2024年中考数学几何模型归纳（全国通用）：17 全等与相似模型-对角互补模型（教师版）

专题17全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解模型1、旋转中的对角互补模型思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)B条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,∠AOB=∠DCE,·B条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠.的一边与BO的延长线交于点D,.6)“2a对180°-2a模型”结论：①PB+PC=√3PA;图2注意：①AP=BP,②∠A+∠B=180°,③OP平分∠AOB,7)“蝴蝶型对角互补模型”BC.团结论①正确.BC.团结论①正确.如图，过点E作EIBAD于点I,过点F作FGDAD于点G,过点F作FHZBC于点H,ADEF相交于点O.BEO≥EI(EFBAD时取等于)=FH=GD,OF≥GH(EFEAD时取等于)=AG.例2.(2022辽宁九年级期末模拟)已知AOB=90°,在团AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直B图1【详解】解：图②中OD+OE=√ZOC成立.有@CPD2ZCQE,EDP=EQ,EOP=OD+DP,0Q=OE-EQ,BOC为@AOB的角平分线，且CKBOA,CHZOB,ECK=CH,@CKD=2CHE=90°,点D作DB⊥MN于点B,连接CB.【详解】(1)解：如图1,过点C作CE⊥CB交MN于点E,【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,∠AOB=90,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=90,交OA于点D,OB于点E.(1)求证：CD=CE;(2)图1中，若OC=3,求OD+OE的长；(3)如图2,∠AOB=120°,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=60,交OA于点D,OB于点E.若OC=3,求四边形OECD的面积.图1图1求解；(2)根据全等三角形的性质得到OD+OE=2OH,然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；(3)过点C作CGBOA于G,CHEOB于H,然后根据题意利用AAS得到解决@OC平分∠AOBECG=CHD∠AOB=120°,∠DCE=60°BECDO+ZCE例5.(2022湖北省宜城市八年级期末)如图，已知@AOB=120°,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个(1)当aDCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当ODCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立?并说明理由；(3)当ODCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立?若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.【答案】(1)详见解析；(2)(1)中结论仍然成立，理由详见解析；(3)(1)中结论不成立，结论为OE-OD=OC,证明详见解析.【分析】(1)根据OM是BAOB的角平分线，可得AOB=60°,则;同理：;同理：同(2)的方法得到DF=EG,根据@CDEOA,RRODC=90°,RTOCD=30°,BROC,同理：,同理：B2OFC=2OGC=90°,BBAOB=120°,EBZDCE=60°,@FCG=60°,RRDCF=OECG,BECFDBRBOF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,BOF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,BOD+OE=B2OFC=2OGC=90°,EBAOB=120°,D2FCG=60°,B2OFC=2OGC=90°,EBAOB=120°,D2FCG=60°,BCFBOA,CGEOB,且点C是OAOB的平分线OM上一点，2CF=CG,BaDCE=60°,IFCG=60°,RRDCF=QECG,RECFDERCGZOF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,0OE-OD=OC.把DEDF绕点D旋转，使DEDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.(1)当DFDAC时，求证：BE=CF;(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)是，2.【答案】(1)证明见解析；(2)是，2.(2)过点D作DMOAB于M,作DN2AC于N,如图2,易证△MBDERNCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可BC=2.【详解】(1)ERABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判识，通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.例7.(2022山东省枣庄市一模)如图，已知∠AOB=60°,在∠AOB的角平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.(1)如图1,当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想OD+OE与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立?并说明理由；(3)如图3,当∠DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，求线段OD,OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.