山南市重点中学2024届高三下学期5月考数学试题试卷

山南市重点中学2024届高三下学期5月考数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A． B． C． D．2．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A．4 B．5 C．6 D．73．已知，则不等式的解集是（）A． B． C． D．4．已知向量与的夹角为，，，则()A． B．0 C．0或 D．5．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A． B． C． D．7．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（）A． B． C． D．9．的展开式中，含项的系数为（）A． B． C． D．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．11．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差12．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则满足的的取值范围为________.14．函数的定义域为_____________.15．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.16．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，若的解集为．（1）求的值；（2）若正实数，，满足，求证：．18．（12分）已知.（1）解关于x的不等式：；（2）若的最小值为M，且，求证：.19．（12分）已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）若在上单调递增，且求c的最大值.20．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.（1）求的值及圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.21．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知数列满足，，其前n项和为.（1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【题目详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【题目点拨】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.2、B【解题分析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i＜5时退出，故选B．3、A【解题分析】

构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.【题目详解】构造函数，是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.不等式等价于，等价于，注意到，结合图像关于对称和单调递增可知.所以不等式的解集是.故选：A【题目点拨】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.4、B【解题分析】

由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出.【题目详解】由向量与的夹角为，得，所以，又，，，，所以，解得.故选：B【题目点拨】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.5、A【解题分析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.6、B【解题分析】

根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.【题目详解】，.运行第一次，，不成立，运行第二次，，不成立，运行第三次，，不成立，运行第四次，，不成立，运行第五次，，成立，输出i的值为11，结束.故选：B.【题目点拨】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.7、B【解题分析】

根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【题目详解】函数则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即故答案为：B.【题目点拨】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.8、D【解题分析】

由题知，又，代入计算可得.【题目详解】由题知，又.故选：D【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.9、B【解题分析】

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含项的系数．【题目详解】的展开式通项为，令，得，可得含项的系数为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10、B【解题分析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【题目详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【题目点拨】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．11、D【解题分析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【题目详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【题目点拨】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.12、A【解题分析】

根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【题目详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，，此为球的半径，.故选：A.【题目点拨】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【题目详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.14、【解题分析】

由题意可得，，解不等式可求．【题目详解】解：由题意可得，，解可得，，故答案为．【题目点拨】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．15、【解题分析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．【题目详解】解：双曲线：双曲线中，，，则双曲线的一条准线方程为，双曲线的渐近线方程为：，可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，，则三角形的面积为．故答案为：【题目点拨】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．16、【解题分析】

由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.【题目详解】解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为所以.故答案为:.【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对的两个值进行取舍.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见详解.【解题分析】

（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式证明.【题目详解】解：（1），，，因为的解集为，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，当且仅当，，，等号成立．【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.18、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；（2）由（1）中所得函数，求得最小值，再利用均值不等式即可证明.【题目详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立，当时，等价于，该不等式解集为，当时，等价于，解得，综上，或，所以不等式的解集为.（2），易得的最小值为1，即因为，，，所以，，，所以，当且仅当时等号成立.【题目点拨】本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.19、（1）见解析（2）2【解题分析】

（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【题目详解】（1）当时,,定义域为,由可得,令,则,由,得；由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,；当时,,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,①若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立；②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；③若,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.【题目点拨】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.20、（1）2，；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）由题意得的方程为，根据为抛物线过焦点的弦，以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性，可得，圆心为，半径为2.（2）设，的方程为，代入的方程，得，根据直线与抛物线相切，令，得，代入，解得.将代入的方程，得，得到点N的坐标为，然后求解.【题目详解】（1）解：由题意得的方程为，所以，解得.又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为，半径为2.所以圆的方程为.（2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，设，的方程为，代入的方程，得.令，得，所以，解得.将代入的方程，得，即点N的坐标为，所以，，故.【题目点拨】本题主要考查抛物线的定义