2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）（ 含答案）

2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）

一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.在给出的一组数0,n,旄，3.14,炯,爷中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.据人民日报海外网消息：截至北京时间2020年5月23日7时30分左右，全球累计确诊

新冠肺炎病例逾520万例，将5200000用科学记数法表示为（）

A.0.52X107B.5.2X105C.5.2X106D.52X105

3.下列各式的计算结果正确的是（）

A.2x-^3y=5xyB.5x-3x=2x

C.7y2-5）2=2D.-4ab1=5a1b

4.点P（-2,-3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）

A.（0,0）B.（-4,0）C.（0,-6）D.（0,6）

5.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（）

选手甲乙丙T

方差0.0230.0180.0200.021

则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.如图，A8〃CD,点E在直线CO上，£4平分NCEB,若NBED=40°,则NA大小为

()

A.80B.70C.50D.40

8.下列说法正确的是()

A.端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场

上的粽子实行全面调查

B.一组数据-1,2,5,7,7,7,4的众数是7,中位数是7

C.海底捞月是必然事件

D.甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方

差为1.2,乙同学跳远成绩的方差为1.6,则甲同学发挥比乙同学稳定

9.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流/(A)与电阻R(ft)成反比例，其函数图

象如图所示，则电流/与电阻R之间的函数关系式为()I

A.1屈B.，C.*D.I山

RRRR

10.如图，中，弦AB,CD相交于点P,乙4=40°,/APD=76°,则的大小是

A.38°B.40°C.36°D.42°

11.如图，RtZ\ABC中，NACB=90°,ZA=30°,BP平分/ABC,BP=CP=2,贝ijAB

的长为（）

B

A.4-73B.6C.4&D.4

12.如图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,n）,抛物线与y

轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①a+8+c>0；②对于任意

实数机，4+6》加2+励总成立；③关于X的方程“/+以+'="有两个相等的实数根；④

-IWaW-2,其中结论正确个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.因式分解：b-y=.

14.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800。，则此多边形是边形.

is.分式方程2=2■的解是.

x-2x

16.若扇形的半径为3,圆心角120。，为则此扇形的弧长是.

三、解答题（本大题共9个小题，共72分）

17.（6分）计算：扬+我-4（-2）2+11-«•

18.（6分）先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4j?y-8x>,3）其中x=l,y=-3.

19.（6分）东营市作为全国文明城市，做志愿服务的人越来越多.近年来，全市各中小学

开展丰富多彩的志愿服务活动.在3月5日学习雷锋纪念日期间，某校打算表彰一批志

愿服务先进个人，校团委从全校1500名学生中随机抽取部分学生对他们近两周志愿活动

的工时进行统计，请根据下面尚未完成的统计图表，解答下列问题：

组别工时数X/小时人数

A0«2.516

B2.5«40

C5«7.550

D7—10m

E104W12.524

(I)共抽取了名学生;

(2)图②中“E”所对应的圆心角度数为,补全频数分布直方图;

(3)根据本次抽查结果，请估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有多少名？

(4)现有。组，E组各两名学生，从这4名学生中随机抽取两名学生作为代表组织学生

的志愿服务活动，请用列表法或画树状图法求出所抽取的两名学生都在E组的概率.

20.(8分)如图，在△ABC中，NAC8=90°,。是BC边上的一点，分别过点A、B作

BD、AO的平行线交于点E,且AB平分NE4O.

(1)求证：四边形E4O8是菱形；

(2)连接EC,当NBAC=60°,8c=2«时，求△EC3的面积.

21.(8分)某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活

动使用，若购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用

155元.

(1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元？

(2)该学校决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过400元，那么最多可以购

买多少副围棋？

22.(8分)对于平面直角坐标系X。)，中的点P和(半径为r),给出如下定义：若点P

关于点M的对称点为Q,且rWPQW3r,则称点P为。M的称心点.