【分析】(1)先判断出BOCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出即可得出结论；(2)同(1)的方法得OF+OG=√3OC,再判断出ECFD2ECGE,得出DF=EG,最后等量代换即可得出结论；(3)同(2)的方法即可得出结论.【详解】解：(1)QOM是∠AOB的角平分线∴在Rt△OCD中，(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点∴CF=CGZEAOB=60°,BEFCG=120°,同(1)的方法得，,BOF+0G=√3oc,OCF=CG,RZDCE=120°,ZFCG=120°BBCFDEECGE,EDF=EG,QOF2OF+0G=EG-OD+OE-EG=OE-OD,【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.例8.(2022秋·福建厦门·九年级校考期中)如图，∠AOB=α(α是常量).点P在∠AOB的平分线上，且OP=2,以点P为顶点的∠MPN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，∠MPN的两边分别与OB,OA相【分析】如图作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,只要证明Rr₂PEO≌Rt。PF过点O作OH⊥BC,过点O作OH⊥BC,垂足为H,模型2.对角互补模型(相似模型)【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1)对角互补相似1辅助线：过点O作OD⊥AC,2)对角互补相似2垂足为D,辅助线：作法1:如图1,过点C作CF⊥OA,垂足为F,过点C作CG⊥OB,垂足为G;辅助线：作法2:如图2,过点C作CF⊥OC,交OB于F;3)对角互补相似3条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D作DE⊥BA,垂足为E,过点D作DF⊥BC,垂足为F;∠MPN=90°,点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F.当PE=2PF时，AP的值为().【分析】过P作PH2BC于H,PQAAB于Q,证明BAQPEZABC,得到设BQ=x,则AQ=3-x,PQ=2x,求出x值即可解决问题.BEPQEEEPHF,[,又PE=2PF,BPQ=2PH=2BQ,设BQ=x,则AQ=3-x,PQ=2x,②·【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判作射线CP//AB,D为射线CP上一点，E在边BC上(不与B,C重合)且∠DAE=45°,AC与DE交于点0.(1)求证：△ADC-△AEB;(2)求证：△ADE~△ACB;(3)如果CD=CE,求证：CD²=CO.CA.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】(1)根据题意先由等腰直角BABC得到aBAC=QB=45°,从而结合DAE=45°得到aDAC=BEAB,再由(2)根据题意由相似三角形的性质得到AD:AE=(2)证明：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，系得到三角形相似.板绕点D旋转，三角板的两边DE,DF分别与边AB,AC交于点M,N.【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中，当M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长.[问题解决]由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求【详解】[猜想证明]四边形AMDN是矩形，理由如下：如图1,∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，[问题解决]过点N作NG⊥CD于G,如图2:,【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up8(·),:)例4.(2023年江西省南昌市月考)如图，两个全等的四边形ABCD和OA'BC',其中四边形OA'B'C”的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点0.(1)如图1,若四边形ABCD和OA'B'C'都是正方形，则下列说法正确的有.(填序号).并证明.(3)类比拓展：如图3,若四边形ABCD和OA'BC'都是菱形，∠DAB=α,判断(1)中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论(可用α表示),并选取你所写结论中的一个说明理由.【详解】(1)如图，在图1中，过点O作OH⊥AB于点H,OG⊥AB于点G图2图3在=HOE和△GOF中-HIOF=₂GOF(ASA)=OE=Or故①正确(2)关系为证明如下：如图，在图2中，过点O作OH⊥AB于点H,OG⊥AB于点Gww如图，在图3中，过点O作OH⊥AB于点H,OG⊥AB于点G在=HOE和△GOF中·∴HOE≥₂GOF(ASA):OE例5.(2023.辽宁中考模拟)如图，在Rt=ABC中，AC=BC,BACB=90°,点O在线段AB上(点O不与点A,B重合),且OB=kOA,点M是AC延长线上的一点，作射线OM,将射线OM绕点O逆时针旋转90°,交射线CB于点N.(1)如图1,当k=1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；(2)如图2,当k>1时，判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示),并证明；(3)点P在射线BC上，若@BON=15°,PN=kAM(k≠1),且,请直接写出的值(用含k的式子表示).【答案】(1)OM=ON,见解析；(2)ON=k·OM,见解析；(3)【分析】(1)作OD2AM,OEBBC,证明EDOMEEEON;(2)作ODEAM,OEEBC,证明EDOMCEEON;(3)设AC=BC=a,解R@EON和斜OAOM,用含a,k的代数式分别表示NC,PN,再利用比例的性质可得答案.