河南省天一大联考2022-2023学年高三上学期1月期末联考理科数学试题（含解析）

绝密★启用前河南省天一大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知在复平面内，复数所对应的点分别为，则（）A.B.C.D.3.已知向量，若，则（）A.B.1C.D.4.为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（）A.B.24C.D.5.已知在正方体中，交于点，则（）A.平面B.平面C.平面D.5.为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即.记，则（）012345678910124816326412825651210241112192021222324252048409652428810485762097152419430483886081677721633554432A.B.C.D.6.已知点，若在直线上存在点，使得，则（）A.B.C.D.8.已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.9.若，则的大小关系不可能为（）A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为，过点的两条直线分别与抛物线交于点和，且点在轴的上方，则直线在轴上的截距之积为（）A.4B.3C.2D.1

11.已知正四棱锥的外接球半径为，底面边长为.若垂直于过点的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（）A.B.C.D.12.已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为__________.14.已知函数，若与的图象的对称轴相同，则的一个值为__________.15.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为.现移动边，使得点分别在轴､轴的正半轴上运动，则（点为坐标原点）的最大值为__________.16.已知，函数在其定义域上单调递减，则实数__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和为，求满足不等式的的值.18.（12分）如图所示，四棱锥的底面为矩形，且平面为等腰直角三角形，是线段上靠近的四等分点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（12分）近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示.第年12345从业人数（万人）58111115（1）若与线性相关，求与之间的回归直线方程；（2）若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进人电商行业的概率分别为，且他们是否进人电商行业相互独立.记这4人中最终进人电商行业的人数为，求的分布列以及数学期望.参考公式：在线性回归方程中，.20.（12分）已知函数.（1）设函数，判断的单调性；（2）若当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.21.（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率存在且不为0，点在轴上的射影分别为，且三点共线，求证：与的面积相同.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）记为直线与曲线的一个交点，其中，求的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，使得成立，求实数的取值范围.

河南省天一大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试理科数学•答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.答案B命题意图本题考查函数的定义域及集合的运算.解析依题意，，则.2.答案A命题意图本题考查复数的几何意义､复数的四则运算.解析依题意，.3.答案D命题意图本题考查平面向量的数量积及其应用.解析依题意，，故，则.4.答案C命题意图本题考查样本的数字特征､频率分布直方图.解析依题意，，解得，故前3块小矩形的面积分别为，，则所求中位数为.5.答案C命题意图本题考查空间线面的位置关系.解析作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的.6.答案B命题意图本题考查对数的运算､数学文化.解析因为，故，，则，则，而，故，故选B.7.答案C命题意图本题考查双曲线的定义与性质.解析由题可知点在双曲线的下支上，故直线与曲线有交点.而曲线的渐近线为，直线，故，即.8.答案B命题意图本题考查基本不等式.解析依题意，.而，当且仅当，即时前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为.9.答案B命题意图本题考查函数的图象与性质.解析令函数，在同一直角坐标系中分别作出的大致图象，如图所示，观察可知，可能有（的图象为时）､（的图象为时）（的图象为时），故选B.10.答案D命题意图本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题.解析由题可知.设直线的方程为，联立可得，则根据根与系数的关系可设，同理可设，则直线的斜率，直线的方程为，令，得，即直线在轴上的截距为.同理可得，直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距之积为1.11.答案A命题意图本题考查空间几何体的表面积与体积.解析设正四棱锥的高为，其外接球的半径为.因为，解得或.当时，，不符合题意；当时，，所以为等边三角形.取的中点，连接，则，且.设平面直线，平面直线，则.在中，由余弦定理可得，所以.在中，，故，故.在四边形中，，故.12.答案A命题意图本题考查正余弦定理､三角形的面积公式及导数的应用.解析记角所对的边分别为.因为，所以由正弦定理可得..令，则，令，则，故当时，，当时，，故，故，则实数的取值范围为.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案121命题意图本题考查二项式定理.解析，故所求的系数为.14.答案（其他符合条件的答案也给分）命题意图本题考查三角函数的图象与性质.解析因为与的图象的对称轴相同，所以，故，因为，故15.答案命题意图本题考查数学文化.解析如图，取的中点，因为为直角三角形，故.由于为直角三角形，故，显然，当且仅当三点共线时等号成立，故的最大值为.16.答案2命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析依题意，，故对任意的恒成立.设，则，由知，当时，，当时，在上单调递增，在上单调递减，在时取得最大值.又对任意的恒成立，即的最大值为，解得.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题意图本题考查等差数列的通项公式､错位相减法､数列的性质.解析（1）设等差数列的公差为，则解得，.故.（2）依题意，，故，则，两式相减可得，解得.故可转化为.令，则，故，即单调递减.注意到，所以满足条件的的值为1，2.18.命题意图本题考查空间面面的位置关系､向量法求空间角.解析（1）因为平面平面，所以.因为，所以.所以RtRt，所以，所以，即.又，所以平面.因为平面，故平面平面.（2）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，所以.设平面的法向量为，则令，则..记直线与平面所成的角为，则.19.命题意图本题考查回归直线方程､离散型随机变量的分布列及数学期望.解析（1）依题意，，而，故，故所求回归直线方程为.（2）依题意，的所有可能取值为.，，，，，所以的分布列为01234故.20.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析（1）由题可知，则，故当时，，当时，，当时，，故在和上单调递减，在上单调递增.（2）依题意，当时，恒成立.令，则.令，则.令，则，故在上单调递增，则，故在上单调递增，则.当时，，此时单调递增，从而，满足题意.当时，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号.所以，从而.又在上单调递增，故存在唯一的实数，使得，且当时，单调递减，所以当时，，不合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为.21.命题意图本题考查椭圆的方程､直线与椭圆的综合性问题.解析（1）设椭圆的半焦距为.依题意，，故①.联立解得，故②.联立①②，解得，故椭圆的方程为.（2）易知椭圆的右焦点为.设直线的方程为.由得，设，则.因为轴，所以.直线的方程为，所以.因为轴，所以.因为，所以，所以三点共线.因为，所以，而，所以与的面积相同.22.命题意图本题考查参数方程､极坐标方程､普通方程､直角坐标