北京市部分区重点中学2021-2022学年中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2,0）、（0,1）,OC的圆心坐标为（0,-1）,半径为1.若D是。C上

的一个动点，射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是

1110

A.3B.—C.—D.4

33

2.八边形的内角和为（)

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

3.计算（ab2）3的结果是（)

A.ab5B.ab6C.a3b$D.a3b6

4.下列实数中，在2和3之间的是（)

A.7tB.71—2C.^25D.病

5.下列计算正确的是（)

A.2x-x=lB.x2*x3=x6

C.(m-n)2=m2-n2D.(-xy3)2=x2y6

6.如图，小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸（AE>Z）E）剪去了一角，量得AB=3c，"，CD=4cin,则剪

去的直角三角形的斜边长为（）

CD

bcmB.12cmC.16cmD.20cm

7.若分式」一有意义，则x的取值范围是()

x-3

A.x>3B.x<3C.x#D.x=3

8.已知抛物线y=/+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.j=x2+lD.j=x2+5

9.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是().

A.(x+l)(x—l)=x2—1

B.Jr2—2x+l=x(x—2)+1

C.a2—b2=(a+b)(a—b)

D.mx+my+ny=m(x+y)+7i(x+j)

10.将一副三角板(NA=30。)按如图所示方式摆放，使得AB〃EF,则N1等于()

11.从-1,2,3,-6这四个数中任选两数，分别记作，“，“，那么点(山，")在函数y=9图象上的概率是(

)

12.如图是由6个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是()

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.为响应“书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的

阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是小时.

14.如图，在扇形AOB中，ZAOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延

长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为.

15.如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为L2m和9m.

则旗杆的高度为m.

16.用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于以的

等式为.

17.如图，在AABC中NA=60°,BM_LAC于点M,CNJ_AB于点N,P为BC边的中点，连接PM,PN,则

下列结论：①PM=PN,②MN-AB=BC-AC,③APMN为等边三角形，④当NABC=45°时，CN=0PM.

请将正确结论的序号填在横线上

N,

M

18.若点M（1,m）和点N（4,n）在直线y=-；x+b上，则m__n（填＞、V或=）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）（1）计算：I-3I+（指+n）（-y）-2-2cos60°；

11AQ/j

（2）先化简，再求值：（--——-）+-^—,其中a=-2+夜.

a-\a+1a-1

20.（6分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索

子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折

后再去量竿，就比竿短5尺.求绳索长和竿长.

21.（6分）已知：关于x的一元二次方程kx2-（4k+l）x+3k+3=0（k是整数）.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值.

22.（8分）先化简：（「击卜七，再请你选择一个合适的数作为1的值代入求值.

23.（8分）如图，AABC的顶点坐标分别为A（1,3）、B（4,1）、C（1,1）.在图中以点O为位似中心在原点的

另一侧画出△ABC放大1倍后得到的AAiBiG,并写出Ai的坐标；请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90。后得

到的△AiBiCi.

24.（10分）如图，6x6网格的每个小正方形边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.已知和&△BBC

的顶点都在格点上，线段A片的中点为。.

(1)以点。为旋转中心，分别画出把ABBC顺时针旋转90。，180。后的△与B2c2，"AG；

(2)利用(1)变换后所形成的图案，解答下列问题：

①直接写出四边形四边形4?片鸟的形状；

②直接写出:四边窗叫做的值;

3四边形ccCzQ

③设的三边3C=a,AC^b,AB=c,请证明勾股定理.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+Zu+c3w0)的图象经过M(L0)和N(3,0)两点，且与y

轴交于。(0,3),直线/是抛物线的对称轴，过点A(-l,0)的直线A3与直线相交于点B,且点3在第一象限.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若直线AB和直线/、x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上，0P与直线AB和％轴都相切，求点P的坐标.

26.(12分)如图，△ABC中，ZC=90°,AC=BC,NABC的平分线BD交AC于点D,DEJLAB于点E.

