空间中的平行关系

§8.4空间中的平行关系考情分析考向瞭望•把脉高考从近几年的高考试题来看，平行关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏高．预测2023年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，考查“线∥线⇔线∥面⇔面∥面〞的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．平面外平面内l∥b交线平行α∩β＝b1．直线与平面平行的判定与性质基础梳理相交直线平行b∥βγ∩β＝b2.平面与平面平行的判定与性质思考感悟假设一个平面内的一条或两条直线与另一平面的一条或两条直线对应平行，那么这两个平面一定平行吗？提示：不一定．假设一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行．课前热身1．(教材习题改编)两条直线m，n及平面α，以下四个命题(1)假设m∥α，n∥α，那么m∥n；(2)假设m∥α，m∥n，那么n∥α；(3)假设m∥α，那么m平行于α内所有直线；(4)假设m平行于α内无数条直线，那么m∥α.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：A2．(2023年西安调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α答案：D3．以下命题中正确的个数是()①假设直线a不在α内，那么a∥α；②假设直线l上有无数个点不在平面α内，那么l∥α；③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④假设l与平面α平行，那么l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4答案：B5．如下图，四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，那么BE与平面PAD的位置关系为________．答案：平行例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.【思路点拨】证明MN∥平面BCE，可证明直线MN与平面BCE内某一条直线平行，也可证明直线MN所在的某一个平面与平面BCE平行．考点探究•挑战高考【证明】法一：过M作MP⊥BC，过N作NQ⊥BE，P、Q为垂足(如图)，连结PQ.【误区警示】线面平行没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行该平面．直线与平面平行的判定判定直线与平面平行，主要有三种方法：(1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：关键是找平面内与直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，假设没有，那么需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过直线作一平面，找其交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．

例2如下图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)假设△ACD是边长为2的正三角形．判断△MGN的形状并求△MGN的面积．【思路点拨】

由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行判定定理得出面面平行．在(1)的结论下，结合比例关系可求解(2)．【名师点评】面面平行常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用．平面与平面平行的判定判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行．(2023年济源质检)如下图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时，其截面面积最大？例3【思路点拨】先利用线面平行的性质判定截面形状，再建立面积函数求最值．【误区警示】此题易直观判定截面过各边中点时面积最大，而不从建立函数求最值的角度说明，缺乏严谨性．直线与平面平行的性质及应用利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，假设遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过直线与平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．

平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥β；【思路点拨】证明EF∥β时，应分AB、CD共面和异面两种情况；例4【解】证明：连结AC，BD.①当AB，CD在同一平面内时，由于α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，又EFβ，BD

β，∴EF∥β.②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝DH，取DH＝AC，连结AH.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，∴GF∥β，EG∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β.而EF

平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.平面与平面平行的性质及应用平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，表达了转化与化归的思想．性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．方法感悟方法技巧1．平行问题的转化关系2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.失误防范1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否那么，会出现错误．2．要正确区别“任意〞、“所有〞与“无数〞等量词的意义．如“一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线一定与这个平面平行〞是错误的．如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.求证：平面AB1D1∥平面C1BD；名师预测解：证