新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点3经验回归方程教师用书

核心考点3经验回归方程核心知识·精归纳1．相关系数：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)).2．经验回归方程：将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为y关于x的经验回归方程，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))称为样本中心．典例研析·悟方法典例1(2023·济南模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情．某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y(单位：百人)的数据．天数代码x1234567滑雪人数y/百人11131615202123(1)根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明(保留两位有效数字)；(2)经过测算，若一天中滑雪人数超过3000人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的经验回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利．附注：参考数据：eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝532，eq\r(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)≈57.5.参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)vi－\o(v,\s\up6(－))2)).【解析】(1)因为eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝17，所以eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,x)iyi－eq\i\su(i＝1,7,)eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝532－7×4×17＝56，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))≈eq\f(56,57.5)≈0.97，因为样本相关系数|r|接近于1，所以可以推断x和y这两个变量线性相关，且相关程度很强．(2)因为eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋…＋(7－4)2＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(56,28)＝2，因为eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝17－2×4＝9，所以经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9，因为一天中滑雪人数超过3000人时，当天滑雪场可实现盈利，即2x＋9>30时，可实现盈利，解得x>10.5，所以根据经验回归方程预测，该滑雪场开业的第11天开始盈利．方法技巧·精提炼求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线必经过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))快速解决．(2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi的值；③计算回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))；④写出回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).加固训练·促提高(2023·吕梁三模)数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位：十亿元)，其中年份2018—2022对应的代码分别为1～5.年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型y＝a·bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程(a，b的值精确到0.1)；(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把b－1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：eq\o(v,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,5,x)ivie0.524e0.4721.9433.821.71.6其中vi＝lnyi，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,v)i.参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝v－eq\o(β,\s\up6(^))u.【解析】(1)因为y＝a·bx，所以两边同时取常用对数，得lny＝lna＋xlnb，设v＝lny，所以v＝lna＋xlnb，设α＝lna，β＝lnb，因为eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(v,\s\up6(－))＝1.94，所以eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)ivi－5\o(x,\s\up6(－))·\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(33.82－5×3×1.94,55－5×32)＝0.472，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1.94－0.472×3＝0.524，所以lneq\o(a,\s\up6(^))＝0.524，lneq\o(b,\s\up6(^))＝0.472，所以eq\o(a,\s\u