(x)=sin(4x+冬).

函数y=sinX的单调递减区间为g+2/CTT,当+2kji](k6Z).

由£+2/CTT44x+工+2kn,

俎汽，kit,5n,kn

得F+2X源+7

因为函数y=g(%)在区间［0,上单调递减，且0e［-若，芸］,此时k=0.

所以mW舞，所以m的最大值是招.

【解析】【分析】(1)根据题意当选条件①②：首先由已知条件即可得出周期的值，结合周期公式计

算出&)的取值，再由特殊值法代入计算出0的取值，从而即可得出函数的解析式。选条件①③：

首先由已知条件即可得出周期的值，结合周期公式计算出3的取值，再由特殊值法代入计算出中的取

值，从而即可得出函数的解析式。选条件②③：同理即可得出答案。

(2)根据题意由正弦函数的单调性结合整体思想，即可求出x的取值范围，由函数的单调性即可求出

函数的最值。

18.【答案】(1)解：设这个区域降雨量在135毫米以上为事件4

区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以p(A)=9=|.

答：这个区域降雨量在135毫米以上的概率为|.

(2)解：由题意分析可知X=0,1,2,

3

r56_7

P(X=0)一73"=,

cio12015

P(X=1)=2黑=3

L10

P(X=2)=筲=盘=缶

c10

随机变量X的分布列为:

X012

771

P

151515

所以随机变量X的数学期望为：E(X)=0X4+1X£+2X^=|.

2s2s2

(3)解：S2<l<3-

【解析】【分析】(1)根据题意由等可能事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。

(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合

数学期望公式计算出答案即可。

(3)由已知条件代入数值代入到方差公式，计算出结果，再进行比较即可得出答案。

19.【答案】⑴解:当a=0时,/(x)=ex(x2+1),/(x)=ex(x2+2x+1),

所以/(0)=1，/(O)=1,

所以切线方程为y=x+l.

(2)解：由f(x)=ex(x2+ax+1),得f(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1].

令/(x)=0,得=-a-1,x2=-1.

①若41W%2，则a20,((x)N0在(-1,1)上恒成立，

因此，/(%)在(-1,1)上单调递增，无极值，不符合题意.

②若％1>%2，贝！la<o,/''(%)与/(x)的情况如下：

X(-OO,-1)-1(-1,-a-1)—a—1(一。一1,+8)

/(X)+0—0+

/(X)7极大值极小值7

因此，/(%)在(-8,-1),(-a-1,+8)上单调递增，在(-1,一a-1)上单调递减.

若/(x)在(—1,1)上有且只有一个极小值点，则需一1<—a-1<1,

所以一2<a<0.

综上，a的取值范围是(-2,0).

(3)解：因为e">0,

所以/(%)=ex(x2+ax+1)>ex(x2cosx+1),即/+ax>x2cosx.

又因为%>0,

所以/+ax>/cosx,即a>xcosx-x.

令g(x)=xcosx—x,所以g(x)=cosx—xsinx-1=(cosx—1)—xsinx.

因为％C(0,另，所以cosx-l<0,

又xsinx>0,所以g(x)<0,

所以g(x)为(0，身上减函数，所以g(x)<g(0)=0,所以a20

综上，实数a的取值范围为［0,+OO).

【解析】【分析】(1)首先由a的取值即可得出函数的解析式，再对其求导然后把点的坐标代入到导函

数的解析式，计算出斜率的取值结合点斜式即可得出切线的方程。

(2)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义

以及已知条件即可得出a的取值范围。

（3）由已知条件即可得出不等式然后由分离参数法即可得出不等式a>xcosx-x,构造函数g（x）=

xcosx-x对其求导结合导函数的性质即可得出函数g（x）的单调性，由函数的单调性即可得出a的取

值范围。

20.【答案】⑴解：由题设，1=V2,所以。2=2出

又因为c=2,a2=d+c2,所以2b2=坟+4.

2

解得力2=4,a-8.

所以椭圆M的方程为#+^=1

o4

（2）解：由题意可知，直线/斜率存在，设直线[的方程为y=k（x-2）.

由7Pg得（1+2k2）/_8k2x4-（8/c2-8）=0.

22

设4（%i，为），B（%2，丫2），则%]+冷=8kx1x2=——y.

l+2kl+2fcz

因为4。_L%轴，所以0（%i，0）.

直线BD方程为旷二三9。一/）,所以E（4,空三辿）.

x2—X1%2一%1

因为BClx轴，所以C（%2，0）.

因为做c=/^，以=丫2(4一叼)

(X2-X1)(4-X2)-

丫2（4-々）yi

所以AEC—^AC

（工2—4）（4一%2）X1-%2

%(4一%。+%(4—％2)

(%2—％1)(4—％2)

k(x：2-2)(4-％。+/eg2)(4-&)

(%2一%1)(4—％2)

k

[X2)2X1X216

=(%2-%1)(4-%2)6%+--]

_______2k__________24/c28/c2-8

(%2-％i)(4-％2)[l+2/c21+2/c281

16k3k2-必+1-1-2后

(%2-%1)(4—％2)1+2k2

o.

所以C,A,E三点共线.

