北京市2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷（含答案）

—2024学年第一学期北京市九年级数学期末模拟试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2．二次函数的图像是由二次函数的图像（）变换得到的．A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位3．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A． B． C． D．4．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（）A． B． C． D．如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．75°如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（）米．A．45 B．60 C．75 D．90如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时与相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒8.如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题2分，共16分）9.若，则的值为．10.一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有个黄球．11．如果抛物线的对称轴是，那么．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为cm2（结果保留π）．如图，在中，，，是边上的中线，则的值是．如图，输电塔高．在远离高压输电塔的处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为．已知测角仪高，则．15．如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为．如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到，点在上，交于点．如下结论中：①平分；②；③；④．所有正确结论的序号是．解答题（本大题共11个题，总分68分）17．解一元二次方程：(1)(2)18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB（

）在⊙O中，∵AB为直径，∴∠ACB=90°（

）又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC（

），∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．19．已知关于的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．21．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；(2)补全条形统计图；(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．22．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．23.如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）如果，，求的长．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：是⊙O的切线；（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．

25．在平面直角坐标系中，抛物线．(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；(2)若为抛物线上两个不同的点．①当时，，求a的值；②若对于，都有，求a的取值范围．26.如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，）（1）求车座到地面的高度（结果精确到）；（2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到）27．（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．2023—2024学年第一学期北京市九年级数学期末模拟试卷解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可进行解答．【详解】解：A、既轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；故选：A．2．二次函数的图像是由二次函数的图像（）变换得到的．A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位【答案】C【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：抛物线向右平移1个单位，得：；再向下平移2个单位，得：．故选：C．3．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】列举出所有情况，看能配成一副的情况数占所有情况数的多少即可．【详解】设其中一副手套分别为a，a'；另一副手套分别为b，b'．共有12种情况，能配成一副的有4种情况，所以刚好是一副的概率是．故选：B．4．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．【详解】解：∵⊙O的直径垂直于弦，∴∵，，∴CE=1∴CD=2．故选：C．5.如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．75°【答案】B【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．【详解】解：，，，由旋转得，，，，，故选：B．6.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（）米．A．45 B．60 C．75 D．90【答案】B【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可．【详解】解：∵∴米∵∴米∴米故选B．7.如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时与相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒【答案】C【分析】设经过秒时,与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时,,即当时,,即然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过秒时,与相似,则,当时,,即解得：当时,,即解得：综上所述：经过或秒时,与相似故选：C8.如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴，∵对称轴为，∴，∴，故①正确；∵抛物线的对称轴为，∴，∴，故②正确；∵函数与直线有两个交点．∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵时，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，故④正确，故选：D二、填空题（每小题2分，共16分）9.若，则的值为．【答案】【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵∴，∴．故答案为．10.一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有个黄球．【答案】15【分析】通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4，即红球占总数的0.4，列方程求解即可．【详解】解：设有黄球x个，由题意得，，解得，，经检验，是原方程的解，故答案为：1511．如果抛物线的对称轴是，那么．【答案】4【分析】根据二次函数的对称轴，整理即可求解．【详解】抛物线的对称轴为直线，故答案为：4．12.如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为cm2（结果保留π）．【答案】27π【分析】首先求得扇形的半径长，然后求得扇形的面积即可．【详解】解：设cm的长为6πcm，解得：cm圆锥的侧面积为cm2故答案为：27π．13.如图，在中，，，是边上的中线，则的值是．【答案】2【分析】由题意，得到，则，结合角的正切值，即可得到答案．【详解】解：∵是边上的中线，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴；故答案为：2．14.如图，输电塔高．在远离高压输电塔的处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为．已知测角仪高，则．【答案】【分析】作交BE于点C，根据题意可知AC长，并可求出BC长，由，求出结果即可．【详解】如图，作交BE于点C，根据题意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，∴．故答案为：．15．如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为．【答案】3＋2/【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF，AF即可求解．【详解】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，∵＝，AB＝10，∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，∵AE⊥BC，BC=12，∴BE=CE=6，

∴，∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE∽△CDF，∴，∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，∴，解得：DF=3，CF=4，在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，则，∴AD=DF+AF=3＋2，故答案为：3＋2．16.如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到，点在上，交于点．如下结论中：①平分；②；③；④．所有正确结论的序号是．【答案】①②③【分析】由旋转性质得AD=AC，∠ADE=∠C，利用AD=AC得到∠ADC=∠C，即可推出∠ADC=∠ADE，判断①正确；根据∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，即可证明△AEF∽△DBF，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD不一定等于∠CAD，不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，由此判断④错误．【详解】由旋转得：AD=AC，∠ADE=∠C，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故①正确；∵∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△DBF，故②正确；∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，∴，故③正确；∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD=AD，∠ADC=∠ADE，∴不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，∴DE-DF不一定等于BC-CD，即无法证明EF=BD，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解一元二次方程：解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，．【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，故方程解为：，．（2）解：移项得：，∴，∴或，故方程解为：，．18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB（

）在⊙O中，∵AB为直径，∴∠ACB=90°（

）又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC（

），∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对圆周角是直角，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．【分析】(1)根据作法即可用直尺和圆规补全图形；(2)根据作图过程即可完成证明．【详解】(1)如图即为补全的图形；

(2)完成下面的证明：证明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)在⊙O中，∵AB为直径，∴∠ACB=90°(直径所对圆周角是直角)又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC(相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等)，∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．19．已知关于的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【详解】（1），∵，∴方程总有实数根；（2）∵，∴，，∵方程有一个根为负数，∴，∴．20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．【答案】（1）yx2x﹣2，顶点坐标(－1，)；（2）y的取值范围是y＜4．【分析】(1)根据交点式得出y＝a(x+4)(x﹣2)，将(0，﹣2)代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式；(2)求得抛物线的最小值，求得x＝4时的函数值，即可求得当﹣4＜x＜4时，y的取值范围．【详解】(1)∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过点(﹣4，0)，∴抛物线经过点(2，0)，设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2)，把(0，﹣2)代入，解得：a，∴抛物线的解析式为y=(x+4)(x﹣2)(x+1)2x2x﹣2；，故抛物线的解析式为：yx2x﹣2；顶点坐标(－1，)；(2)yx2x﹣2(x+1)2，∵，∴当时，函数有最小值，把x=4代入y=(x+4)(x﹣2)得y=4，∵﹣4＜﹣1＜4，∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是y＜4．21．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；(2)补全条形统计图；(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【答案】(1)50，72(2)见解析(3)【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选兵乓球的学生人数，即可补全条形统计图；（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，故答案为：50；72；（2）解：由题意可得：选“B：足球”的学生人数为：（人），选“E：兵乓球”的学生人数为：（人）补全条形统计图如下；（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．22．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．【答案】证明过程见解析【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义判断即可；【详解】∵PC=BC，∴∠CPB=∠CBP，∵∠APO=∠CPB，∴∠CBP=∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠ABO，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．23.如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）如果，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到；（2）由勾股定理求得，得到，由得到，则，即可求得答案．【小问1详解】证明：在中，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴；【小问2详解】∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得．24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：是⊙O的切线；（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．

【答案】（1）见解析；（2）1．【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；（2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解．【详解】（1）证明：如下图所示，连接，∵D是弧BC的中点，即∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.；（2）解：如下图所示，连接OC，∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝OD由（1）可得，AC∥OD，∴四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，∠CDE=90°－60°＝30°，∵DE⊥AE,∠CED＝90°∴CE=1．25．在平面直角坐标系中，抛物线．(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；(2)若为抛物线上两个不同的点．①当时，，求a的