【详解】解：(1)OM=ON,如图1,作ODAM于D,OEBCB于E,EEADO=ZMDO=2CEO=EOEN=90°,EEDOE=90°,@OA=OB,@OD=OE,BADOE=90°,REZMON=90°,REEON+EMOE=90°,RO在RaDOM和RBEON中，(3)如图3,设AC=BC=a,8AB=√Za,,,【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作ODEAC,OEZBC;本题例6.(2023浙江中考二模)(1)特例感知：如图1,已知在RtABC中，@BAC=90°,AB=AC,取BC边上中点D,连接AD,点E为AB边上一点，连接DE,作DFBDE交AC于点F,求证：BE=AF;(2)探索发现：如图2,已知在Rt=ABC中，@BAC=90°,AB=AC=3,取BC边上中点D,连接AD,点(3)类比迁移：如图3,已知在·ABC中，@BAC=120°,AB=AC=4,取BC边上中点D,连接AD,点E为射线BA上一点(不与点A、点B重合),连接DE,将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F,当AE=4AF时，求AF的长.图3【答案】(1)见解析；(2)4;(3)【答案】(1)见解析；(2)4;(3)【分析】(1)证明@BDEBBADF(ASA),根据全等三角形的性质即可得到BE=AF;(2)方法同(1),利用全等三角形的性质解决问题；(3)证明BEBD2EDCF,推出设AF=m,则AE=4m,分三种情形，分别构建方程求解即可.【详解】(1)证明：如图1中，EDFEDE,D2EDF=2ADB=90°,E2BDE=2ADF=90°-@ADE,(2)解：如图2中，由(1)知，BD=CD=AD,BB=2C=aBAD=8CAD=45°,BZEDF=ZADB=90°,REBDE=BADF=90°+EADE,BEBDEERADF(ASA),BBE=AF,AB=3,AE=1,BBE=AB+AE=4,QAF=4;(3)解：如图3中，@AB=AC,BD=CD,QADBBC,BBD=CD=AB*sin60°=2√3,BAE=4AF,B可以假设AF=m,则AE=4m,BE=4-4m,CF=4-m,BEFDC=OBED,RRB=DC,RAEBD2&DCF,②或或(舍弃),经检验，是分式方程的解.(舍弃),经检验，是分式方程的解.或(舍弃),经检验，是分式方程的解.或综上所述，满足条件的AF的值为或或【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.课后专项训练【分析】可将@OBC绕着O点顺时针旋转90°,所得的图形与@OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将BOBC绕O点旋转90°,EOB=OAE点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3,ZCOD=90°,EOAD=ZOBC,的方法将两条线段化成一条线段，再求这条考虑CBZy轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可起到事半功倍的效果.2.(2023.广东九年级期中)如图，。ABC为等边三角形，以AB为边向外作△ABD,使∠ADB=120°,再∠E=∠BAC;④DC=DB+DA.其中正确的有().【答案】D【分析】①设∠1=x度，把∠2=(60-x)度，∠DBC=∠4=(x+60)度，∠3=60°加起来等于180度，即可证角形，求出∠BDC=∠E=60°,∠CDA=1③由②可知，∠BAC=60°,∠E=60°,从而得到∠E=∠BAC.④由旋转可知AE=BD,①设∠1=x度，则∠2=(60-x)度，∠DBC=(x+60)度，故∠4=(x+60)度，③∵∠BAC=60°,∠E=60°,∴∠E=∠BAC,④由旋转可知AE=BD,又∵∠DAE=180°,∴DE【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要不变量.别是AB,AD边上的点，且∠ECF=60,BE=2,CF与BD交于点G,则的值为.进而求得答案.团AD//BCH∠FDG=∠CBG,∠DFG=∠BCGDFG~BCG.∴:【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，4.(2023青岛版九年级月考)如图，在RtABC中，∠ACB=90,∠ABC=30,直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q,∠MON绕点O任意旋转.当的值为xx【答案】由相似三角形的性质就可以求出结论.;5.(2023·西城区校级期中)已知，如图，在四边形ABCD中，BC>BA,∠A+∠C=180°,DE⊥BC,BD【解答】证明：如图，过D作DF⊥AB,交BA的延长线于点F,∵∠BAD+∠C=180°,且∠6.(2023·阜新中考模拟)如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)如图1,点E,F在AB,AC上，且∠EDF=90°.求证：BE=AF;②当点M在点A,D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2,直接写出线段AM的长.【解答】解：(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°,(2)①如图1,过点M作MP⊥AM,交AB的延长线于点P,∴∠AMP=90°,②如图，在②如图，在Rt△ABD中，在Rt△BDM中，7、(2023.重庆九年级期中)已知：如图，在等边RABC中，点O是BC的中点，@DOE=120°,团DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D,与AC相交于点E.图1图2(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2,直接写出BD,CE与BC的数量关系是【解析】(1)证明：取AB的中点F,连接OF.(3)结论：2(CE-BD)=BC.理由如图2中，取AB的中点F,连接OF.8.(2022山西省吕梁市八年级期末)如图，已知∠DCE与∠AOB,OC平分∠AOB.(1)如图1,∠DCE图2(备用)试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由.理由如下：如图1,过点C作CF⊥OC,交OB于点F,则∠OCF=90°,…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.