2023年江淮十校高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在区间［—1,1］上随机取一个数3使直线y=-x+3）与圆F+y2=i相交的概率为（）

117272

A.-B.-C.—D.—

2343

2.已知数列｛%｝为等差数列，为其前〃项和，4+%=4+%0,则$2i=（）

A.7B.14C.28D.84

3.若a<。<0,则下列不等式不能成立的是（）

A.->7B.—I―>-C.\a\>\b\D.a1>b2

aba-ba

4.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）

正住）视图坤左）视图

C.8+2及D.8+40

已知集合4={工|-2<x<4},集合B={x|f-5x-6>0},则=

A.{x|3<x<4}B.{x|x<4或x>6}

C.{.x|-2<x<—1}D.{%|-l<x<4}

6.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积,

作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估

计阴影部分的面积是（）

163218

A.C.10D.—

5

7.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是（）

正（主）视图

俯视图

201016

A.•一71B.67rC.---71D.—71

333

8.设等比数列{4}的前〃项和为s“,则“q+4<2a2”是“$2,1<0”的()

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

9.已知集合4=卜|幺一2》-3<0},集合3={x|x—lN0},则金（AcB）().

(-0o,l)U[3,+<x>)B.y,i]U[3,+8)

C.y,DU(3,+oo)D.(1,3)

设i是虚数单位，awR,士丝=3-2"则。=（

10.)

a+i

A.B.-1C.1D.2

11.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

则球的体积为（）

96岛

33

12.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼

成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线/（x）=4x-e'在点（0,/（0））处的切线方程为.

•>2

14.已知P为椭圆三+乙=1上的一个动点，A（-2,l）,B（2,—1）,设直线AP和成分别与直线％=4交于M,N

82

两点，若AABP与AWP的面积相等，则线段OP的长为.

15.点4是曲线y=31n%+x+攵（左eR）图象上的一个定点，过点玲的切线方程为4x—y-1=0,则实数A的值

为.

16.已知集合A={2,5},8={3,5},则AU8=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P-A3C。中,四边形ABC。是直角梯形，48,4）,4?//。£>,/3。_1底面48。。

AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E,是心的中点.

（1）.求证:平面E4C_L平面PBC;

（2）.若二面角P-AC-E的余弦值为—，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

3

18.（12分）某企业现有4.8两套设备生产某种产品，现从A,8两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作

为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在［20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A

设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从3设备抽取的样本频数分布表.

图1：A设备生产的样本频率分布直方图

表1：5设备生产的样本频数分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

（1）请估计A.5设备生产的产品质量指标的平均值;

（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在［25,30）内的定为一等品，每件利润240

元；质量指标值落在［20,25）或［30,35）内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120

元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件

相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A,8两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调

整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？

19.（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部

选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过

程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普

查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：

普查对象类别顺利不顺利合计

企事业单位401050

个体经营户10050150

合计14060200

（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；

（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;

(3)以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利

的对象数记为X,写出X的分布列，并求X的期望值.

附———此L也——

(a+h)(c+d)(0+c)S+d)

收蜉“0)0.100.0100.001

2.7066.63510.828

20.(12分)等差数列｛4｝的公差为2,4，4,4分别等于等比数列｛2｝的第2项，第3项，第4项.

(1)求数列｛《,｝和也｝的通项公式；

(2)若数列｛&｝满足幺+8+…+合=bll+]，求数列｛%｝的前2020项的和•

a\a2an

21.(12分)已知函数"x)=|x-m|-|x+2|(〃2e/?),不等式/(%一2"0的解集为(-8,4].

(1)求加的值;

(2)若a>(),b>0,c>3,且a+2Z>+c=2w,求(a+l)(b+l)(c-3)的最大值.

22.(10分)如图，在三棱锥P—ABC中，AC=BC=2,ZACB=90，侧面Q钻为等边三角形，侧棱PC=20.

(1)求证：平面446,平面ABC；

(2)求三棱锥P-ABC外接球的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

【解析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.

【详解】

因为圆心(0,0),半径/"=1,直线与圆相交，所以

公导“‘解得一点““乎

x/2

所以相交的概率.T加，故选c.

r=----=----

24

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

2.D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到%=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

•.•4+%=4+4。，

.，・4+4]—6d=%]—5d+4]—d

解得41=4.

-21@芦)=21%=84.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

3.B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于QvZ?<0,即cib>0,力―Q>0,所以一>0,所以>,所以成立；

ababab

11b八11

选项B：由于。<bvO,即a—匕<0,所以,=/、、<0,所以一所以不成立;

a-baa（a-b）a-ba

选项C：由于avbvO,所以一a>—匕>0,所以|a|>|6|,所以成立;

选项D：由于avhvO,所以一a>—匕>0,所以|。|>|"，所以/>〃，所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

4.D

【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积.