(1)当。。的半径为2时，

①如图1,在点A(0,1),B(2,0),C(3,4)中，的称心点是:

②如图2,点。在直线丫=心上，若点。是。O的称心点，求点。的横坐标机的取值

范围；

(2)的圆心为7(0,力，半径为2,直线丫=争+1与x轴，y轴分别交于点E,F.若

线段EF上的所有点都是的称心点，直接写出/的取值范围.

23.(9分)如图，A2为。。的直径，C为。。上一点，AQ与过C点的直线互相垂直，垂

足为D,AC平分ND4B.

(1)求证：OC为。。的切线.

(2)若AD=3,DC=M，求的半径.

24.(9分)若抛物线L：y=a^+bx+c(«,b,c是常数，aWO)与直线/：满足/十层

=2«(2c-/>),则称此直线/与该抛物线L具有“支干”关系.此时，直线/叫做抛物线

L的“支线”，抛物线L叫做直线/的“干线”.

(1)若直线y=x-2与抛物线丫=/+法+。具有“支干”关系，求“干线”的最小值；

(2)若抛物线y=/+6x+c的“支线”与)，=-生的图象只有一个交点，求反比例函数

的解析式；

(3)已知“干线”丫=/+版+，与它的“支线”交于点P,与它的“支线”的平行线I'：

y=or+4a+b交于点A,B,记AABP得面积为S,试问：金的值是否为定值？若是，请

lai

求出这个定值；若不是，请说明理由.

25.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-工2+bx+c与直线>=工-3分

42

别交x轴、y轴上的8、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A,顶点为点。，

连接C£>交x轴于点£

(1)求该抛物线的表达式及点。的坐标；

(2)求NOCB的正切值；

(3)如果点F在y轴上，且NFBC=NOBA+NDCB,求点F的坐标.

2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.在给出的一组数0,m娓,3.14,朝，与中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判

定选择项.

【解答】解：m娓,我是无理数，

故选：C.

2.据人民日报海外网消息：截至北京时间2020年5月23日7时30分左右，全球累计确诊

新冠肺炎病例逾520万例，将5200000用科学记数法表示为（）

A.0.52X107B.5.2X105C.5.2X106D.52X105

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值大于10时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

【解答】解:5200000=5.2X106,

故选：C.

3.下列各式的计算结果正确的是（）

A.2x+3y=5xyB.5x-3x=2x

C.7y2-5）2=2D.9a2b-4ab2^5a2b

【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的

指数不变，据此逐一判断即可.

【解答】解：A2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

B.5x-3x=2x,故本选项符合题意；

C.7r-5）?=2/，故本选项不合题意；

D9a2〃与-4a廿不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

故选：B.

4.点P（-2,-3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到的点的坐标为（)

A.(0,0)B.(-4,0)C.(0,-6)D.(0,6)

【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为

(-2+2,-3-3),计算即可.

【解答】解：点P(-2,-3)向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的点

的坐标为(-2+2,-3-3),

即(0,-6).

故选：C.

5.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为()

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一

个小正方形，

故选：C.

6.甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方

差如下表:

选手甲乙丙T

方差0.0230.0180.0200.021

则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越

小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】解：「s/vs丙2Vs丁2Vs甲2,

.•.这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙.

故选：B.

7.如图，A8〃C。，点E在直线C£＞上，EA平分NCEB,若NBED=40°,则NA大小为

【分析】根据邻补角性质可得/BEC=180。-40°=140°,然后算出/AEC的度数，

再根据两直线平行，内错角相等可得答案.

【解答】解：；NBE£）=40°,

AZB£C=180°-40°=140°,

是NCE8的平分线，

AZAEC=70°,

'：AB//CD,

：.ZA=ZAEC=10°,

故选：B.

8.下列说法正确的是（）

A.端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场

上的粽子实行全面调查

B.一组数据-1,2,5,1,1,7,4的众数是7,中位数是7

C.海底捞月是必然事件

D.甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方

差为1.2,乙同学跳远成绩的方差为1.6,则甲同学发挥比乙同学稳定

【分析】根据全面调查和抽样调查、众数和中位数、随机事件、方差的概念和性质判断

即可.

