第十三讲高中数学竞赛考点代数

第十三讲高中数学竞赛考点代数

一、竞赛说明，赛情解读

1.竞赛说明

函数是高中数学的基础.在每年的全国高中数学联赛中，函数问题以各种不同的形式出

现,而且出现的比重也较高.常考的知识要点如下：

（1）函数值域（最值）及其求法，主要方法有：

①观察法（适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域（最值）的简单函数）.

②配方法（适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型）

③分离常数法（适用类型：分式且分子.分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化

为y=k±/（x）（Z为常数）的形式）.

④换元法（适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等）.

⑤单调性法及求导法（单调性法：适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值.（原

理：同增异减），也可通过求导法来得到函数单调性）.

⑥反函数法（适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于

其它易反解出自变量的函数类型）.

2r2+41--7

⑦判别式法（适用类型：分子、分母中含有二次项的函数类型，如：>=「一:一，

-X2+2X+3

此函数经过变形后可以化为A（y）x2+6（y）x+C（y）=0的形式，再利用判别式加以判断）.

⑧有界性法（适用类型:一般用于三角函数型，即利用sinxe[-M],cosxe[-1,1]等）.

⑨数形结合法（适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型）.

⑩不等式法（适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值.（如：等），

a+b>2\[ab））

（2）函数的性质与图像

主要指单调性、奇偶性、周期性、对称性等,在解决也函数有关的（如方程、不等式等）

问题时，巧妙地利用函数及其图像的相关性质，可以使问题得到简化，从而达到解决问题的

目的.（3）二次函数问题（热点问题）

在高考和高中联赛中都占有重要地位.注意解析式函数图像的关系.

(4)函数方程与迭代

通过把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发

生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求解

2.赛情解读

近年来，这方面出现的试题主要有函数性质、函数方程、函数最值和不等式、函数迭代

的问题.

函数的单调性：2010年联赛第1题；

函数单调性和奇偶性：2012年联赛第6题

函数值域的求法：2015江西预赛第2、5题、2011年联赛第2题、2012年江西预赛第5

题等；

函数方程和赋值法：2010年联赛第9题；

函数迭代：2017年联赛第2题；

函数与不等式问题：2016年江西预赛第6题、2012年江西预赛第5题、2010年联赛第

5题、2013联赛第5题、2017年联赛第9题等；

多元函数的最值问题：2017年联赛第1题.在这些联赛试题中，函数内容经常和其他知

识结合起来，函数问题和函数思想始终贯穿于数学联赛试题的始终.因此，更要掌握函数思

想和解决函数问题的一般方法，可以这样认为，函数在代数中的地位，相当于作文在语文中

的地位，学好了函数也就掌握了数学竞赛思想的精髓.

二、竞赛目标，赛点解析

数学奥林匹克竞赛几乎覆盖了全国各地各所学校，比赛活动目标旨在拓宽学生的知识视

野，激发学生兴趣，培养学生的思维品质、动手能力，发展学生的个性特长，为高校选拔优

秀的学科人才，同时竞赛活动对促进教师自身素质的提高，促进教学改革的深入发展和教学

质量的提高，也起到了积极的作用。

目标一基础知识

映射与函数

r函数方程的概念：含有无

定义域、值域和对应法则

例1.(2017年全等式成立轧求函

数方程的解析式u做解函数方程.

掌握函数的相关概念Z

数X有/(x43)

复合函数求函数值…

(2)函数方程(

反函数j--rn、，、“一”".工厂

函数方程的常见题型(

不动点：给定函数/(X),若其定义

域内一点XQ满足/(x0)=%,

【答案】—L

2

【解析】由条件知，/(X+14>~—1-=f(x),

/(尤+7)

所以/(—100)=/(—100+14x7)=/(—2)==-!.

/(5)log242

点评：此题的意图主要是考查函数的周期性变化，通过函数迭代求出周期为14,再利用周

期性求值.若推广为f(x+a)f(x)=1,则周期为2同

目标二基本技能

能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力

以及应用意识和创新意识.

例2.(2015年江西预赛题2)函数y=,8x—f—J14x—x?—48的最大值是,

【答案】2百.

【解析】y=Jx(8—x)—J(x—6)(8-x)=y/S—x{\[x-Jx-6)=-j=—,.’其定义

5/元+，Y-6

域为6Kx<8,当x=6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达到最大，其值

为26.

点评：此题的意图主要是考查带根式函数最值的求法，较为常见的解法是应用平方或分子分

母有理化，此题分子有理化后可直接观察出单调性，最后通过单调性求最值.

目标三思想方法

s(1)函数与方程思想

①函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中数量关系，是对函数概念的本

质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数图像和性质去分析转化问题，从而使问题获得

解决的思想方法.

②方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方

程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想

方法.