【详解】

由三视图知几何体是四棱锥，如图，

且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,

所以S=2X2+2X!X2X2+2X,X2X20=8+40,

22

故选：D

【点睛】

本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.

5.C

【解析】

由丁一51一6〉0可得（x-6）（x+l）>0,解得x<—1或x>6,所以8={x|x<-l或x>6},

又4={》|—2<x<4},所以Ac8={x[-2<x<-l},故选C.

6.D

【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.

【详解】

/-rina-atilS80„18

根据几何概型：P=-=--»故5=一.

92005

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7.C

【解析】

由三视图可知，该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半，所以,

半圆柱的体积为K=；x22x乃xl=2万，上部半圆锥的体积为％=；x；x2乃x2?=等，所以该几何体的体积为

4zr10%

V=K+V,=2%+"=U,故应选c.

-33

8.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足4+4<2%,S2,i<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

也,｝为等比数列，

若％+%<2%成立，有4(</--2q+1)<。，

因为才―2夕+120恒成立，

故可以推出4<0且

若S2“T<0成立,

当9=1时，有4<0,

当时，有」―L_2<0,因为一一〉0恒成立，所以有q<0,

\-q"q

故可以推出4<0,qeR,

所以“q+4<2a2”是“52„_(<0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

9.A

【解析】

算出集合A、8及AA8,再求补集即可.

【详解】

由丁一21一3<0，得所以A={x|-l<x<3},又3={刈彳21},

所以AcB={x|l〈x<3},故为(Ac3)={x|x<l或xN3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

10.C

【解析】

由5+Of=3一2i,可得5+切=(a+z)(3-2i)=3a+2+(3—2a)i,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a的

a+i

值.

【详解】

解：•..2±£L=3_2i,:.5+ai=(a+i](3-2i}^3a+2+(3-2a}i

a+i

5—3a+2

,解得：a=\.

3-2a-a

故选:C.

【点睛】

本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把i2当成1进行运算.

11.A

【解析】

设球心为。，三棱柱的上底面/当吗g的内切圆的圆心为该圆与边句G切于点M,根据球的几何性质可得”为

直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设三棱柱为4BC-4/7cp且=12.BC=5,AC=13,高尚/=4.

所以底面』为与J为斜边是由G的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆圆。/与边鸟g切于点

则圆。/的半径为O/M=巴?二U=2.

设球心为0,则由球的几何知识得/。。”/为直角三角形，且。0=8-4=4,

所以OA/=+/=2/，

即球。的半径为2亚，

所以球O的体积为，x兀x（2回=丝史•

33

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离4和小圆半径，为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这

是解决与球有关的问题时常用的方法.

（2）若直角三角形的两直角边为°力，斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径/=仁三，合理利用中间结论可提高

2

解题的效率.

12.B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个10的排列数共A；=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3x-y-l=0

【解析】

求导，得到/'（0）和/'（0）,利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于/(O)=T，f'(x)=4-e\所以/'(0)=4—1=3,

由点斜式可得切线方程为3x-y-\=0.

故答案为：3x-y-l=0.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

14.叵

4

【解析】

先设P点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出

来，从而可求得点p的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得10H.

【详解】

如图，设尸（毛，为），-2y/2<x0<2y/2,々产士2,

由S.BP=S^NP，得:|PA||PMsinNAPB=；|MP||NHsinN"PN,

iPAl1PM民+2||4-x0|5

由sinNAP3=sinNM/WN°得丽=画,...旧=匕用‘解得/二万,

„2..27

又尸在椭圆上，•••工+及=1,^=—,

【点睛】

本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点

的横坐标表示.

15.1

【解析】

求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点外横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得A.

【详解】

设用@y）,

33

由题意v'=2+l,...e+1=4,x=l,y=4xl-l=3,即兄（1,3）,

xx

3=3in1+1+Z:,k=2.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.

16.{2,3,5}

【解析】

根据并集的定义计算即可.

【详解】

由集合的并集，知AUB={2,3,5}.

故答案为：{2,3,5}

【点睛】

本题考查集合的并集运算，属于容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）见解析；（2）—.

3

【解析】试题分析：（1）根据PC_L平面ABCD有利用勾股定理可证明ACJ.BC,故AC_L平面PBC,

再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在。点建立空间直角坐标系，利用二面角P-AC-E的余弦值为逅建

3

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.

试题解析：（I）-.-PCI平面ABCD,ACu平面ABCD,AC±PC

因为48=4,40=。。=2,所以4。=8。=&,所以4。2+8。2=482,所以4。_13。,又3。小尸。=。，所以

AC_L平面PBC.因为ACu平面EAC,所以平面EAC，平面PBC.

