2024届湖北省襄阳市东风中学高三年级下学期第一次模拟考试数学试题

2024届湖北省襄阳市东风中学高三年级下学期第一次模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．已知，则（）A． B． C． D．3．已知函数，若，则的值等于（）A． B． C． D．4．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．∅5．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．7．已知函数，下列结论不正确的是（）A．的图像关于点中心对称 B．既是奇函数，又是周期函数C．的图像关于直线对称 D．的最大值是8．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④9．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A． B． C． D．10．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．311．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数过定点________.14．设等比数列的前项和为，若，，则__________．15．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10116．的展开式中的系数为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值.18．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.19．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为的前n项和，求证：.22．（10分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（1）证明:点在轴的右侧;（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【题目点拨】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.2、D【解题分析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【题目详解】因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，，所以，，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，，所以，故选D.【题目点拨】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3、B【解题分析】

由函数的奇偶性可得，【题目详解】∵其中为奇函数，也为奇函数∴也为奇函数∴故选：B【题目点拨】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数4、B【解题分析】试题分析：由集合A中的函数y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函数考点：交集及其运算．5、B【解题分析】

转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【题目详解】由，可知．设，则，所以函数在上单调递增，所以．所以．故的取值范围是．故选：B【题目点拨】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、B【解题分析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．7、D【解题分析】

通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．【题目详解】解：，正确；，为奇函数，周期函数，正确；，正确；D：，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；且，，，故D错误．故选：．【题目点拨】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．8、B【解题分析】

利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.【题目详解】，解得（当且仅当时取等号），则②正确；将和联立，解得，即圆与曲线C相切于点，，，，则①和③都错误；由，得④正确.故选：B.【题目点拨】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.9、B【解题分析】

由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．【题目详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，由于，，∴，∴，，∴点坐标为，代入抛物线方程得，，∴，．故选：B.【题目点拨】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．10、A【解题分析】

由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【题目详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【题目点拨】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11、A【解题分析】

设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解.【题目详解】设，由得：，即，由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限.故选：A.【题目点拨】本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.12、B【解题分析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：

直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，

∴几何体的体积，故选B.点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

令，，与参数无关，即可得到定点.【题目详解】由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关，所有过定点.故答案为：【题目点拨】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.14、【解题分析】

由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解．【题目详解】由题意，设等比数列的公比为，因为，即，解得，，所以.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．15、【解题分析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.【题目详解】由题意可知，解得（舍去）或.则，则，由方差的计算性质得.【题目点拨】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、80.【解题分析】

只需找到展开式中的项的系数即可.【题目详解】展开式的通项为，令，则，故的展开式中的系数为80.故答案为：80.【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）：，直线：；（2）．【解题分析】

（1）由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；（2）由极径的定义可直接把代入曲线和直线的极坐标方程，求出极径，把比值化为的三角函数，从而可得最大值、【题目详解】（1）消去参数可得曲线的普通方程是，即，代入得，即，∴曲线的极坐标方程是；由，化为直角坐标方程为．（2）设，则，，，当时，取得最大值为．【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式可轻松自如进行极坐标方程与直角坐标方程的互化．18、（1）点M的极坐标为或（2）【解题分析】

（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【题目详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，∵∴或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.【题目点拨】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.19、（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）【解题分析】

（1）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与6.635的大小得结论；（2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是，则，根据二项分布的期望公式计算可得；【题目详解】解：（1）由题意可得：城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则，所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以随机变量的期望为.【题目点拨】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．20、（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解题分析】

详解：（Ⅰ）当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为，所以.由题意知对，，即，因为，所以，解得.【题目点拨】⑴绝对值不等式解法的基本思路