江西省宁冈重点中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷（含答案）

-2024学年井冈山市宁冈重点中学高二（上）期末数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知向量a→=（0，2，1），b→=（﹣1，1，m），若a→，b→分别是平面α，β的法向量，且A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．（5分）已知直线的倾斜角为5π6A．33 B．−3 C．−33．（5分）双曲线x2−y2b2=1（b＞0）的一条渐近线截圆x2+yA．23 B．2 C．3 D．34．（5分）在等比数列{an}中，a4a6＝24，则a5＝（）A．32 B．±32 C．265．（5分）设椭圆C1：x2a2+y22=1(a＞0且a≠2)，双曲线C2：A．3 B．322 C．2 6．（5分）“m＝3”是“椭圆x24+yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）在正四面体ABCD中，P，Q分别为棱AB，CD中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M是EF中点，且满足|PE→−A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线8．（5分）双曲线x2A．(−7，0) B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）下列关于空间向量的说法中正确的是（）A．若a→是直线l的方向向量，则λa→(λ∈R)B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示（多选）10．（5分）已知曲线C的方程为x2A．当k＝5时，曲线C是半径为2的圆 B．存在实数k，使得曲线C的离心率为2的双曲线 C．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±1D．“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件（多选）11．（5分）数列{an}满足an2n−13−an−12n−15=2(n≥2)，a1＝66，SA．a5是数列{an}的最小项 B．{an﹣an﹣1}是等差数列 C．a3＝12 D．对于两个正整数m、n（n＞m），Sn﹣Sm的最小值为﹣10（多选）12．（5分）如图，已知在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，下列结论中正确的是（）A．C1D1∥平面CHD B．AC1⊥平面BDA1 C．直线EF与直线BC1相交 D．直线EF与直线BC1所成的角为30°三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）直线l：y＝﹣x+1的倾斜角为，经过点（1，3）且与直线l垂直的直线的斜截式方程为．14．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=23an+n−43，则数列{an}的通项公式为an15．（5分）已知向量a→=(1，12，2)，b→=(2，−1，k)，且16．（5分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝1，过原点作圆C的弦OP，则OP的中点Q的轨迹方程为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）作出以下图形：（1）如图1，已知向量a→，b→，c→（2）如图2，已知向量a→，b→，c→18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足|PO|=2（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．19．（12分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）求a2+a4+a6+a8+⋯+a2n的和Tn．20．（12分）当实数x为何值时，向量a→=（2，3）与b→=（21．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，2（Sn﹣n+2）＝an+1，a2＝10，bn＝an﹣1．（1）求证：{bn}是等比数列；（2）设cn=bn，n为奇数1log3bn⋅lo22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．【解答】解：∵向量a→=（0，2，1），b→=（a→，b→分别是平面α，β的法向量，且α⊥∴a→⋅b解得m＝﹣2．故选：C．2．【解答】解：直线的倾斜角为5π6则直线的斜率为tan5π故选：C．3．【解答】解：由题意知圆的方程为x2+（y﹣2）2＝22，双曲线的一条渐近线方程为y=ba∵实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，可知劣弧的圆心角为120°，圆心到渐近线的距离为：1．∴1=2aa2+b2，故选：B．4．【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，有（a5）2＝a4a6＝24，解可得a5＝±26．故选：D．5．【解答】解：由e2＝2e1，得e2由双曲线C2：x当a2＞2时，有43=4⋅a当2＞a2时，有43=4⋅2−故a的所有可能取值的乘积为3×故选：C．6．【解答】解：由“m＝3”可得椭圆的焦点在x轴上，则椭圆x24+y2m=1的离心率e=ca=1−m4而椭圆x24+y2m=1当焦点在y轴时，则e=ca=1−4m=12，可得m＝16，所以“m＝3故选：A．7．【解答】解：由题意作图如下，取各边中点连接成GHKN，在正四面体中，易得AB⊥CD，故四边形GHKN为正方形，由对称性可知PQ中点O，与EF中点M，均在平面GHKN上，OM→则2OM→=故4|OM→|2=故选：A．