【解答】解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门

对广安市市场上的粽子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；

B、一组数据-1,2,5,1,7,7,4的众数是7,中位数是5,本选项说法错误，不符

合题意；

C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；

。、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方

差为1.2,乙同学跳远成绩的方差为1.6,则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确,

符合题意；

故选：D.

9.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流/(4)与电阻R(Q)成反比例，其函数图

象如图所示，则电流/与电阻R之间的函数关系式为(

A.I啜B.1二c

R-H

【分析】设函数解析式为/=乂，由于点(4,6)在函数图象上，故代入可求得女的值.

R

【解答】解：设所求函数解析式为/=K,

R

•••(4,6)在所求函数解析式上,

"=4X6=24.

故选：A.

10.如图，。。中，弦A8,CO相交于点P,ZA=40°,ZAPD=16°,则的大小是

()

A.38°B.40°C.36°D.42°

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得NO=43。，然后再利

用三角形内角与外角的关系可得答案.

【解答】解：・・・乙4=40°,

AZD=40°,

VZAPD=76°,

・・・NB=76°-40°=36°,

故选：C.

11.如图，RtZ\4BC中，ZACB=90°,NA=30°,8P平分NABC,BP=CP=2,则AB

的长为（）

A.4A/3B.6C.4&D.4

【分析】由等腰三角形的性质得BD=CD,再由含30°角的直角三角形的性质得AB=

2BC,PD=1.PB=\,BD=MPD=«,则BC=2B£)=2«,即可求解.

2

【解答】解：过尸作POLBC于。，如图：

'：BP=CP,

：.BD=CD,

VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,ZABC=60°,

•.如平分/ABC,

：.ZPBC=30°,

'：PD±BC,

：.PD=1.PB^\,BD=MPD=M，

2

：.BC=2BD=2-/3,

：.AB=2BC=4y/3,

故选：A.

12.如图，抛物线与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,«）,抛物线与y

轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①②对于任意

实数ni,a+h^an^+bm总成立；③关于x的方程ax1+bx+c=n有两个相等的实数根；④

-iWaW-2,其中结论正确个数为（）

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由图象可知，当x=l时，y>0,于是可对①进行判断；利用二次函数的性质可

对②进行判断；根据抛物线与直线y="有一个交点可对③进行判断；利用

2WcW3和c=-3a可对④进行判断.

【解答】解：由图象可知，当x=l时，y>Q,

.'.a+b+c>0,所以①正确；

；抛物线的顶点坐标（1,〃），

.•.x=l时，二次函数值有最大值”，

.*.a+b+c^am+bm+c,

即a+b^an^+bm,所以②正确；

；抛物线的顶点坐标（1,”），

抛物线y—a^+bx+c与直线y—n有一个交点，

二关于x的方程a^+bx+c^n有两个相等的实数根，所以③正确；

；抛物线y=a?+6x+c与x轴交于点4（-1,0）,

-&+c=0,

,:b=-2m

〃+2a+c=0,

c=-3a,

・・・2«,

・・・2W-3〃W3,

-iWaW-2,所以④正确；

3

故选：D.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.因式分解：/-y=y（y-1）

【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案.

【解答】解：(y-1).

故答案为：y(y-1).

14.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是边形.

【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°,然后根据题意可求得答案.

【解答】解：•••多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°,

.,.1800°4-180°=10.

故答案为：十.

15.分式方程2=3的解是x=6.

x-2x

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x=3x-6,

解得：x—6,

经检验x=6是分式方程的解，

故答案为：x=6

16.若扇形的半径为3,圆心角120°,为则此扇形的弧长是2n.

【分析】根据弧长的公式/=亚三进行计算即可.