(1)依题意补全图形；

(2)猜想AE与CD的数量关系，并证明.

B

27.(12分)(1)计算:(-2018)°+^-9x

x—1>2(x—3),

(2)解不等式组：6x-l.

------->2x.

I2

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

试题分析：解：当射线AD与。C相切时，△ABE面积的最大.

连接AC,

VZAOC=ZADC=90°,AC=AC,OC=CD,

ARtAAOC^RtAADC,

/.AD=AO=2,

连接CD,设EF=x,

.*.DE2=EF«OE,

VCF=1,

.•.DE=Jx(x+2),

/.△CDE^AAOE,

.CDCE

•.----------f

AOAE

即-=------E,

22+^x(x+2)

解得x=2,

3

。BExAO2x(-+1+2)

SAABE------------3

故选B.

2、C

【解析】

试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）xl80"可得八边形的内角和为（8-2）xl80o=1080°,故答案选C.

考点：n边形的内角和公式.

3、D

【解析】

试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可.

试题解析：（ab?）3=a3*（b2）3=a3b1.

故选D.

考点：幕的乘方与积的乘方.

4、C

【解析】

分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.

详解：

4、3<TT<4,故本选项不符合题意；

B、l<n-2<29故本选项不符合题意；

c、2<^j25<3,故本选项符合题意；

。、3<</28<4,故本选项不符合题意；

故选C.

点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.

5、D

【解析】

根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幕的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、2x-x=x,错误；

B、x2»x3=x5,错误；

C、(m-n)2=m2-2mn+n2,错误；

D、(-xy3)2=x2y6,正确；

故选D.

【点睛】

考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果.

6、D

【解析】

解答此题要延长AB、DC相交于F,则BFC构成直角三角形，再用勾股定理进行计算.

【详解】

延长AB、DC相交于F,则BFC构成直角三角形，

运用勾股定理得：

BC2=(15-3)2+(1-4)2=122+162=400,

所以BC=1.

则剪去的直角三角形的斜边长为1cm.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F,构造直角三角形，用勾股定理进行计算.

7、C

【解析】

试题分析：,•,分式一'一有意义，....x#；故选C.

x-3

考点：分式有意义的条件.

8、A

【解析】

结合向左平移的法则，即可得到答案.

【详解】

解：将抛物线y=7+3向左平移2个单位可得j=(x+2)2+3,

故选A.

【点睛】

此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已

知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答.

9、C

【解析】

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.

【详解】

解：A、B、D三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C选项符合因式分解

的定义，

故选择C.

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.

10、C

【解析】

分析：依据AB〃EF,即可得NBDE=NE=45。，再根据NA=30。，可得NB=60。，利用三角形外角性质，即可得到

Zl=ZBDE+ZB=105°.

详解：VAB/7EF,

:.ZBDE=ZE=45°,

XVZA=30°,

.,.ZB=60°,

，Zl=ZBDE+ZB=450+60°=105°,

故选C.

点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.

11、B

【解析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（，"，〃）恰好在反比例函数y=-图象上的情况,

X

再利用概率公式即可求得答案.

【详解】

解：画树状图得：

•.•共有12种等可能的结果，点（加，n）恰好在反比例函数y=9图象上的有：（2,3）,（-1,-

6),(3,2),(-

x

6,-1）,

641

...点（孙〃）在函数图象上的概率是：一=一.

x123

故选B.

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

12、B

【解析】

根据题意找到从左面看得到的平面图形即可.

【详解】

这个立体图形的左视图是

故选：B.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握左视图所看的位置.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，

而第20个数和第21个数都是1(小时)，则中位数是1小时.

故答案为1.

14、4冬-1

【解析】

分析：连结OC,根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面

积，依此列式计算即可求解.

详解：

连接OCT.•在扇形AOB中NAOB=90。，正方形CDEF的顶点C是4？的中点，

/.ZCOD=45°,

/.OC=V2CD=4V2,

工阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积

=------X»X(4V2)2--x42=4n-l.