(2)数形结合的思想

数形结合，是通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，包括两个方面:

“以形助数”和“以数助形”，“以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联

系，“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性.它可以使复杂的

问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使

问题得到解决.

(3)分类与整合思想

当问题所给的对象不能进行统一研究时.，就需要对研究对象按照某个标准分类，然后对

每一类分别进行研究，最后综合各类讨论的结论.

(4)转化与化归思想

转化与化归思想就是借助数学各知识间的联系，根据已知条件将数学命题由一种形式向

另一种形式转化，回归到一类已经解决或比较容易解决的问题，它是中学数学最基本的思想

方法.

(5)特殊与一般的思想

对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从

研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况

的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决

问题的思想称之为特殊化思想.

中学数学中“特殊与一般的思想”主要是把题中变化的若干变量用特殊值(或特殊函数、

特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特定图形、特殊方程、特殊模型)代替.即可得到问题

的结论，再由特殊到一般，用数学方法论证在一般情况下也成立，这就是特殊与一般思想.在

解数学选择题时，由选择题题型的特殊性，只完成第一步就可得出答案.

例3.(2017年全国高中数学联合竞赛一试A卷题2)若实数满足f+2cosy=l,则

x-cosy的取值范围是.

【答案】[-1,6+1]

Ll1—V2

【解析】由于x2=i-2cosye[-1,3],故.由cosy=3一可知，

]1

x-cosy=x=](x+l)2-1.因此当％=-1时，x-cosy有最小值一1(这时y可

以取当x=G时，x—cosy有最大值百+1(这时y可以取乃).由于g(x+l)2—l

的值域是[-1,6+1]，从而X—cosy的取值范围是[—1,百+1].

点评：此题的意图主要是考查多元变量函数最值的求法，这类题型往往运用化归与转化思想

l-x2

将多元变量问题转化为我们熟知的单元变量问题，此题通过消元法将cosy用一耳一代换消

去变量y,转化为求轴定区间定的二次函数函数值域，本题还应深挖隐含条件，利用三角函

数有界性求出x的范围.

目标四灵活应用

能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简

单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，

将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语

言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现

实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.

对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平,

控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经

验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.

例4.(2010年陕西预赛题9)乃与24,2—，2+,2+由哪个大?说明理由.

【解答】事实上，可证明：兀>24个212*2+6.由

V3=2cos—=>J2+G=A/2+2COS—=2cos—

6V612

/77ITTT

=24J2(l-cos—)=48sin欣.利用sinx<x(xe(0,5))即完成证明.

点评：本题的意图主要是考查构造函数法证明不等式.这种方法在柯西不等式的证明中也有

用到.本题通过构造三角函数将无理数目与三角函数中的)弧度建立联系，从而将要比较的

看似完全不搭喝的两个数无形中有了通性，为进一步比较大小奠定了坚实的基础.

目标五创新能力

《考试大纲》要求培养学生的创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用

所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研

究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.

对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有

一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数

学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、

开放型等类型的试题.

例5.(2015年上海预赛题8)实数满足x—=3后工—y,则x+y的最大值

为.

【答案】9+3厉.

【解答】法一：令a==厅BgNO),则x=a2—l,y=〃-2,即有

a2-\-3a=3b-(b2-2),即为

315

（a--）2+（Z7--）2=—,其几何意义为以C（三二）为

22222

/on

圆心，匚为半径的圆弧（位于第一象限），则

2

x+y=a2+^—3,其几何意义是点0,切与原点的距

离的平方与3的差.由图可得连接OC延长交圆于则

0。最长.

则|。。|=|OC\+\CD\=-+—,

22

此时％+y=『一3=9+3而即x+y的最大值为9+3后.

法二：由题意知尤+y=3（JTTT+历工）43x2A'+l+y+2,显然x+y>0,不等式两边平

方得*+力2<18（》+、+3）,解得9一3后<%+旷<9+3诟.所以x+y的最大值为

9+3V15.

点评：本题的意图主要是考查函数方程及最值.法一：通过换元去掉根号，再将其转化为解

几中求距离最值的问题，最后利用数形结合求解.法二：通过移项平方再利用基本不等式求

解最值.此题看似法一比较繁琐，但是若题干改为求x+y的最值，法一却能直观的看出当。

在两坐标轴上时取得最小值，这种解法将函数方程转成解析几何的求解问题，将代数与形结

合，直观形象，而且运用广泛，在高考和竞赛题中都常出现，不只是圆，还可以是椭圆、抛

物线、双曲线，再加以函数的周期性、对称性、奇偶性等融合在一起，这类题目立意新颖，

思维发散性强，反映数、形运动变化，可成为研究型、探索型、开放型等类型的创新性试题.