180

【解答】解：•••扇形的半径为3,圆心角为120°,

此扇形的弧长=120冗X3=2n.

180

故答案为：21T

三、解答题(本大题共9个小题，共72分)

17.(6分)计算：物+朝-4(_2产|1

【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=3«+2-2+加-1

=4代-1.

18.(6分)先化简，再求值：(x+y)(x-y)-(-8x>,3)+2xy,其中x=l,y=-3.

【分析】先对多项式化简，然后代入求值.

【解答】解：原式=7-夕-2?+4)，

当x=1，y=-3时，

原式=-12+3X(-3)2

=-1+27

=26.

19.(6分)东营市作为全国文明城市，做志愿服务的人越来越多.近年来，全市各中小学

开展丰富多彩的志愿服务活动.在3月5日学习雷锋纪念日期间，某校打算表彰一批志

愿服务先进个人，校团委从全校1500名学生中随机抽取部分学生对他们近两周志愿活动

的工时进行统计，请根据下面尚未完成的统计图表，解答下列问题：

组别工时数W小时人数

A0«2.516

B2.54W540

C5«7.550

D7.5Wx<10m

E10WxW12.524

(1)共抽取了200名学生:

(2)图②中“E”所对应的圆心角度数为43.2°，补全频数分布直方图;

(3)根据本次抽查结果，请估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有多少名？

(4)现有。组，E组各两名学生，从这4名学生中随机抽取两名学生作为代表组织学生

的志愿服务活动，请用列表法或画树状图法求出所抽取的两名学生都在E组的概率.

【分析】(1)根据题意列算式40・20%=200即可得到结论；

(2)用360。XE组所占的百分比即可得到结论；根据题意补全频数分布直方图即可；

（3）根据题意列式即可得到全校学生中志愿服务工时少于5小时学生数；

（4）根据题意画出树状图，得到共有16种等可能的情况数，其中抽取两名学生都在E

组的有4种，然后根据概率公式即可得到结论.

【解答】解：（1）共抽取的学生数有：404-20%=200（名）.

故答案为：200；

（2）“E”所对应的圆心角度数为360°X工£=43.2°；

200

。组的人数有：200X35%=70（人）,

（3）全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有1500X&12_=420（名）:

200

答：估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有420名；

（4）根据题意画树状图如下:

共有16种等可能的情况数，其中抽取两名学生都在E组的有4种，

则抽取两名学生都在E组的概率是_左=」.

164

20.（8分）如图，在AABC中，ZACB=90°，。是BC边上的一点，分别过点4、B作

BD、的平行线交于点E,且AB平分NE4O.

(1)求证：四边形EADB是菱形；

(2)连接EC,当/8AC=60°,8c=2近时，求△EC8的面积.

【分析】(1)根据已知条件求得四边形EAOB是平行四边形，根据角平分线定义得到/

EAB=NDAB,根据平行线的性质得到/E4B=/O8A,于是得到结论；

(2)解直角三角形和根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：AE//BD,

四边形EADB是平行四边形，

：AB平分/EA。，

:.NEAB=NDAB,

'JAE//BD,

:.NEAB=NDBA,

：.NDAB=NDBA,

：.AD=BD.

四边形EADB是菱形；

(2)解：；NACB=90°,NBAC=60°,8C=2相,

/.tan60°=至=«,

AC

：.AC=2,

S&ACB=—AC-BC=^X2X2T=2«,

22

'：AE//BC,

••S/\ECB=S^ACB=2-\/^.

21.(8分)某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活

动使用，若购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用

155元.

(1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元？

(2)该学校决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过400元，那么最多可以购

买多少副围棋？

【分析】(1)设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据“购买3副围棋和4副中国象

棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元”，即可得出关于x,)，的二元一

次方程组，解之即可得出结论；

(2)设可以购买机副围棋，则购买中国象棋(30-w)副，根据总价=单价X数量，结

合总费用不超过400元，即可得出关于俄的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可

得出结论.