因为BC〃4。,所以SA/ICD=SMB。,

所以SAECD=SAE4B，

所以SAECD：SAE4B=1：1

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出a与b的关系，再由椭圆里a、b、c的关系计算出

a与b的取值，从而即可得出椭圆的方程。

(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程

结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由斜率的坐标公式代入整理计

算出结果，由此即可得出三点共线，从而即可得出线线平行以及三角形的相似由此即可得出答案。

21.【答案】(1)解：A1：1,2,4,7,8;A2：1,2,6,7,8;A3：1,5,4,7,8:

Z4：1>5,6>7,8

(2)解：依题意，对任意i=2,3,…，N—2,有%=a1+1或见+1-1,见+i=/+1或为+2—

1,

因为A均为递增数列，所以有为<七+1，即同时满足：

aji+1<a(-+1(T),^i+1-1<七+2一1②，《一1+1VQi+2-1③，心+1—1V@+1④.

因为4为递增数列，因此①和②恒成立.

又因为A为整数数列，对于③，a一1+1W/</+1W勾+2-1也恒成立.

对于④，一方面，由七+1-1<为+1,得见+1<七+2,即为+1W为+1.

另一方面，ai+1>at+1,

所以a,+i=/+1(i=2,3,…，N—2),

即4从第2项到第N-1项是连续的正整数，

所以a22a1+1=2,CIN-I=a2+N-3<CLN—1=2N-1,

因此2Wa?WN+2,

故。2共有N+1种不同取值，即所有符合条件的数列4共有N+1个.

(3)解：记与依题意，bn&N*(n=2,3,…，N).

对任意i=2,3,…，N—1,有为—a；=bi-1或—九+1+1,

注意到OCS(A),即对任意te{2,3,…，N-1],有见一出工0,

若%—at=九一1W0,则瓦。1,即瓦・>2；

若见一出=一瓦+i+1。0,则瓦+i。1,即加+1>2,

即对任意i=2,3,…，N-1,或者打之2,或者九+122.

所以九+九+1>3,所以加—1=—瓦+i+1不能成立.

记7\—{i\cLi-cii—b(-1,i=2,3,…，N—1),

T2=仙为一Qj——瓦+i+1,i=2,3,…，N—1},

则71072=。，且7\UT2={2，3,…，N—1}.

注意到：若存在且2W/〈N—2,即出一出二一勺+1+1,则j+lER-

否则，若j+1E7\,则Q/+i-Q/+1=比+1—1=—(—bj+1+1)=—@一%),不合题意.

因此集合71，72有以下三种情形：

①71={2,3,…，N-1}，72=0.

对任意iC{2,3,…，N-1}.有仇22,贝！J

Ufj=%+(/>2+^—+%N-1)+20+(N-2)12+1=2N—3,

当且仅当：b2=b3=•••=hw_x=2,bN=1,

即A：0,2,4,-,2N-4,2N-3时，等号成立，

此时存在“强紧数列”40,1,3,…，2N-3，

故此情形下，CZN的最小值为2N-3；

②71={2,3,…，k},T2={k+l,k+2,…，N-1},其中k=2,3,…，N-2.

对任意iCT],有加22,对任意j€72,有勺+122.

QN=+(力2+力3+…+瓦)+bk+i+(瓦+2+瓦+3…+即)>0+(/c-1)-2+1+(N—k—1)-2=

2N-3.

故此情形下，Q/V的最小值不小于2N-3；

③71=0，T2={2,3,…，N-1].

对任意i€{2,3,…，N-1},有加+122,

CLN=a1+勿+(03+力4…+^N)之0+2+(N-2),2=2N—2>2N—3.

故此情形下，a、的最小值不小于2N-3.

综上，CIN的最小值为2N-3.

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可得出满足题意的答案。

(2)由已知条件即可得出数列的单调性，由数列的单调性整理化简即可得出答案。

(3)根据题意由已知条件即可得出集合中的元素，再由已知条件结合元素与集合之间的关系，对集合

T分情况讨论，即可得出数列项的最小值。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：102分

客观题（占比）20.0(19.6%)

分值分布

主观题（占比）82.0(80.4%)

客观题（占比）10(47.6%)

题量分布

主观题（占比）11(52.4%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题5(23.8%)7.0(6.9%)

解答题6(28.6%)75.0(73.5%)

单选题10(47.6%)20.0(19.6%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(38.1%)

2容易(52.4%)

3困难(9.5%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1等比数列的前n项和2.0(2.0%)7

2椭圆的简单性质10.0(9.8%)20

3指数函数的实际应用2.0(2.0%)8

4等比数列的通项公式2.0(2.0%)7

5直线与圆锥曲线的综合问题10.0(9.8%)20

6双曲线的简单性质2.0(2.0%)4

7二项式系数的性质1.0(1.0%)11

8数量积的坐标表达式11.0(10.8%)13,16

9复数代数形式的乘除运算2.0(2.0%)2

10两角和与差的余弦公式2.0(2.0%)3

11数列的概念及简单表示法15.0(14.7%)21

12函数的最值及其几何意义1.0(1.0%)13

13向量的投影1.0(1.0%)13

14