8．【解答】解：由题设，c=16+9=5，故左焦点的坐标为（故选：D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．【解答】解：当λ＝0时，λa→=由确定直线的条件可知，B正确；根据空间向量基本定理可知，C正确；由空间向量的坐标定义和空间点的坐标定义可知，D正确．故选：BCD．10．【解答】解：当k＝5时，曲线C为x2+y2＝4，曲线C为圆，半径为2，A正确；使得曲线C为离心率为2的双曲线，可得9﹣k＝﹣（k﹣1），方程无解，B不正确；当k＝0时，曲线C为x29−y21＜k＜5时，曲线C为椭圆，焦点坐标在x轴上，5＜k＜9，曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆，所以“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”可知“k＞1”，反之不成立，所以“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，D正确．故选：ACD．11．【解答】解：由an2n−13−又a1＝66，则a12×1−13=∴an=(2n−8)(2n−13)=4n2−42n+104=4(n−当n＝5时，an取得最小值，故A正确；a3＝14，故C不正确；an+1﹣an﹣（an﹣an﹣1）＝an+1+an﹣1﹣2an＝（2n﹣6）（2n﹣11）+（2n﹣10）（2n﹣15）﹣2（2n﹣8）（2n﹣13）＝8，是常数，故B正确；对于两个正整数m、n（n＞m），Sn﹣Sm＝am+1+am+2+…+an，由a1＞a2＞a3＞a4＝0＞a5＝﹣6＜a6＝﹣4＜a7＝6＜a8＜…，故Sn﹣Sm的最小值为﹣10，故D正确．故选：ABD．12．【解答】解：由题意，C1D1∥CD，C1D1⊄平面CHD，CD⊂平面CHD，所以D1C1∥平面CHD，故A正确；建立空间直角坐标系，如图所示；由AB＝1，则A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），则AC1→=（﹣1，1，1），BD→=（所以AC1→•BD→=1﹣所以AC1→⊥BD→，所以AC1⊥平面BDA1，故B正确；E（1，12，0），F（0，0，1所以EF→=（﹣1，−1因为BC1→=（﹣1，0，1），AC所以DA1→•BC1所以DA1→为平面EF→•DA1→=−1+12=−所以EF与直线BC1不相交，故C错误；cos＜EF→，所以EF→与BC1→所成的角是30故选：ABD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【解答】解：根据题意，对于直线l：y＝﹣x+1，且斜率k＝﹣1，设其倾斜角为α，则tanα＝﹣1，又由0°≤α＜180°，则α＝135°，设经过点（1，3）且与直线l垂直的直线的方程为y＝x+b，将点（1，3）代入可得3＝1+b，则b＝2，故要求直线方程为y＝x+2，故答案为：135°，y＝x+2．14．【解答】解：已知Sn=23an+n−43，令n＝1，则S1＝a1=23a当n≥2时，Sn﹣1=2两式相减，得an=23an−23an﹣1+1，即an﹣1＝﹣2（an﹣1﹣所以数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为﹣2的等比数列，所以an﹣1＝（﹣2）n，所以an＝（﹣2）n+1．an+1an当n为偶数时，an+1an=−2+32当n为奇数时，an+1an=−2+3−综上，可得an+1an的取值范围为[﹣5，﹣2）∪（﹣故答案为：（﹣2）n+1；[﹣5，﹣2）∪（﹣2，−715．【解答】解：因为a→与b所以a→⋅b故答案为：−316．【解答】解：设Q（x，y）（y≠0），则P（2x，2y），代入圆C：x2+（y﹣1）2＝1，可得4x2+（2y﹣1）2＝1，∴点Q的轨迹方程为x2+（y−12）2=14故答案为：x2+（y−12）2=14四．解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）如图，作OA→=a（2）如图，作OA→=a→，OB→18．【解答】解（Ⅰ）设P（x，y），∵点A的坐标为（1，1），则由|PO|=2|PA|，得∴动点P的轨迹C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣6＝k（x﹣4），即kx﹣y+6﹣4k＝0，∵直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，∴圆心C（2，2）到l的距离d=2=|2k−2+6−4k|当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝4，显然满足条件，∴l的方程为x＝4或3x﹣4y+12＝0．19．【解答】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），①，当n≥2时，an＝2Sn﹣1，②，①﹣②得：an+1＝3an，数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列；所以an所以a2＝2，a3＝6，a4＝18．（Ⅱ）由于数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列；所以an故an（Ⅲ）由于数列偶数项是以2为首项，9为公比的等比数列；所以Tn＝a2+a4+...+a2n﹣2+a2n=2×(20．【解答】解：向量a→=（2，3）与b→=（则3x＝2×（﹣6），解得x＝﹣4．21．【解答】（1）证明：对任意的n∈N*，2Sn＝an+1+2n﹣4，当n＝1时，则有2a1＝a2﹣2＝8，解得a1＝4，当n≥2时，由2Sn＝an+1+2n﹣4可得2Sn﹣1＝an+2n﹣6，上述两个等式作差得2an＝an+1﹣an+2，所以，an+1＝3an﹣2，则an+1﹣1＝3（an﹣1），所以，bn+1＝3bn且b1＝a1﹣1＝3，所以，数列{bn}是等比数列，且首项和公比均为3；（2）解：由（1）可知bn所以c所以，T=(3+3=3−=322．【解答】解：（1）设椭圆的