【解答】解：(1)设每副围棋x元，每副中国象棋y元，

依题意得：俨+4丫=85,

|5x+8y=155

解得：(x=15.

ly=10

答：每副围棋15兀，每副中国象棋10兀.

(2)设可以购买机副围棋，则购买中国象棋(30-加)副，

依题意得：15瓶+10(30-m)W400,

解得：，“W20.

答：最多可以购买20副围棋.

22.(8分)对于平面直角坐标系X。)，中的点P和。例(半径为r),给出如下定义：若点、P

关于点M的对称点为Q,且rWPQW3r,则称点P为。M的称心点.

备用图

(1)当。。的半径为2时,

①如图I,在点4(0,1),B(2,0),C(3,4)中，G)。的称心点是点A,8:

②如图2,点O在直线y=A/私上，若点。是。0的称心点，求点。的横坐标，"的取值

范围；

(2)07的圆心为7(0,力，半径为2,直线>=运一+1与x轴，y轴分别交于点E,£若

3

线段EF上的所有点都是的称心点，直接写出1的取值范围.

【分析】(1)①先求出点A,B,C关于点。的对称点A',B',C进而求出AA',BB',CC,

再判断即可得出结论；

②先求出点D的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；

(2)先求出点E,F坐标，进而求出/EFO=60°,进而找出了轴上到线段EF的距离

为2时的位置，再分情况利用新定义，即可得出结论.

【解答】解：(1)①(0,1),

...点A关于点。的对称点为A(0,-1),

.♦.A4'=l-(-1)=2,

：。。的半径为2,

点A是O。的称心点，

•:B(2,0),

...点B关于点O的对称点为B,(-2,0),

：.BB'=2-(-2)=4,

•；00的半径为2,

.•.点8是。。的称心点，

VC(3,4),

...点C关于点O的对称点为C(-3,-4),

CC=J(3+3产+(4+4)2=25>3,

...点C不是。。的称心点，

故答案为：点A,B；

②•••点。在直线私上，且点。的横坐标为“，

；.£>的坐标为(m,

...点D关于点0的对称点。'的坐标为(-m,-«w),

•••3布荷无嬴扇P=4|〃?l，

:点。是。。的称心点，且。。的半径为2,

；.2W4|/川W6,

-旦WmW-•或

2222

...点D的横坐标m的取值范围是一旦WmW-工或工W/nW3；

2222

(2)如图，

针对于直线y=^^x+\,

令x=0,

：.y=1,F(0,1),

；.OF=1,

令y=0,

.•.返x+l=0,

3

；.x=-M，

：.E(-5/3,0),

：.OE=yf3,

在RtAEOF中，tanZ£FO=^.=V3>

OF

：.NEFO=60°,

过.y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G,

•.•线段EF上的所有点都是的称心点，且。T的半径为2,

**•TG最小=1,

在RtZ\FGT中，sinNEFO=理，

FH

Z.FH=___I®____

sinZEFO3

OH=FH-0F=26,-i,

3

当点T从“向下移动时，GH,FH,E”越来越长，直到点G和E重合，，尸取最大值,

；线段E尸上的所有点都是的称心点，

：.FH=\-fW3,

・・.，2-2,

EH<3,

AVt2+3^3,

:・t?-在，

-2WW1-2立,

3

当点T从点”向上移动时，点7在尸”上时，7到E尸的距离小于2,此种情况不符合题

尽、，

当点T从点尸向上移动时，ETNEF,

即：02,

•.•线段EF上的所有点都是。T的称心点，

:.F心1,EHW3,

：.t-l&b42+产,

；.2WfW近，

且r的取值范围是-2WW1-a区或2WW遍.

3

23.(9分)如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，AZ)与过C点的直线互相垂直，垂

足为。，AC平分/D48.

(1)求证：QC为。。的切线.

(2)若AO=3,DC=M，求00的半径.