3602

故答案是：4n-l.

点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度.

15、1

【解析】

试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可.

解：•••同一时刻物高与影长成正比例.

设旗杆的高是xm.

/.1.6：1.2=x；9

x=l.

即旗杆的高是1米.

故答案为1.

考点：相似三角形的应用.

16、(a+b)(a-b)2=4ab

【解析】

根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论.

【详解】

SB»=4S长方彩=4ab①，

S阴影=S大正方形-S空白小正方形=(a+b)2-(b-a)2(②,

由①@得：(a+b)2-(a-b)2=4ab.

故答案为(a+b)2-(a-b)2=4ab.

【点睛】

本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接

得出或由其图形的和或差得出.

17、④

【解析】

①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；

②先证明AABM-AACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；

③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出NABM=NACN=30。，再根据三角形的内角和定理求出

ZBCN+ZCBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NBPN+NCPM=120。，从而得

到NMPN=60。，又由①得PM=PN,根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形可判断③；

④当NABC=45。时，NBCN=45。，进而判断④.

【详解】

①：BMJ_AC于点M,CN_LAB于点N,P为BC边的中点，

1I

.*.PM=-BC,PN=-BC,

22

，PM=PN,正确；

②在△ABM与AACN中，

VZA=ZA,ZAMB=ZANC=90°,

/.△ABM^AACN,

*AMAN

»*错误;

ABAC

③：/人=60。，BM_LAC于点M,CN_LAB于点N,

/.ZABM=ZACN=30°,

oo

在AABC中，ZBCN+ZCBM=180-60°-30x2=60°>

•.•点P是BC的中点，BM±AC,CN_LAB,

，PM=PN=PB=PC,

:.NBPN=2NBCN,ZCPM=2ZCBM,

/.ZBPN+ZCPM=2(ZBCN+ZCBM)=2x60°=120°,

:.ZMPN=60°,

...△PMN是等边三角形，正确；

④当NABC=45。时，•••CN1.AB于点N,

ZBNC=90°,ZBCN=45°,

TP为BC中点，可得BC=0PB=V^PC,故④正确.

所以正确的选项有：①③④

故答案为①③④

【点睛】

本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与

性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.

18、>

【解析】

根据一次函数的性质，k<0时，y随x的增大而减小.

【详解】

因为k=-所以函数值y随x的增大而减小，

因为1<4,

所以，m>n.

故答案为：>

【点睛】

本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数的性质.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)-1；(2)_26/18®.

7

【解析】

(1)根据零指数塞的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数塞的意义即可求出答案；

(2)先化简原式，然后将a的值代入即可求出答案.

【详解】

⑴原式=3+1-(-2)2-2X-=4-4-1=-1；

2

/、H_U24+2。

(2)原式=---------------+---------------

(〃-1)(a+D(a+1)(D

_6+2。

cr-1

业I后42+2及26+18及

当a=_2+J2时，原式=-----产=................-.

5-4V27

【点睛】

本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型.

20、绳索长为20尺，竿长为15尺.

【解析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二

元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】

设绳索长、竿长分别为x尺，丁尺，

x=y+5

依题意得：x「

—=y—5

[2

解得：x=20,y=15.

答：绳索长为20尺，竿长为15尺.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

21、(3)证明见解析(3)3或-3

【解析】

(3)根据一元二次方程的定义得写2,再计算判别式得到△=(3A—3)3,然后根据非负数的性质，即”的取值得到A>2,

则可根据判别式的意义得到结论；(3)根据求根公式求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，求出A的值.

【详解】

证明：(3)△=[-(4k+3)]3-4k(3k+3)=(3k-3)3.

•••k为整数，

...(3k-3)3>2,即A>2.

J.方程有两个不相等的实数根.

(3)解：•方程kx3-(4k+3)x+3k+3=2为一元二次方程，

・・.厚2・

kx3-(4k+3)x+3k+3=2,即[kx-(k+3)](x-3)=2,

.e%+li1

..X3=3,X2=-^+~.