(3)若∠AOB=120,∠DCE=60°.否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5,∠DCE的一边与BO的延长线相交【分析】(1)通过ASA证明△CDO≌△CEF即可得到CD=CE;(2)过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别垂足分别为M,N,,方法二：以CO为一边作∠FCO=60°,交OB于点F,通过ASA证明△CDO≌△CEF,得到CD=CE,OD=EF,所以OE+OD=OE+EF=OF=OC;②图4:以OC为一边，作BOCF=60°与OB【详解】解：(1):OC平分∠AOB,∴∠1=∠2=45°,(2)如图2,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,O∠CMD=∠CNE=90°,又8OC平分∠AOB,@CM=CN,在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠1+∠2@OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM+EN=ON+OM.方法二：如图3(2),以CO为一边作∠FCO=60°,交OB于点F,@∠DCE=∠4+∠5=60°,∠FCO=∠6+BCD=CE,OD=EF.0OE+OD=OE+EF=OF=OC.B2AOB=120°,OC为BAOB的角平分线2COB=2COA=60°如图，以OC为一边，作@OCG=60°与OA交于G点【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.(1)如图1.连接BD,若∠BAD=90°,求证：AD=CD.(2)如图2,点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC;(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ,请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)【分析】(1)根据已知条件得出△BDC为直角三角形，再根据HL证出Rt₂BAD=Rt₂BCD,从而证出(2)如图2,延长DC到K,使得CK=AP,连接BK,通过证△BPAZEBCK(SAS)得到：21=02,BP=BK.然后(3)如图3,在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,构建全等三角形：△BPAZRBCK(SAS),由该四边形的内角和是360度可以推得：【详解】(1)证明：如图1,B∠ABC+∠ADC=180°,∠BAD=90°@∠BCD=如图3,在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,B∠ABP=∠CBK,BP=BKO∠PBK=∠ABC@PQ=AP+CQBPQ=QK【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.若∠A与∠C互补，则线段AD与CD有什么数量关系?探究二：若∠A≠90°,请借助图①,探究AD与CD的数量关系并说明理由.图①CD;[拓展]:见解析.探究二：作DF⊥BC于F,CD的数量关系是AD=CD,故答案为：AD=CD;[拓展]在BC上取一点E,使BE=BD,作DF⊥BA角BA的延长线于F,DG⊥BC于G,【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性(1)如图1,四边形ABCD中，AB=AD,∠B与ZD互补，BC=2CD=20,点A到BC边的距离为17,【答案】(1)255;(2)【答案】(1)255;(2)【分析】(1)连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,将ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得【详解】解：(1)如图，连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,将ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与B∠G=∠AHB=90°,AG=AH=1(2)如图，连接AD,AC,过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H.sc@BE=CD.即BE=CD=60-x.又@CD//AB,B∠DCH=∠ABC=60°.求二次函数的最大值，解决本题的关键是灵活运用相关性质定理.12.(2023山东中考模拟)如图，矩形ABCD中，@ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的(1)当PE&AB,PF2BC时，如图1,则的值为(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0⁰<a<60°)角，如图2,求的值；(3)在(2)的基础上继续旋转，当60°<a<90°,且使AP:PC=1:2时，如图3,的值是否变化?证明你的结论.(2)如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME2BPNF,并利用(1)的结论，求得的值；(3)如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APME2PCN,求得然后证明△PMEERPNF,从而由求得的值.与(1)(2)问相比较，的值发生了变化.@PEEAB,BCAAB,EPEZBC.BRAPE=B2PF&BC,ABBBC,BPF&AB.EBPAE=OCPF.,(2)如答图1,过点P作PMQAB于点M,PNGBC于点N,则PMaPN.答图1.由(1)知，..(3)变化.证明如下：如答图2,过点P作PMEAB于点M,PMEBC于点N,则PMaPN,PMEBC,PNOAB.OPMOPN,PEAPF,DDEPM=OFPN.又BEPME=EPNF=90°,BZPMEEEPNF..上的一点.过点D作射线DE⊥DF,分别交边AB、AC于点E、F.(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB、DF⊥AC时，如图1,(2)若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，(3)若改变点D到图3的位置，且时，求的值.