D

【分析】（1）如图，连接0C,根据已知条件可以证明/OC4=ND4C,得AO〃OC,由

ADA.DC,0C1DC,进而可得OC为。。的切线；

（2）过点。作OE_LAC于点E,根据RtZVLDC中，A£>=3,£>C=«,可得/D4C=

30°,再根据垂径定理可得AE的长，进而可得。。的半径.

【解答】解：（1）如图，连接OC,

"：OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

；AC平分//MB,

NDAC=NOAC,

：.ZOCA=ZDAC,

J.AD//OC,

'：AD±DC,

：.OCLDC,

又oc是o。的半径，

.♦.DC为00的切线；

(2)过点。作OE_L4c于点E,

在Rt/XAQC中，AD=3,DC=M，

..11/。4。=匹=返，

AD3

，NDAC=30°,

:.AC=2DC=2&,

•/0£_L4C,

根据垂径定理，得

AE=EC=-^^AC=yJ^t

2

；/E4O=ND4C=30°,

：.0A=-_=2,

cos300

二。。的半径为2.

24.(9分)若抛物线L：y=axi+hx+c(a,b,c是常数，”W0)与直线/：y=ax+〃满足J+房

=2a(2c-b),则称此直线/与该抛物线L具有“支干”关系.此时，直线/叫做抛物线

L的“支线”，抛物线L叫做直线/的“干线”.

(1)若直线y=x-2与抛物线丫=/+法+。具有“支干”关系，求“干线”的最小值；

(2)若抛物线y^+bx+c的“支线”与y=-生的图象只有一个交点，求反比例函数

x

的解析式；

(3)已知“干线"y=a/+6x+c与它的“支线”交于点P,与它的“支线”的平行线1,：

y=ox+4a+b交于点A,B,记△48P得面积为S,试问：工的值是否为定值？若是，请

lai

求出这个定值；若不是，请说明理由.

【分析】(1)根据“支干”关系的定义，求出。、仄c的值，利用配方法确定函数的最

值.

(2)由题意a=l,1+/=2(2c-人)①，可得抛物线y=/+/zr+c的“支线”为产

y=x+b

x+h,由，4c，消去丫得至U/+人x+4c=0，由抛物线y=/+〃x+c的''支线"与y=-生

y=­x

x

的图象只有一个交点，可知△=(),得扇-16°=0②，由①②解方程组即可解决问题.

(3)1r的值是定值.不妨设。＞0,如图所示，与它的“支线”交)，轴于

lai

C,直线y=〃x+4〃+b与y轴交于点£＞,A(xi,y\),B(必”)，

'_2

由＜y-ax+bx+c,消去y得到以"(匕-a)x+c-4。-b=O,推出幻+及=巨”，川切

y=ax+4a+ba

=SlMzb,推出团-切=d(xi+x2)2-4x”2=J(呼)2省S于±1=

I222

a二2ab+b二4a”l6a+4ab,把a2+.=2”(2c-b)代入上式化简得到m-划=4,

VaI2

由AB//PC,可得S=SAPAB=SACAB=SACDB-SACDL』，C£)•风-A.v=」，|43・4=8,|a|,

22

由此即可解决问题.

【解答】解：(1)由题意a—1>b--2,12+(-2)2—2(2c+2),解得c=L

4

二抛物线的解析式为y=7-2x+l,

4

,.,)>=/-2x+——(x-1)2--,

44

Va=l>0,

；.x=l时，y有最小值，最小值为一3.

（2）由题意a=l,1+序=2（2c-b）①

二抛物线y=J?+bx+c的“支线”为y=x+b,

'y=x+b

由，4c，消去V得至I/+bx+4c=0,

y=—

X

•.•抛物线'=/+版+。的“支线”与丫=-庭的图象只有一个交点，

X

：.h2-16c=0②

由①②可得b=-2,c=~t或b=-2,c--^,

4336

二反比例函数的解析式为尸-工或产--L.

x9x

（3