•.•方程的两个实数根都是整数，且k为整数，

.♦.k=3或-3.

【点睛】

本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键.

22、x-1,1.

【解析】

先通分计算括号里的，再计算括号外的，最后根据分式性质，找一个恰当的数2(此数不唯一)代入化简后的式子计

算即可.

【详解】

解：原式=----X------------------=x-1,

x+1X

根据分式的意义可知，*0,且号i1,

当x=2时，原式=2-1=1.

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，化简过程中要注意运算顺序，化简结果是最简形式，难点在于当未知数的值没有明确

给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为零.

23、(1)A(-1,-6)；(1)见解析

【解析】

试题分析：(1)把每个坐标做大1倍，并去相反数.(1)横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数.

试题解析：

解：(1)如图，AAi51cl为所作，4(-1,-6);

(1)如图，为所作.

24、(1)见解析；(2)①正方形；②，；③见解析.

9

【解析】

(1)根据旋转作图的方法进行作图即可；

(2)①根据旋转的性质可证AC=BC产BIC2=B2c,从而证出四边形CCC2c3是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是

正方形即可作出判断，同理可判断四边形ABB1B2是正方形；

②根据相似图形的面积之比等相似比的平方即可得到结果；

③用两种不同的方法计算大正方形的面积化简即可得到勾股定理.

【详解】

(2)①四边形CGC2c3和四边形ABB1B2是正方形.理由如下:

VAABC^ABBiCi,

:.AC=BC1,BC==B1C1,AB=BB1.

再根据旋转的性质可得：BC1=B1C2=B2C3,

B2c产B2c2=AC3,

BBI=BIB2=AB2.

.*.CCI=CIC2=C2C3=CC3

AB=BBI=BJB2=AB2

，四边形CGC2c3和四边形ABB1B2是菱形.

VZC=ZABBi=90°,

...四边形CGC2c3和四边形ABB1B2是正方形.

②•.•四边形CC1C2c3和四边形ABB1B2是正方形,

:.四边形CGC2c3s四边形ABB1B2.

S四边形八明拓,叫

"四边形CGC2C39

VAB=V10,CCi=3也，

”四边形A86W2

S四边形CGC2G

2277

③四边形CC1C2c3的面积=CCj=(〃十份-=4一+2"+",

四边形CC1C2C3的面积=4AABC的面积+四边形ABBIB2的面积

122

=4x—ab+0~=2ab+Q

222

：・Q+2uh+b=2ab+c，

化简得：a+b2=c-

【点睛】

本题考查了旋转作图和旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键.

,44/3、

25、(1)y=x~-4x+3；(2)y=—x+—；(3)P\2,-或P(2,-6).

'-33I2；

【解析】

(1)根据图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且与y轴交于D(0,3),可利用待定系数法求出二次函数解析式;

(2)根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,得出AC,BC的长，得出B点的坐标，即可利

用待定系数法求出一次函数解析式；

(3)利用三角形相似求出AABCsaPBF,即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标.

【详解】

(1)・•・抛物线y=aY+法+c的图象经过“(1,0),N(3,0),£>(0,3),

・•・把”(1,0),N(3,0),0(0,3)代入得：

0=a+〃+c

<0=9。+3。+c

3=c

a=1

解得：b=T,

c=3

..・抛物线解析式为y=f一期+3；

(2)抛物线y=f_4%+3改写成顶点式为y=(x—2)2-1,

抛物线对称轴为直线/:x=2,

...对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)

•••4-1,0),

AC=2-(-l)=3,

设点B的坐标为(2,y),(y>0),

则BC=y,

SGABC=]-AC,BC,

y=4

...点B的坐标为(2,4),

设直线AB解析式为：y=kx+b(k^Q),

[0=-k+b

把A(—l,0),8(2,4)代入得：

4=2k+b

3

解得：