(II)如图，

以点。为原点，丽，丽，而分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则

C(0,0,0),A(2,2,0),5(2,-2,0).设P(0,0,2a)(a>0),则E(l,-1,a)

C4=(2,2,O),CT=(O,O,2a),CE=(l,-l,a)®lm=(l,-l,O),则玩•乱=。•存=0,比为面PAC法向量.

设n=(x,y,z)为面E4c的法向量，则万•卞=元•怎=0,

即｛，取％=a,y=—a,z=-2,则月=(。,—。，一2)

x-y+az=0'7

依题意|cos〈M砌常=,:2=半'则a=2.于是“=(2,—2,—2),西=(2,2,T).

设直线PA与平面EAC所成角为凡则sin。=卜os〈丽,万〉|=曾M=—

1|尸A•同3

万

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为—.

3

18.(1)£1=30.2,舄=29；(2)〃设备

【解析】

(1)平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；

(2)要注意指标值落在［20,40)内的产品才视为合格品，列出4、8设备利润分布列，算出期望即可作出决策.

【详解】

(1)A设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

4

频数41640121810

羽=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.

B设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

XB

频数2184814162

扁=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.

(2)A设备生产一件产品的利润记为X,8设备生产一件产品的利润记为匕

X240180120

20149

P

434343

Y240180120

]_2]_

P

236

£(X)=—(240x20+180x14+120x9)=195.35

£：(7)=240x1+180x1+120x1=200

236

E(X)<E(y)

若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.

【点睛】

本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.

19.(1)分层抽样，简单随机抽样(抽签亦可)(2)有(3)分布列见解析，E(X)=2

【解析】

(1)根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.

(2)由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.

(3)由已知条件计算出X的分布列，进而求出X的数学期望.

【详解】

(1)分层抽样，简单随机抽样(抽签亦可).

(2)将列联表中的数据代入公式计算得

,2n(ad-bc)2200(40x50-100xlO)2.

k=----------------------=--------------------»3.175>2.706

(“+b\c+d)(a+c)(6+d)140x60x50x150

所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”.

2

(3)以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为孑.X可取0,1,2,3,计

算可得X的分布列为：

X0123

1248

P

279927

E(X)=3x|=2

【点睛】

本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算女2以及数据的分布列和数学期望，需要正确

运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.

2tE2

20.(1)an=2n,bn=2"；(2)2019x2+8.

【解析】

⑴根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列｛。“｝和他,｝的通项公式；

(2)求出数列£｝的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列｛c„)的前2020项的和.

【详解】

(1)依题意得：42=4向，

所以(a1+6)2=所+2)(q+14),

所以4~+12q+36=4~+16q+28,

解得4=2.:.an=2n.

设等比数列也｝的公比为q,所以4=/噜=!=2,

n2n

又b?=a=4,:.bn=4x2~=2.

⑵由(1)知，。”=2〃也=2".

因为工+上+…•+4d■+4=22①

4电％4

当心2时,②

由①一②得，，=2",即。,,=〃-2向，

又当〃=1时，q=a也=2?不满足上式，

8,n=1

：'Cn=\n-T+\n>2'

数列｛c“｝的前2020项的和$2侬=8+2x2*+3x2,+…+2020x2202'

=4+1x2?+2x2,+3x2,+…+2020X22M

23420202021

^^ra（）=lx2+2x2+3x2+---+2019x2+2020x2③,

贝!|24o2o=1x23+2x2"+3*2$+…+2019x2?⑼+2020x2?°22④，

由③一④得：-弓。=2?+2,+24+…+2?⑼-2020x22022

2-（1-2二）_2｛）20*2皿2=y一2019x2触2

1-2

所以%=2019,22022+4,

^^52020=^O2O+4=2O19X22O22+8.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力及综合运

用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.

21.(1)m=6(2)32

【解析】

(1)利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集，得到关于〃?的方程，求出加的值即可；

(2)由(1)知m=6可得,a+%+c=12,利用三个正数的基本不等式a+b+c>3痂，构造和是定值即可求出

(a+l)(b+l)(c-3)的最大值.

【详解】

(1)Vf(x)=\x-m\-\x+2\,

/(x-2)=|x-m-2|-|x-2+2|,

所以不等式/(工一2)»0的解集为(―,4],

即为不等式卜一/"-2|一目NO的解集为（YO,4],

二|x-机-2怛|x|的解集为（-8,4],

即不等式（X—加一2）2的解集为（-00,4],

化简可得,不等式(〃?+2)(m+2-2司“的解集为(Y，4],

所以空2=4,即加=6.

2

(2)*.*m=6,a+2b+c=12.

又•・•〃>(),h>0,C>3,

("+1)9+1)(0_3)=("+m；2)(。-3)

V11(“+1)+(2/7+2)+(C-3邛=\(a+2h+c^=j_r12?=

―3