图1图1图2图2【答案】(1)2;(2)2;(3)【分析】(1)由D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAC=90°,结合三角形的中位线的性质得到DE=2,DF=1,从而可得答案；(2)如图，过D作DK⊥AB于K,过D作DQ⊥AC于Q,结合(1)求解DK,DQ,再证明=KDE~QDF,利用相似三角形的性质可得答案；(3)过点D分别作DM⊥AB于点M,解DM,同法求解DN,从而可得答案.【详解】解：(1)∵D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAC=90°,故答案为：2故答案为：2(2)如图，过D作DK⊥AB于K,过D作DQ⊥AC于Q,∴∠DKE=∠DQF=90°,故答案为：2.(3)过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,@∠BAC=90°,@∠MDN=90°,@DE⊥DF,@∠MDE+∠EDF,【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.14.(2023·浙江台州·九年级校考阶段练习)【问题情境】如图①,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB中点，连结CD,点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F.易知BE与CF的数量关系A、C重合),将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F.【答案】问题情境：BE=CF;探索发现：成立，见解析；类比迁移：3-√3或-1+√7【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明△BDE≥△CDF即可得BE=CF;探索发现：与图①类似，证明△BDE=△CDF即可；类比迁移：根据等边三角形的性质得到2A=BB=60°,求得2BDF=BAED,设CE=x,则CF=2x,分两种情况讨论：点E在线段AC上，点E在AC的延长线上，证明AADE-BFD,根据相似三角形的性质即可得到结论.在△BDE和CDF中，探索发现：成立，理由：团在Rt△ABC中，D为AB中点，@CD=BD,☑∠DBE=180°-45°=135°,∠DCF=在△BDE和CDF中，BAC=BC=AB=4,2,∠A=∠B=60°团∠ADF是VBDF的外角，∠EDF=60°,@∠ADF=∠B+∠BFD解得x=3-√3,x₂=3+√3(大于4,不符合题意，舍去)当点E在线段AC的延长线时，如图：设CE=x,则CF=2CE=2x,AE=AC+CE=4+x,BF=BC-CF=4-2x【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键.15.(2023广东中考模拟)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1,在等邻角四边形ABCD中，DDAB=OABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2,在RtāABC与RtZABD中，BC=aD=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtDABD绕着点A顺时针旋转角α(0⁰<Ba<QBAC)得到RtGAB'D'(如图3),当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面【答案】(1)矩形或正方形；(2)AC=BD,理由见解析；(3)或(2)AC=BD,理由为：连接PD,PC,如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对【详解】(1)矩形或正方形；(2)AC=BD,理由为：连接PD,PC,如图1所示：(3)分两种情况考虑：(i)当OAD'B=ZD'BC时，延长AD',CB交于点E,如图3(i)所示，【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题.分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题.16.(2023年成都市中考模拟)(1)如图，Rt=ABC中，8A=90°,AB=AC,D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且aEDF=90°.求证：DE=DF;(2)如图2,RtABC中，@BAC=90°,AC=4,AB=【分析】(1)连接AD,根据等腰三角形的性质可得ZADE=QBDF,从而得到EBDFERADE,即可求证；②连接EF,根据勾股定理可得BC=5,根据三角形的面积可得,从而得到再可得到当DE最小时，EF取最小值，即可求解.【详解】证明：(1)如图1,连接AD,图2@AB=AC,@BAC=90°,BD=CD,@ADaBC,AD=B2EADB=8EDF=90°,EEADB-@ADF=OEDF-OADF,即@ADE=OBDF,(2)①证明：@ADZBC,RADB=90°,RBADB=DEDF,RFBAD+aDAE=90°,GBAD+CB=90°,QEBDFEEADE,@BDF·DA=DB·DE;B2B=BB,AADB=ZCAB=90°,,BZEDF=OCAB=90°,GZEDFERCAB,即,BEF的最小值为：熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键.点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且@PDQ=90°.备用图【答案】(1)【答案】(1)CQ=4;(2)当BP=2时，或【分析】(1)首先证明DQBAB,根据平行线等分线段定理即可解决问题.(2)分两种情形①当点P在线段AB上时，②当点P在AB的延长线上时，作DMQAB,DNBAC,垂足分别为M、N,由EPDMEEQDN,分别求得PQ和DN,即可求解.【详解】(1)如图1中，QDPZAB,EBAC=90°,DQEDP,RDQEAB,ZBD=DC,ECQ=AQ=4;(2)①如图2中，当点P在线段AB上时，作DMEAB,DNZAC,垂足分别