2024届苏教版高三下学期质量调研考试（一模）数学试题

2024届苏教版高三下学期质量调研考试（一模）数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A． B． C． D．2．已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）A．-1 B．1 C．0 D．23．已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）A．2 B． C． D．35．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）A． B．C．6 D．6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.17．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C． D．8．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）A． B． C． D．10．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．11．函数（），当时，的值域为，则的范围为（）A． B． C． D．12．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在平面四边形ABCD中，|AC|=3,|BD|=4，则(AB14．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.16．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.18．（12分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.19．（12分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列，，.(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若，求数列的前n项和，并求证：.20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.22．（10分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若函数，求证：恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【题目详解】.故选:D.【题目点拨】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.2、B【解题分析】

化简得到z=a-1+a+1【题目详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数，故a-1=0故选：B.【题目点拨】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.3、C【解题分析】

先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【题目详解】直线，，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【题目点拨】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4、A【解题分析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.详解：由①得到，，故①无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.5、D【解题分析】

先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.【题目详解】由题意，则，，得，由定义知，故选:D.【题目点拨】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.6、A【解题分析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【题目详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【题目点拨】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.7、A【解题分析】

由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案．【题目详解】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选A．【题目点拨】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．8、C【解题分析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【题目详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.9、C【解题分析】

将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解.【题目详解】将四面体沿着劈开，展开后如下图所示：最短路径就是的边．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故选：C【题目点拨】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.10、B【解题分析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【题目详解】由已知，，所以，解得.故选：B【题目点拨】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.11、B【解题分析】

首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.【题目详解】因为，所以，若值域为，所以只需，∴.故选：B【题目点拨】本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.12、A【解题分析】，故，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-7【解题分析】

由题意得AB+【题目详解】由题意得ABBC+∴AB+【题目点拨】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用AC,14、【解题分析】

由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．【题目详解】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.【题目点拨】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、【解题分析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【题目详解】因为，所以，又故切线方程为，整理为，故答案为：【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.16、【解题分析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【题目详解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）点在以为直径的圆上【解题分析】

（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．【题目详解】（1）由题意可知，，解得，椭圆的标准方程为：.（2）设点，，则，，直线的斜率为，直线的方程为：，令得，，点的坐标为，，点的坐标为，，，，又点，在椭圆上，，，，点在以为直径的圆上．【题目点拨】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．18、（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析【解题分析】

（1）由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判断动点P的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；（2）设出点P的坐标，再表示出点N和Q的坐标，根据题意求出的值，即可判断结果是否成立．【题目详解】（1）由题知，，所以，因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，又知，，所以曲线的标准方程为.又由题知，所以，所以，又因为点在抛物线上，所以，所以抛物线的标准方程为.（2）设，，由题知，所以，即，所以，又因为，，所以，所以为定值，且定值为1.【题目点拨】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．19、（1），；（2）详见解析.【解题分析】

（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，显然数列是递增数列，∴，即.）20、见解析【解题分析】

（1）因为，，成等差数列，所以，由余弦定理可得，因为，所以，即，所以．（2）若B为直角，则，，由及正弦定理可得，所以，即，上式两边同时平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，与（*）矛盾，所以不存在满足为直角．21、（1）（2）【解题分析】

（1）零点分段法，分，，讨论即可；（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.【题目详解】解：（1）若时，，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，综上述：不等式的解集为