目标六压轴题例

压轴题承担着综合考查学生分析、观察、转化、化归、探究等能力的功能，检测学生思

维变换、合理猜测与科学证明的科学素养和学习浅能，它的很大一个功能是突出选拔性，历

来受到广泛关注。竞赛函数的压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合

型尤其是创新能力型试题。作为函数试题的精华部分，压轴题通常具有知识容量大、能力要

求高、综合知识强、构思精巧、利益高远、背景深刻、凸显数学思想方法的运用以及要求考

生具有一定的创新意识和创新能力等特点，的确，解答数学压轴题是一项富有挑战性的工作，

不仅要求学生有扎实的数学功底，而且需要更多的细致和耐心，有效提取题设计条件的关键

要素和隐含关系，仔细分析，联想突破，合理转化，耐心求解，千万别一看压轴题就心有余

悸选择放弃。

例6.（2016年全国竞赛一试A卷题10）已知/（x）是R上的奇函数，/⑴=1,且对任意

r

x<0,均有/(----)=xf(x).

x-1

求)+/(-)/(—)+/(-)/(—)+•••+/(—)/(—)的值.

1002993985051

Y

解：设4=/•(i2)(〃=1,2,3,…)，则4=八1)=1.在/(」_)=#(x)中取

nx-\

x=_L(kwN*),注意到—=—^=—,及/(x)为奇函数.可知

kx-1Ijk+]

一厂

"白冲

即％L=从而4=乌_.3.….-----L-

--1=------

4k%an-2«1〃—1〃—21(H-1)!

因此

505014911491491

白ya,'«1*01,.=try(-z---l-)!-(1-0-0--z=)!y七-〃(9--9-i)!=—99!y占c；99=—99!y笠cc;99+c：："-)--2

点评：本题的意图主要是考查抽象函数求值.抽象函数求值往往要通过赋值法来解题，本题

通过将x赋值为eN*）得到一个类似于数列的递推公式，从而将函数问题转化为数列

k

求通项的问题，最后通过组合运算性质求解函数值.这是一道函数、数列、排列组合的综合

运用，难度系数较大，是一道较好的选拔考试题.

三、趋势与展望

函数的定义域、值域、图像与性质是历届高中数学联赛中的重点和热点内容，通常出现

在一试的题目中，并以二次函数问题为最，作为代数解决问题的工具，也时常需运用函数思

想来解决一些更有挑战的竞赛试题，而导数的应用，三次函数的考查在竞赛中会成为一种趋

势.

四、学法指导

数学学法中常用的几个策略，第一就是要不断掌握有用的先进武器一一数学公式、定

理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算的试题中，

应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为

主，欲擒故纵.

1.武器精,巧解题

若能不断掌握一些有用的课外公式，无论是解高考试题，还是解数竞试题都是有用的，

尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是

在出活题考能力(当然它要求的知识面更广，基础更坚深)，二者关系极为密切.

例7.(2012年江西预赛题5)函数y=x(l+Jl-f)的最大值是.

【解析】x的取值范围是|x|41,因求最大值，可以设0cxWl,々x=sina,,

则y=sinc(l+cosa),yr=coscr(1+cos«)+sina(-sina)=cosa+cos2a,令

y'=0,即cosa+cos2a=0,得2a=4一。，所以。=万，这时y

当=1+-,即时取等号.

点评：此题的意图主要是考查求函数最值.本题解法一是通过利用三角换元法去除根式，然

后利用求导法求最值；解法二是将函数式化归为和为定值的式子，再利用和定积最大的基本

不等式求函数最值.

2.大概念，小计算

要学好数学，一定要重视概念的学习.加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算

解决问题的办法.

例8.(2010年全国高中数学联合竞赛一试A卷题1)函数/(x)=J=—j24—3x的值域是.

【答案】［一3,J5］.

【解析】易知/(x)的定义域是［5,8］,且/(x)在［5,8］上是增函数，从而可知/(x)的值域

为［-3,同

点评：此题的意图主要是考查函数值域.与目标二中例题2不同，虽同为根式之差的形式,

但此题无需有理化便能直接判断函数的单调性，从而利用单调性得出函数值域.

3.反客为主，欲擒故纵

数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的.反客为主，欲擒故纵就是一

种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就

考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现.

例9.(2011年安徽预赛题)/(x)(xeZ+)满足/⑴二士，且对任意的x、yeZ+，均有

f(x+y)=(1++(1+^7)/(y)+Yy+孙+孙之.记g(x)=f(x)(xeZ).求

x+1y+1

2016

Sg伏)的值.

k=-2017

解：取y=l,得/(x+l)=(l+1一)/(x)+(l+与/⑴+/+2x.整理得

x+12

幺2”一做

x+2x+14

/(〃)/(I)6J(x+l)/(X)、1/1-3，八一〃、1/山、

---r一一—=X(------------r)^-n(n-l)+-(n-l)=>f(n)=：〃(〃+l)(2n+l)

