2023年高考数学第30讲 巧用等差

第30讲巧用等差、等比中项——化归思想的运用

一、知识聚焦

当我们学习了等差数列与等比数列之后势必会碰到两类数列的综合问题，关键在于综合运用

等差数列和等比数列知识解题;对于一些看似与等差，等比数列关系不大或毫不相关的问题,

在细致观察的基础上,展开丰富的联想，化归为处理等差、等比中项的问题,常常可以让人大

开眼界,体会解题过程中妙趣横生的快乐.

二、精讲与训练

【核心例题1】

⑴设等差数列｛%卜满足％+%=36,%4=275,且％4用有最小值,则这个最小值为.

(2)已知等比数列｛%｝中，4>0,

①若前两项的积为2,前4项的积为8,求前8项的积

②若所有项的积为144,前3项的积为3,后3项的积为4,求项数〃.

【解题策略】

第⑴问，根据等差数列的性质求解,即:若根+〃=p+q(m,〃,p,qeN*),

则am+a„=ap+%.第⑵问，根据等比数列的性质求解，即：公比为正数的等比数前n项的

几何平均数等于这几项中间的连续〃一2小项的儿何平均数，

02a③~屋="-侧册+41+2,~(n>2m),实质是等比中项概念的应用与推广.

【解】

(1)■,等差数列｛。“｝满足为+%=36,a4a6=275,;.a4+a6=36.

.,・%,4为方程X—36x+275=0的两个根，解得|4'，或14'.依次求出

4=25&=1L

q=-10,a=46,

或Vx

(1二7、d=-7.

=7〃-17或%=-7〃+53.

要使anan+｝最小，则需%与an+｝异号.

当%二7及一17时，4=一3,%=4,此时最小为a2a3=一12；

当an=-In+53,%=4,%=-3,此时anan+i最小为07ag=-12.综上，有最小值

-12.

(2)①由等比数列的性质得：

前6项的几何平均数等于中间2项的几何平均数;

前8项的几何平均数等于中间4项的几何平均数.

203a4a5a6=Jqq•

・•.(")1「，解得7；=2$.

又•.Rag点=m3a4a5a6，

I

4

，解得(=1024.

②由等比数列的特殊性质得:

?，解得〃=12.

〃一6

【变式训练1】

(1)设等差数列｛4｝,｛2｝的前〃项和分别为S”,T",若对任意自然数〃，都有

S.2〃一3

-Tf=~~~^则nI

T

n4〃—3b5+44+b4

(2)设｛4｝是等差数列,且4一%-一。12+45=2,求。3+%3及$5的值•

【变式训练2】

(1)若等比数列｛%｝的各项均为正数，且40%+%%2=2e＞则

Inq+Ina?++Ina20

(2)在正项等比数列｛。“｝中，。“+]＜。”,。2。8=6,4+。6=5，则4'="

a6

【核心例题2]

.ABC的内角A,8,C对的边分别为a,"c.

(1)若a,上c成等差数歹!J,证明：sinA+sinC=2sin(A+C).

⑵若a,上c成等比数列，求cosB的最小值.

【解题策略】

本例两小问涉及三数成等差或成等比的概念写出关系式,是三角函数解三角形与数列问题的

综合,解题时先根据等差或等比的概念写出关系式,通过正弦定理或余弦定理将问题转化为

三角函数或解三角形问题,再进一步求解.

(1)【证法一】

成等差数列，，a+c=2。，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

・；sinB=sinpr—(A+C)]=sin(A+C),/.sinA+sinC=2sin(A+C)

【证法二】

由正弦定理得一ci^=h=」c一.

sinAsinBsinC

由比例性质得———=3—，又由a,b,c成等差数列

sinA+sinC2sinB

得a+c=2/?,二sinA+sinC=2sin+C).

(2)【解法一】

,成等比数列，==c.

/2_〃2-CIC1

由余弦定理得cosB=-------------

2ac2ac2

当且仅当a=c时等号成立，二cosB的最小值为L

2

【解法二】

成等比数列，/.可设的(机>0,q>0).

/、2

则由余弦定理得根2=—+(^)2-2x—•mqcosB,

①q

化简变形得cosB=4/+乂一1

(T

2

于是cosfi...-2AL--1当且仅当=二，即g=1时不等式取等号，故所求

21,\q-J2q-

cosB的最小值为L.

2

【变式训练】

已知等差数列｛4｝满足=i,则的取值范围是.

【核心例题3]

⑴已知数列｛4｝是等比数列,数列也｝是等差数列,若a4a必=一3月也+4+d=5肛

则tan幺上%"等于()

a3a]]-1

A.—\/3

B.V3

c.----

3

3

⑵己知等比数列｛an｝满足an>0,〃=1,2,，且a5a2.-5=22"(九.3),则当〃..1时，

log2al+log2a3++log2a2"-i•等于()

A.

B.(zz+l)~

C.n2

D.(n-1)2

【解题策略】

解答本例两小问的关键是求出相应两项的中项,一般情况下由两项下标的平均数确定，但有

时候中项与已知项下标的平均数无关，需要实施“变通”的办法，借助其他项实现寻找中项

的目标.

【解】

由等比数列性质知a4a汹=W=一36,:.%=-\[3.

由等差数列性质知&+々+%=34=5肛b7=—.

b、+九2b75TTrr卬小

tan----=tan--7—=tan——=一13,故选AA.

1—1%-]3

(2)5和2〃一5的平均数为九｛4｝是等比数列,，.・.为火“_5=。；=22"("..3).

%>0,«„=2".

当〃..1时，log?。]+log2g++log2a2”_1=1+3++(2〃-1)=〃2,故选&

【变式训练】

设正项数列｛q｝的前〃项和为S“，并且对于所有的正整数〃,。“与1的等差中项等于S.与1

的等比中项.

(1)求数列｛%｝的通项公式.

⑵设数列低｝的通项bn=ln1+—，记7；是数列｛么｝的前〃项和,试比较,与与叫田

<a->J2

的大小,并证明你的结论.

【核心例题4】

在数列｛q｝,｛2｝中，4=2,4=4,且％也,区田成等差数列，bn,an+i,b,,+l成等比数列

eN)

⑴求外,4，%及仿也也，由此猜测｛。“｝,也｝的通项公式,并证明你的结论.

(2)证明：一1一+—1—++-1一<—.

4+4%+4an+bn12

【解题策略】

本题是等差数列与等比数列的交叉.第(1)问，只要掌握等差等比的基本属性求｛q｝和也,｝

的前若干项是没有问题的,难点在于猜测｛4｝,｛a｝的通项公式,并运用数学归纳法证明.第

(2)问，关键是恰当运用放缩的技巧.

(1)【解】

由条件得2b,=an+an+i,*=bnbn+｛,

由此可得%=6,4=9,%=12,々=16,%=20也=25

猜测%=〃(〃+1)，2=(〃+1)2,下面用数学归纳法证明.

(i)当”=1时由上可得结论成立.

(ii)假设当〃=人时，结论成立,即4=%(%+1)，4=(左+1)2,那么，当〃=攵+1时,

2

ak+i=2bk-ak=2（4+1）2_女仕+1）=（左+1）（女+2）也+产也=伏+2）2,

bk

当”=%+1时,结论也成立.

由(i)和(ii)可知，/=〃(〃+1),2=(〃+1)2对一切正整数都成立.

(2)【证明】

〃..2时，由（1）知+++

1111if111

故-------1-------