71+12x_]x+2x+1244

ng(x)=工x(x+l)(2x+l)(xeZ).构造h(x)=-x(x+l)(2x+l)(xeR)，则

44

31]

/?"(x)=3x+2.由〃”(x)=0,得％=--.从而，/z(x)的图像的对称中心为4(一上,0),即

222

20162016

g(x)的图像也是以A为对称中心的.故£g伏)=£(g(—女—i)+g(z))=0.

k=-20\7k=-0

点评：本题的意图也主要是考查抽象函数求值，也是利用赋值法导出类似于数列递推公式的

形式，将函数问题转化为数列问题，但不同的是求出数列通项公式后又转回函数问题，通过

求二阶导得到函数的"拐点"，从而得到三次函数的对称中心，再利用函数对称性求值.采用

迂回进攻的战略战术，反客为主，欲擒故纵，得到相应的解题思路.

竞赛精典真题回放

例1.(2017年江西预赛题5)函数y=皿上+3"f+1的最小值是.

【答案】75.

【解析】首先，y>Tx+3j^=Tx+6|x|20,又由(y+4x)2=9(4/+1),即

20立一8孙+(9-/)=。据判别式A=64y2-8o(9—y2)z0,即925,因y>0,则

y>>/5,此值在工=一产时取到，(也可令x=」tan6求解).

-V52

点评：此题的意图主要是考查带根式函数最值的求法，较为常见的解法是应用平方或分子分

母有理化，以及三角换元法.本题采用平方法去除根式，再用判别式法求解值域，除此之外

还需深挖隐含条件发现y>0.

例2.（2016年全国高中数学联赛江西省预赛题6）设x为锐角，则函数y=sinxsin2x的最大

值是.

473

【答案】

丁

【解析】由y=2sin?xcosx,Wy2=4sin4xcos2x

=2（1-cos2x）（l-cos2x）2cos2x<2（（1一。。$2尤）+（1-85。）+2。。$2“3

、3,

=212）=3，所以yK延.当cos2x=，时取得等号.

点评：此题的意图主要是考查三角函数最值的求法，通过平方配凑将三角函数转化为和定的

形式，再利用均值不等式得到最大值.

例3.（2016年全国竞赛一试A卷题3）正实数w均不等于1,若10g“vw+log、,卬=5,

log,.U+log,l,v=3,贝|Jlog,,u的值为.

4

【答案】

5

【解析】令log“u=a,log,.w=则logr〃=一,k）g“j=-,

ab

logvw=logv+logv-logw=a+ab,条件化为a+ab+Z?=5,—+—=3,由此可

Hi（（/vab

54

得at>因此logH,u=log,,.v-log,.»=-.

点评：此题的意图主要是考查对数函数的运算性质.根据对数函数的换底公式推论，将题干

中的五个对数均用log“V、log,,卬表示，减少未知量，从而简化运算.

例4.（2012年全国高中数学联合竞赛一试A卷题6）.设/（x）是定义在R上的奇函数，且当

了20时，/（幻=/.若对任意的》6[4,。+2],不等式/。+。）227（为恒成立，则实数a

的取值范围是.

【答案】[&,+8）.

(x〉0)

【解析】由题设知，则/(尤)=4；一.因此2/(X)=/(7曝)，原不等式等价于

-x2(x<0)

/(x+a)2/(Jix).因为/(x)在H上是增函数，所以x+aN&x,即ai(0—l)x.又

x&[a,a+2],所以当x=a+2时，(&-l)x取得最大值为(、历一1)(。+2).因此，

a>(y/2-l)(a+2),解得a2J5.故。的取值范围是[血,+8).

点评：本题的意图主要是考查函数恒成立求参问题.本题函数是分段函数，由于函数自变量

范围含参，要代入函数表达式就需要分段讨论，而不等式左右两侧的讨论点不一样，使得分

类讨论非常困难，所以我们通过将不等式右侧函数2/(幻化为/(缶)，再利用单调性化简

不等式，直接避免了讨论，最后利用参数分离法求解.

例5.(2011年全国高中数学联合竞赛一试A卷题9)设函数/(x)=|lg(x+l)|,实数

<。)满足/(a)=,/(10a+6Z>+21)=41g2,求a,6的值.

Ib+2)

解：-⑷”-缁,|lg(a+1)H1g[-偿+1]1=1IgS+2)1，

a+l=b+2或(a+l)(b+2)=l,又<a<b,:.a+\W/?+2,/.(Q+1)9+2)=1.

又由f(a)=\lg(a+1)|有意义知0<a+1,从而0<a+1v人+1v〃+2,

于是0<a+lvlv/7+2.

所以(10a+6Z?+21)+l=10(a+l)+6S+2)=6(b+2)+-^->l.

b+2

从而/(10a+68+21)=|lg[6g+2)+2]|=lg[6(6+2)+£]